Significant Figures and Rounding Rules

Wetenschappelijke Notatie

  • Het werken met erg grote of erg kleine getallen is in het dagelijks rekenen vaak onpraktisch en vermoeiend (bijvoorbeeld rekenen met getallen zoals 231 000 000 000 m231\,000\,000\,000\,\text{m}). Om getallen overzichtelijker en eenvoudiger te noteren, maakt men gebruik van de wetenschappelijke notatie.

  • In de wetenschappelijke notatie worden niet alle nullen opgeschreven, maar wordt het getal herschreven met behulp van een macht van 10.

  • De algemene opbouw van een getal in de wetenschappelijke notatie bestaat uit drie delen:

    • Grondgetal×10Macht van 10 Eenheid\text{Grondgetal} \times 10^{\text{Macht van 10}} \,\text{Eenheid}
    • Grondgetal: Dit is een getal tussen 1 en 10 (1≤grondgetal<101 \le \text{grondgetal} < 10). Dit betekent dat er altijd precies één cijfer verschillend van nul voor de komma staat.
    • Macht van 10: De exponent (het getal in superscript achter 10) geeft aan hoeveel plaatsen de komma is verschoven.
    • Eenheid: Indien aanwezig, wordt de eenheid achteraan het getal geplaatst.
    • In woorden wordt de notatie uitgesproken als: "… maal tien tot de macht …".

  • Voorbeeld van een bordschema:

    • Het getal 231 000 000 000 m231\,000\,000\,000\,\text{m} wordt in de wetenschappelijke notatie geschreven als 2,31×1011 m2,31 \times 10^{11}\,\text{m}.
    • Grondgetal: 2,312,31 (een waarde tussen 1 en 10).
    • Macht van 10: 101110^{11}.
    • Eenheid: m\text{m}.

  • Stappenplan voor het omzetten van een decimaal getal naar de wetenschappelijke notatie:

    • Stap 1: Verschuif de komma zodanig dat er een getal tussen 1 en 10 ontstaat (het grondgetal).
    • Stap 2: Tel het aantal stappen dat de komma is verschoven.
    • Is de komma naar LINKS verschoven, dan krijgt de macht van 10 een POSITIEVE waarde (++).
    • Is de komma naar RECHTS verschoven, dan krijgt de macht van 10 een NEGATIEVE waarde (−-).
    • Stap 3: Noteer de wetenschappelijke notatie. Schrijf het getelde aantal stappen als een superscript cijfer (de exponent) achter 10.
    • Stap 4: Schrijf de eenheid, indien aanwezig, achteraan de wetenschappelijke notatie.

  • Uitgewerkte voorbeelden per type macht:

    • Positieve macht (grote getallen):
    • Voorbeeld getal: 231 000231\,000
      • Stap 1: Verschuif de komma tot er een getal tussen 1 en 10 ontstaat →2,31000\rightarrow 2,31000.
      • Stap 2: De komma is 5 plaatsen naar LINKS verschoven.
      • Stap 3: Resultaat →231 000=2,31×105\rightarrow 231\,000 = 2,31 \times 10^5
    • Aanvullende oefeningen met positieve machten:
      • 3500=3,5×1033500 = 3,5 \times 10^3
      • 4 890 000=4,89×1064\,890\,000 = 4,89 \times 10^6
      • 12=1,2×10112 = 1,2 \times 10^1
    • Negatieve macht (kleine getallen):
    • Voorbeeld getal: 0,000000420,00000042
      • Stap 1: Verschuif de komma tot er een getal tussen 1 en 10 ontstaat →4,2\rightarrow 4,2.
      • Stap 2: De komma is 7 plaatsen naar RECHTS verschoven.
      • Stap 3: Resultaat →0,00000042=4,2×10−7\rightarrow 0,00000042 = 4,2 \times 10^{-7}
    • Aanvullende oefeningen met negatieve machten:
      • 0,35=3,5×10−10,35 = 3,5 \times 10^{-1}
      • 0,000489=4,89×10−40,000489 = 4,89 \times 10^{-4}
      • 0,012=1,2×10−20,012 = 1,2 \times 10^{-2}

  • Uitgebreide verzameling van oefeningen en omzettingen:

    • Algemene voorbeelden van wetenschappelijke notaties en hun decimale waarden:
    • 1 200 000=1,2×1061\,200\,000 = 1,2 \times 10^6
    • 1,38×105=138 0001,38 \times 10^5 = 138\,000
    • 0,00012=1,2×10−40,00012 = 1,2 \times 10^{-4}
    • 1,25×10−4=0,0001251,25 \times 10^{-4} = 0,000125
    • Veelvouden van 10 in wetenschappelijke notatie:
    • 100=1×102100 = 1 \times 10^2
    • 1000=1×1031000 = 1 \times 10^3
    • 10 000=1×10410\,000 = 1 \times 10^4
    • 0,000001=1×10−60,000001 = 1 \times 10^{-6}
    • 0,001=1×10−30,001 = 1 \times 10^{-3}
    • 0,0001=1×10−40,0001 = 1 \times 10^{-4}
    • Machten van 10 omzetten naar decimale getallen (gewone getallen):
    • 1×103=10001 \times 10^3 = 1000
    • 1×10−5=0,000011 \times 10^{-5} = 0,00001
    • 1×109=1 000 000 0001 \times 10^9 = 1\,000\,000\,000
    • 1×10−11=0,000000000011 \times 10^{-11} = 0,00000000001
    • 6,35×102=6356,35 \times 10^2 = 635
    • 4×1010=40 000 000 0004 \times 10^{10} = 40\,000\,000\,000
    • 9,2×103=92009,2 \times 10^3 = 9200
    • 6×10−5=0,000066 \times 10^{-5} = 0,00006
    • 5,86×10−7=0,0000005865,86 \times 10^{-7} = 0,000000586
    • 9,08×10−6=0,000009089,08 \times 10^{-6} = 0,00000908
    • Getallen omzetten naar wetenschappelijke notatie (1 cijfer voor de komma):
    • 6300=6,3×1036300 = 6,3 \times 10^3
    • 1 050 000 000=1,05×1091\,050\,000\,000 = 1,05 \times 10^9
    • 87 000=8,7×10487\,000 = 8,7 \times 10^4
    • 0,000002=2×10−60,000002 = 2 \times 10^{-6}
    • 0,00000008=8×10−80,00000008 = 8 \times 10^{-8}
    • 0,056=5,6×10−20,056 = 5,6 \times 10^{-2}

Beduidende Cijfers (BC)

  • Definitie van beduidende cijfers (BC): Beduidende cijfers zijn de cijfers die men werkelijk afleest op een specifiek meettoestel.

  • Relatie met de nauwkeurigheid van meetinstrumenten:

    • Het aantal beduidende cijfers dat uit een meting volgt, is rechtstreeks afhankelijk van het gebruikte meetinstrument.
    • Hoe nauwkeuriger het meettoestel is, hoe meer beduidende cijfers men kan aflezen.

  • Praktijkvergelijking bij het meten van een afstand van 10 cm10\,\text{cm} met drie verschillende toestellen:

    • Meetinstrument 1: Bordlat
    • Afgelezen meting: 10 cm10\,\text{cm}
    • Aantal beduidende cijfers: 2 BC
    • Betekenis/Mogelijke werkelijke waarde: Het gemeten getal bevindt zich tussen 9,5 cm9,5\,\text{cm} en 10,4 cm10,4\,\text{cm}.
    • Meetinstrument 2: Meetlat
    • Afgelezen meting: 10,0 cm10,0\,\text{cm}
    • Aantal beduidende cijfers: 3 BC
    • Betekenis/Mogelijke werkelijke waarde: Het gemeten getal bevindt zich tussen 9,95 cm9,95\,\text{cm} en 10,04 cm10,04\,\text{cm}.
    • Meetinstrument 3: Schuifmaat
    • Afgelezen meting: 10,00 cm10,00\,\text{cm}
    • Aantal beduidende cijfers: 4 BC
    • Betekenis/Mogelijke werkelijke waarde: Het gemeten getal bevindt zich tussen 9,995 cm9,995\,\text{cm} en 10,004 cm10,004\,\text{cm}.
    • Conclusie nauwkeurigheid: De schuifmaat levert van deze drie instrumenten de meest nauwkeurige meting op.

  • Regels voor de positie van een nul ("0") in een getal:

    • 1. Een nul vooraan een getal:
    • Een nul aan het begin van een getal dient enkel om de positie van de komma aan te geven en is daarom nooit beduidend.
    • Voorbeeld: 0,026 cm0,026\,\text{cm} heeft 2 BC (enkel de cijfers 2 en 6 zijn beduidend).
    • 2. Een nul tussen getallen:
    • Een nul die zich tussen twee cijfers bevindt die verschillend zijn van nul, is wel een beduidend cijfer.
    • Voorbeeld: 1,045 m1,045\,\text{m} heeft 4 BC.
    • 3. Een nul achteraan een getal:
    • Een nul die aan het einde van een getal staat (achter de komma/andere cijfers), is wel een beduidend cijfer.
    • Voorbeeld: 2,502,50 heeft 3 BC.

  • De rol van de macht van 10 bij beduidende cijfers:

    • De machten van 10 spelen geen enkele rol bij het bepalen van het aantal beduidende cijfers van een getal.
    • Voorbeelden:
    • 0,03×10−5 g0,03 \times 10^{-5}\,\text{g} heeft 1 BC.
    • 1,50×103 m31,50 \times 10^3\,\text{m}^3 heeft 3 BC.
    • 28,34×102 K28,34 \times 10^2\,\text{K} heeft 4 BC.

  • Exacte getallen en natuurlijke constanten:

    • Getallen die voortkomen uit een telresultat (getallen zonder meeteenheid) en natuurlijke constanten worden beschouwd als exacte getallen.
    • Exacte getallen hebben een oneindig aantal beduidende cijfers (genoteerd als ∞\infty BC).
    • Voorbeelden:
    • Het telresultaat 44 heeft een oneindig aantal BC en mag men ook schrijven als 4,0000000...4,0000000...
    • De natuurlijke constante π\pi heeft een oneindig aantal BC en mag men ook schrijven als 3,1415926535897...3,1415926535897...

Afronden van Getallen

  • Bij het verwerken van meetresultaten is het vaak noodzakelijk om getallen af te ronden tot een voorgeschreven aantal beduidende cijfers (BC).
  • Afrondingsregels:
    • Regel 1: Wegvallend cijfer is kleiner dan 5
    • Is het eerste cijfer dat men laat wegvallen kleiner dan 5, dan blijft het voorafgaande cijfer ongewijzigd.
    • Voorbeeld 1: 123,4 kg123,4\,\text{kg} afronden op 3 BC $\rightarrow 123\,\text{kg}\n - Voorbeeld 2: 1,591\,\text{m} afronden op 3 BC $\rightarrow 1,59\,\text{m}
    • Regel 2: Wegvallend cijfer is groter dan 5
    • Is het eerste cijfer dat men laat wegvallen groter dan 5, dan verhoogt het voorafgaande cijfer met één eenheid.
    • Voorbeeld 1: 123,6 kg123,6\,\text{kg} afronden op 3 BC $\rightarrow 124\,\text{kg}\n - Voorbeeld 2: 1,599\,\text{m} afronden op 3 BC $\rightarrow 1,60\,\text{m}