Chapitre 4 : Formes quadratiques

5. Formes quadratiques

• Espace vectoriel

  • Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n.

  • Notation : S(E) représente l’espace des formes bilinéaires symétriques sur E.

5.1 Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques

• Polynômes

  • Notation : \R[X_1, …, X_n] pour l’espace des polynômes de n variables.

  • Forme générale : sommes finies de monômes de la forme _{a{d_1, …, d_n}} X_1^{d_1}, … ,X_n^{d_n} avec d = \sum_{i=1}^n d_i (degré total).

• Définition

  • Un polynôme est homogène de degré d si\forall \lambda \in \R, P(\lambda X_1, \ldots, \lambda X_n) = \lambda^d P(X_1, \ldots, X_n).

• Proposition

  • Les polynômes homogènes de degré d forment un sous-espace de \R[X_1, …, X_n].

    Dimension : \frac{n(n+1)}{2}.

• Polynômes homogènes de degré 2

  • Forme : P(X_1, … , X_n) = \sum_{i=1}^n a_{ii} X_i^2 + \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{ij} X_i X_j

• Composition de polynômes

  • Définition

    • Forme quadratique : application q: E \to \R telle que dans la base B, q est un polynôme homogène de degré 2.

    • Notation : Q(E) représente l'ensemble des formes quadratiques sur E, qui est un sous-espace vectoriel.

• Indépendance du choix de la base

  • Les coordonnées changent linéairement si on utilise une autre base.

  • Les formes linéaires \alpha_1, \ldots, \alpha_n définissent la transformation des coordonnées.

• Proposition :

  • L'application \Phi: S(E) \to Q(E), avec \Phi(\varphi) = q_{\varphi}, est un isomorphisme.

5.2 Expression en coordonnées

• Forme quadratique q et forme polaire

  • Soit \phi_q sa forme polaire.

    En choisissant une base, \phi_q peut être représenté par la matrice A : A = \begin{pmatrix} \phi_q(e_1, e_1) & \cdots & \phi_q(e1, en) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_q(e_n, e_1) & \cdots & \phi_q(e_n, e_n) \end{pmatrix}

• Relation avec les coordonnées

  • Si X et Y sont des vecteurs colonnes dans E, alors \phi(x, y) = \ ^tXAY

  • Représentation de q : q(x) = tXAX.

5.3 Signature et réduction de Gauss

• Définition de la signature

  Soit p_+ = \max { \dim F,F sous espace tel que \phi_F est définie positive} et p_- = \max { dim F,F sous espace tel que \phi_F est définie négative}.

  Signature de q est le couple (p_+, p_-).

• Régularités

  • p_{+}=0 implique que \phi est positive.

  • p_-=0 implique que \phi est positive

  • \phi est définie positive \lrArr elle est de signature (n,0)

  • \phi est définie négative \lrArr elle est de signature (0,n)

  • Classification des formes déterminées par les valeurs propres de la matrice associée.

5.4 Orthogonalité pour les formes non dégénérées

• Définition du noyau

  • Noyau : \ker\varphi= { x \in E: \forall y \in E, \varphi(x, y) = 0 } .

  • Abus de notation avec E^\perp.

  • On a \dim(\ker(\phi)) = n-rg\phi

• Orthogonalité

  • La relation d’orthogonalité est similaire à celle dans les produits scalaires, mais a des variations selon que la forme est dégénérée ou non.

5.5 Endomorphisme adjoint

• Proposition :

  Soit \phi une forme bilinéaire non dégénérée sur E, et u un endomorphisme de E. Il existe un unique endomorphisme u^* de E tel que

  \forall x,y \in E, \phi(x,u(y)) = \phi(u^*(x),y)

• Proposition : Soit \phi une forme bilinéaire symétrique non dégénérée, et u un endomorphisme de E. Alors :

  im(u)=\ker(u^*)^\perp

  \ker(u) = im(u^*)^\perp

  im(u^*)=\ker(u)^\perp

  \ker(u^*)=im(u)^\perp