Notions d’arithmétique et ensemble des nombres entiers

L'Arithmétique

• L'arithmétique est une branche des mathématiques qui correspond à la science des nombres.
• Historiquement, elle s'est limitée à l'étude des propriétés :
  • Des entiers naturels.
  • Des entiers relatifs.
  • Des nombres rationnels (sous forme de fractions).
  • Des opérations fondamentales sur ces nombres.
• Les opérations arithmétiques traditionnelles sont :
  • L'addition.
  • La soustraction.
  • La multiplication.
  • La division.
• La discipline s'est élargie par la suite pour inclure :
  • L'étude d'autres nombres comme les réels (sous forme de développement décimal illimité).
  • Des concepts plus avancés comme l'exponentiation ou la racine carrée.
• Une arithmétique peut être définie comme une manière de représenter formellement (coder) les nombres, par exemple sous forme d'une liste de chiffres, afin de définir les opérations de base.

L'Ensemble des Nombres Entiers Naturels

• L'ensemble des entiers naturels est noté $\mathbb{N}$.
• $\mathbb{N} = \{0; 1; 2; ...\}$. C'est un ensemble qui commence par $0$ mais ne finit jamais.
• Le nombre $0$ est l'entier naturel nul.
• L’ensemble des entiers naturels non nuls est noté $\mathbb{N}^*$.
• $\mathbb{N}^* = \{1; 2; ...\}$. Il commence par $1$ et ne finit jamais.
• Appartenance et Inclusion :
  • Pour comparer un élément avec un ensemble, on utilise les symboles d’appartenance ($\in$) ou de non-appartenance ($\notin$).
  • Exemple : $7 \in \mathbb{N}$.
  • Exemple : $-3 \notin \mathbb{N}$.
  • Exemple : $0 \notin \mathbb{N}^*$.
  • Pour comparer un ensemble avec un autre ensemble, on utilise les symboles d’inclusion ($\subset$) ou de non-inclusion ($\not\subset$).
  • Remarque : $\mathbb{N}^* \subset \mathbb{N}$ (on dit que $\mathbb{N}^*$ est inclus dans $\mathbb{N}$ ou que $\mathbb{N}^*$ est une partie de $\mathbb{N}$).
  • Exemple : $\{0; 1; -12\} \not\subset \mathbb{N}$ car $-12$ n'appartient pas à $\mathbb{N}$.

Diviseurs et Multiples

• Soient $a \in \mathbb{N}$ et $b \in \mathbb{N}^*$.
• On dit que $a$ est un multiple de $b$ ou que $b$ est un diviseur de $a$ s'il existe un entier naturel $k$ tel que :
  • $a = k \times b$

Critères de Divisibilité

Soit $n$ un nombre entier naturel. $n$ est divisible par :

• 2 : Si et seulement si son chiffre des unités est $0, 2, 4, 6$ ou $8$.
• 3 : Si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
• 4 : Si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par $4$.
• 5 : Si et seulement si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
• 9 : Si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.

Parité d’un Entier

• Nombre pair : Un nombre est pair s'il est un multiple de $2$ ou s'il existe un entier naturel $k$ tel que :
  • $n = 2 \times k$
• Nombre impair : Un nombre est impair s'il existe un entier naturel $k$ tel que :
  • $n = 2 \times k + 1$
• Remarques sur la parité :
  • Un nombre entier naturel est soit pair, soit impair.
  • Tableau récapitulatif des opérations :

Nombres Premiers

• Définition : Un nombre entier naturel est dit premier s'il admet exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.
• Remarques importantes :
  • $1$ n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur ($1$).
  • $2$ est le seul nombre premier pair.
  • Il existe une infinité de nombres premiers.
• Liste des nombres premiers jusqu’à 200 :
  • 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Décomposition en Produit de Facteurs Premiers

• Tout entier naturel non premier se décompose en produit de facteurs premiers.
• Cette décomposition est unique.
• Méthode de décomposition :
  1. Diviser le nombre $n$ par le plus petit nombre premier par lequel il est divisible.
  2. Diviser le quotient obtenu par le plus petit nombre premier par lequel il est divisible.
  3. Continuer ainsi jusqu’à ce que le quotient soit égal à $1$.
• Exemple de décomposition de 20 :
  • $20 \div 2 = 10$
  • $10 \div 2 = 5$
  • $5 \div 5 = 1$
  • Résultat : $20 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5$

Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

• Définition : Le PGCD de deux entiers non nuls $a$ et $b$ est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres.
• Notation : $PGCD(a; b)$ ou $a \wedge b$.
• Règle de calcul par décomposition : Le PGCD est le produit des facteurs communs munis du plus petit des exposants trouvés dans leurs décompositions.
• Méthode d'Euclide :
  • Exprimer le plus grand des deux nombres en fonction du plus petit (division euclidienne).
  • Remplacer le plus grand par le plus petit, et le plus petit par le reste de la division.
  • Continuer jusqu'à obtenir un reste nul.
  • Le dernier reste non nul est le PGCD.
  • Exemple (PGCD de 556 et 148) :
  • $556 = 3 \times 148 + 112$
  • $148 = 1 \times 112 + 36$
  • $112 = 3 \times 36 + 4$
  • $36 = 9 \times 4 + 0$
  • Le PGCD de $556$ et $148$ est donc $4$.

Le Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

• Définition : Le PPCM de deux entiers non nuls $a$ et $b$ est le plus petit multiple commun des nombres $a$ et $b$.
• Notation : $PPCM(a; b)$ ou $a \vee b$.
• Règle de calcul par décomposition : Le PPCM est le produit de tous les facteurs (communs et non communs) munis du plus grand des exposants trouvés dans leurs décompositions.
• Exemple (42 et 98) :
  • $42 = 2 \times 3 \times 7$
  • $98 = 2 \times 7^2$
  • $PGCD(42; 98) = 2 \times 7 = 14$
  • $PPCM(42; 98) = 2 \times 3 \times 7^2 = 294$

Méthodes et Astuces Complémentaires

• Vérifier si un nombre $n$ est premier :
  • Diviser $n$ par les nombres premiers successifs (2, 3, 5, 7, 11…) dans l'ordre croissant.
  • S'arrêter au plus grand nombre premier inférieur à $n$.
  • Si aucune division n'est exacte, le nombre est premier.
• Nombre de diviseurs d'un entier $n$ :
  • Décomposer $n$ sous la forme $a^p \times b^q \times c^r$.
  • Le nombre de diviseurs est donné par la formule : $(p + 1) \times (q + 1) \times (r + 1)$.
• Multiples et diviseurs communs :
  • Les multiples communs à deux nombres sont les multiples de leur PPCM.
  • Les diviseurs communs à deux nombres sont les diviseurs de leur PGCD.
• Simplification de fractions :
  • Pour obtenir une forme irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
  • Exemple : $\frac{556}{148} = \frac{556 \div 4}{148 \div 4} = \frac{139}{37}$. Comme $PGCD(139; 37) = 1$, la fraction est irréductible.

Applications Pratiques du PGCD et du PPCM

• Problèmes de pavage (PGCD) :
  • Pour paver un rectangle de $24\,cm$ sur $60\,cm$ avec des carrés identiques dont le côté est un entier maximal, on cherche le $PGCD(24; 60)$.
  • Pour remplir un parallélépipède de dimensions $24\,cm$, $40\,cm$ et $60\,cm$ avec des cubes maximaux, on cherche le $PGCD(24; 40; 60)$.
• Exemple corrigé :
  • Question : Recouvrir une surface de $4,75\,m$ sur $3,61\,m$ avec des dalles carrées de côté entier maximal.
  • Conversion : $475\,cm$ et $361\,cm$.
  • Calcul : $PGCD(475; 361) = 19$ (via divisions euclidiennes).
  • Solution : Les dalles doivent faire $19\,cm$ de côté. Il faudra $25$ dalles en longueur ($475 \div 19$) et $19$ dalles en largeur ($361 \div 19$), soit $475$ dalles au total.

Mohammed Al-Khawarizmi

• Biographie : Mohammed ibn Musa Al-Khawarizmi, né vers 783 à Khiva (Ouzbékistan) et mort en 850 à Bagdad.
• Identité : Mathématicien, géographe, astrologue et astronome perse.
• Contributions majeures :
  • Son nom a donné naissance au terme français « algorithme ».
  • Premier et plus célèbre des mathématiciens persans.
  • Développement de l'usage du chiffre zéro, qu'il considérait comme fondamental pour les mathématiques.
  • Développement des tables trigonométriques.