Chapitre 1 : Opérations sur les nombres relatifs

I – Additions et soustractions de deux nombres relatifs

a) Additions

• 1er cas : Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :

  • On additionne les distances à zéro des deux nombres.

  • On met au résultat le signe commun aux deux nombres.

  • Exemples :

    • $A = (+3) + (+4) = (+7)$

    • $A = 3 + 4 = 7$

    • $B = (-5) + (-1) = (-6)$

    • $B = -5 - 1 = -6$

• 2ème cas : Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires :

  • On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.

  • On met au résultat le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.

  • Exemples :

    • $C = (-2,5) + (+4) = (+1,5)$

    • $C = -2,5 + 4 = 1,5$

    • $D = (+1,5) + (-6,5) = (-5)$

    • $D = 1,5 - 6,5 = -5$

b) Soustractions

• Propriété : Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.

• Exemples :

  • $E = (+8) - (+5) = (+8) + (-5) = (+3)$

  • $F = (+3) - (-1) = (+3) + (+1) = (+4)$

  • $G = (-10) - (-2) = (-10) + (+2) = (-8)$

c) Somme algébrique

• Méthode de calcul :

  • Avant d'effectuer le calcul, on transforme toutes les soustractions en additions.

  • On regarde ensuite s'il y a des nombres opposés dont la somme fait $0$.

  • On peut ensuite regrouper les nombres positifs entre eux et les nombres négatifs entre eux pour simplifier le calcul final.

• Exemple détaillé H :

  • $H = (-5) + (+2) - (+5) - (-3) + (-2) + (-7) - (-4)$

  • Transformation en additions : $H = (-5) + (+2) + (-5) + (+3) + (-2) + (-7) + (+4)$

  • Regroupement (après avoir identifié/simplifié si possible) : $H = (-5) + (-5) + (-7) + (+3) + (+4)$

  • Étape intermédiaire : $H = (-17) + (+7)$

  • Résultat final : $H = (-10)$

• Exemple détaillé I :

  • $I = - 3,5 + 7 + 1,3 - 1,5 + 3,5$

  • Ici, on note que $-3,5$ et $+3,5$ sont opposés et s'annulent.

  • $I = 8,3 - 1,5$

  • Résultat final : $I = 6,8$

II – Multiplication de deux nombres relatifs

a) Cas général

• Règle des signes :

  • Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.

  • Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.

• Méthode de calcul :

  • Pour calculer le produit de deux nombres relatifs, on détermine d'abord son signe en utilisant la règle des signes.

  • On multiplie ensuite les deux nombres (leurs distances à zéro) sans tenir compte de leurs signes.

• Exemples :

  • $12 \times 3,1 = 37,2$

  • $4,8 \times (- 2) = - 9,6$

  • $(-3,5) \times (-5) = 17,5$

• Vocabulaire : Dans une multiplication, les nombres que l'on multiplie sont appelés les facteurs et le résultat est appelé le produit.

b) Multiplication par (-1)

• Lorsqu'on multiplie un nombre relatif par $(-1)$, on obtient son opposé.

• Définition algébrique : Si $x$ désigne un nombre relatif quelconque, on a $x \times (- 1) = - x$.

• Exemples :

  • $7\times(-1)=-7$

  • $(-1) \times (- 2,5) = 2,5$

  • $(-1) \times (- 1) = 1$

III – Multiplication de plusieurs nombres relatifs

• Règle des signes :

  • Le produit de plusieurs nombres relatifs non nuls est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair.

  • Le produit de plusieurs nombres relatifs non nuls est négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair.

• Méthode de calcul :

  • On détermine d'abord le signe du résultat final en comptant les facteurs négatifs.

  • On multiplie les distances à zéro de tous les nombres entre elles sans tenir compte de leurs signes.

• Exemples :

  • $(- 25) \times 12 \times (- 4) = 1\,200$. Explication : Il y a deux facteurs négatifs (nombre pair), donc le résultat est positif ($+$). Calcul des distances : $4 \times 25 \times 12 = 1\,200$.

  • $(-3) \times (-5) \times (+10) \times (- 2) = - 300$. Explication : Il y a trois facteurs négatifs (nombre impair), donc le résultat est négatif ($-$). Calcul des distances : $3 \times 5 \times 10 \times 2 = 300$.

Remarques importantes

1. Le produit de nombres relatifs ne dépend pas de l'ordre des facteurs (commutativité) et ne dépend pas de l'ordre des calculs (associativité).

2. Si l'un des facteurs est nul, alors le produit total est nul.

   • Exemples :

     • $(-7,5) \times 0 = 0$

     • $2,32 \times (- 1,598) \times 0 \times (- 3) = 0$

IV – Division de deux nombres relatifs

a) Règle des signes

• Définition : Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs avec $b \neq 0$. Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$. On le note $\frac{a}{b}$ ou $a \div b$.

• Relation fondamentale : $\frac{a}{b} \times b = a$.

• Attention : On n'a pas le droit de diviser par $0$.

• Exemple : Le quotient de $(-35)$ par $5$ est $- 7$ car $(- 7) \times 5 = - 35$. On écrit $(-35) \div 5 = \frac{- 35}{5} = - 7$.

• Règle des signes pour le quotient : Elle est identique à celle de la multiplication.

  • Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est positif.

  • Le quotient de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.

• Exemples :

  • $(-3) \div 4 = \frac{- 3}{4} = - \frac{3}{4} = - 0,75$

  • $(-12,6) \div (- 0,3) = \frac{- 12,6}{- 0,3} = \frac{12,6}{0,3} = 42$

• Cas particuliers (si $x$ est un nombre relatif) :

  • $\frac{x}{1} = x$

  • $\frac{x}{- 1} = - x$

  • Si $x \neq 0$ :

    • $\frac{0}{x} = 0$

    • $\frac{x}{x} = 1$

b) Valeurs approchées et encadrements

• Certains quotients ne sont pas des nombres décimaux (la division ne s'arrête jamais).

• Exemple : Le quotient de $(-4)$ par $3$

  • Le résultat est négatif.

  • Notation : $(- 4) \div 3$ ou $\frac{- 4}{3}$ ou encore $- \frac{4}{3}$.

• Valeurs pour $\frac{4}{3}$ :

  • Valeur approchée au centième : $1,33$.

  • Encadrement au dixième : 1,3 < \frac{4}{3} < 1,4.

• Valeurs pour $- \frac{4}{3}$ :

  • Valeur approchée au centième : $- 1,33$.

  • Encadrement au dixième : - 1,4 < - \frac{4}{3} < - 1,3.

• Représentation sur une droite graduée :

  • Valeur sur l'axe : $1$ | Valeur en cm : $4$

  • Valeur sur l'axe : $1,3$ | Valeur en cm : $5,2$

  • Valeur sur l'axe : $1,4$ | Valeur en cm : $5,6$