NOTE DEL CORSO DI ALGEBRA E GEOMETRIA, FEBBRAIO-GIUGNO 2026

Sommario

• Queste sono le note personali del corso “Algebra e Geometria” tenuto all’Università di Bologna, presso il campus di Cesena, nel semestre estivo 2026.

• Il materiale di questo corso è mutuato dalle note del corso tenuto nel precedente anno accademico da Luca Moci e Fabrizio Caselli.

• Indice:

  1. Lezione 1

  2. Lezione 16

  3. Lezione 28

  4. Lezione 37

  5. Lezione 45

  6. Lezione 53

Lezione 1

1.1 Cosa è l'algebra

• Il corso si concentrerà principalmente sull'algebra lineare.

• Definizione di algebra: "l'algebra è l’arte di fare i conti senza sapere o senza interessarsi troppo a cosa significano".

• In algebra si manipolano espressioni contenenti operazioni aritmetiche (+, ·, e le inverse −, /) e quantità non esplicite rappresentate da lettere come x, y, …

• ### Esempio 1.1:

  • Uguaglianza: $(x+y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$.

  • Giustificazione:

  1. $(x + y)^{2} = (x + y)(x + y)$ per definizione di elevare al quadrato;

  2. $(x+y)(x+y) = x(x+y)+y(x+y)$ per proprietà distributiva;

  3. $x(x + y) + y(x + y) = xx + xy + yx + yy$ di nuovo per distributiva;

  4. $xx+xy+yx+yy = x^{2}+2xy+y^{2}$ per definizione di elevare al quadrato e per proprietà commutativa del prodotto.

  • Non ci preoccupiamo di quali valori siano realmente rappresentati da x e y.

1.2 Cosa è l'algebra lineare

• L'algebra semplifica la vita.

• Importanza di usare il metodo algebrico in modo corretto ed efficace.

• Alcuni problemi non sono facili da risolvere con metodi algebrici e possono risultare complicati.

• I problemi lineari costituiscono una grande parte dei problemi risolvibili con metodi standard.

• L'algebra lineare può essere vista come “algebra di primo grado”. -### Esempio 1.2:

  • Equazioni:

  • $2x + 3 = 5$ (lineare)

  • $x^{2} + x - 3 = 0$ (secondo grado)

  • Risoluzione della prima:

  • Portare il 3 a destra: $2x = 2$

  • Dividere per 2: $x = 1$.

  • Risoluzione della seconda con la formula x = rac{-b \ rac{ ext{-1} \ ext{±} \ ext{√13}}{2}.

  • Problemi economici comunemente riconducibili alla prima equazione.

1.3 Teoria degli insiemi

• x e y devono essere numeri o enti per i quali possiamo fare somme e prodotti.

• L'importanza di decidere in quale insieme considerare x e y.

• Possibili insiemi:

  • Naturali: $N = "{0, 1, 2, 3, …}$

  • Reali: $R$.

• Conclusione:

  • La definizione di insieme aiuta a definire e risolvere i problemi matematici.

• Notazione: $x ∈ I$ se x appartiene a I, $x /∈ I$ se x non appartiene a I.

1.4 Relazioni di equivalenza

• Definizione di relazione di equivalenza per un insieme I.

• Proprietà:

  1. Riflessiva: $x ∼ x$ per ogni x in I.

  2. Simmetrica: $x ∼ y ext{ se e solo se } y ∼ x$.

  3. Transitiva: $x ∼ y ext{ e } y ∼ z ext{ implica } x ∼ z$.

• Esempi:

  • Classificazione per compleanno: 365 classi.

  • Grammatica: singolare e plurale.

1.5 Insiemi di numeri

• Rassegna sui principali insiemi:

  • Naturali: $N = {0, 1, 2, 3, …}$.

  • Interi: $Z = ext{tutti i numeri interi}$.

  • Razionali: $Q = rac{a}{b}$ con b ≠ 0.

• Reali: $R$.

1.6 Numeri complessi

• Limitazioni di R, introduzione di numeri complessi per risolvere equazioni.

• Introduzione dell'unità immaginaria $i$ tale che $i^{2} = −1$.

• Definizione di numeri complessi come espressioni della forma $a + bi$ con $a$ e $b$ reali.

1.7 Interi modulo m

• Insieme finito di numeri.

• Congruenza modulo $m$: $a ≡ b ext{ (mod m)}$.

• Esempi di operazioni tra numeri pari e dispari.

1.8 Funzioni

• La definizione di funzione.

• Condizioni di univocità, dominio e codominio.

• Funzioni suriettive e iniettive.

2.1 Spazi vettoriali su un campo

• Introduzione a spazi vettoriali in rapporto alle funzioni di algebra lineare.

• Esempi di problemi pratici risolti attraverso spazi vettoriali.