SAT-AcingTheNewSAT_230711_215758 (1)

Тригонометрические функции и единичная окружность

Определение тригонометрических функций

• Пусть P(x, y) - точка на окружности, где x^2 + y^2 = r^2, и θ - угол в стандартном положении, заканчивающийся в точке P. Мы определяем:

  • sin(θ) = y/r

  • cos(θ) = x/r

• Единичная окружность (x^2 + y^2 = 1): здесь значение sin(θ) и cos(θ) просто соответствуют координатам точки, где луч, соответствующий углу θ, пересекает этот круг.

Основные углы

• Углы, кратные 30° ( \frac{ pi}{6} ) и 45° ( \frac{ pi}{4} ) называются знакомыми углами. Для нахождения тригонометрических значений этих углов используются соотношения треугольников:

  • Треугольник 30°-60°-90°: (1, \sqrt{3}, 2)

    • sin(30°) = 1/2

    • cos(30°) = \frac{ \sqrt{3}}{2}

  • Треугольник 45°-45°-90°: (1, 1, \sqrt{2})

    • sin(45°) = \frac{ \sqrt{2}}{2}

    • cos(45°) = \frac{ \sqrt{2}}{2}

Углы и их референции

• Угол референции θ: это острый угол, образованный боковой стороной угла θ и осью x. Углы выше 90° могут быть разобраны на их углы референции:

  • Например:

    • Для θ = 135° (референция 45°)

    • Для θ = 210° (референция 30°)

    • Для θ = 300° (референция 60°)

Пример определения тригонометрических значений

• В квадранте I sin и cos положительны, в квадранте II sin положителен, в квадранте III оба отрицательны, в квадранте IV cos положителен.

Примеры отрицательных значений:

• sin(150°) = \frac{1}{2} (положительное)

• cos(150°) = -\frac{ \sqrt{3}}{2}

• sin(210°) = -\frac{1}{2}

Связь между углом и радиусами

• На координатной плоскости:

• Если OA находит по отношению к BC и D (где OA перпендикулярен CM), тогда

• запрос левой стороны:

  • \sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} = 1

Заключение

Изучение тригонометрических функций с использованием единичной окружности позволяет легко находить значения sin, cos и далее для различных кратных углов, включая использование углов референции, чтобы упростить задания, которые могут быть более сложными на первый взгляд.