Notas de Microeconomía Avanzada: Preferencias, Conjuntos y Restricciones

Panorama y propósito de la clase

• Objetivo central: comprender por qué se imponen ciertos supuestos técnicos en modelos microeconómicos antes de abordar demostraciones formales.
• Idea fuerza: todo modelo es una simplificación; "todos los modelos están mal, pero algunos son útiles".
• Utilidad práctica: la estática comparativa permite contrastar modelos con evidencia empírica (papeles de micro aplicada suelen partir de un modelo, extraer signos y testearlos econométricamente).
• Validación: nunca es 100 %, sólo probabilística.

Elementos del problema de optimización

• Agente económico definido por tres bloques:
  • Conjunto de elección (todas las canastas factibles).
  • Preferencias (criterio de ranqueo no observable).
  • Restricciones (escasez: precios e ingreso).
• Necesidades técnicas para modelar:
  • Solución única y diferenciable para facilitar la estática comparativa.
  • Implicaciones: imposición de axiomas sobre preferencias y propiedades sobre los conjuntos.

Axiomas de preferencias y racionalidad

• Preferencias como relación binaria ⪰ sobre X.
• Axiomas mínimos:
  • Completitud: para todo $x,y\in X$, $x\succeq y$ o $y\succeq x$.
  • Transitividad: si $x\succeq y$ y $y\succeq z$ entonces $x\succeq z$.
• Definición de racionalidad microeconómica: cumplimiento de ambos axiomas.
• Críticas conductuales (Kahneman & Tversky): sesgos, capacidad limitada de procesamiento, ciclos de elección.
• Axiomas adicionales para el “libro de texto”:
  • Continuidad.
  • Convexidad (o cuasi-convexidad).
  • No-saciación local / Monotonía.
  • Motivo: garantizar curvas de indiferencia bien comportadas (delgadas, pendiente negativa, sin saltos).

Ejemplos de criterios de elección

1 Producto de cantidades (tipo Cobb-Douglas)

• Regla: x\succ y\ \text{si y sólo si}\ x1x2>y1y2.
• Propiedades:
  • Completas (clausura de multiplicación en $\mathbb R_+$).
  • Transitivas (orden numérico induce transitividad).
• Interpretación: preferencias Cobb-Douglas $u(x)=x<em>1^\alpha x</em>2^\beta$ con $\alpha=\beta=1$.

2 Promedio vs. mínimo

• Regla: $x\succ y$ si \bar x>m_y (media de x mayor que el mínimo de y).
• Análisis:
  • Completas (demostrado por contradicción usando promedio y mínimo).
  • No transitivas (ejemplo con canastas $x=(0,0,1,0)$, $y=(0,0,8,0)$, $z=(1,2,2,2)$ genera ciclo $x\succ y,\ y\succ z,\ z\succ x$).
• Conclusión: violar transitividad ⇒ agente no racional.

Conjunto de elección (X)

• Espacio de mercancías: $\mathbb R_+^L$ (bienes perfectamente divisibles, incluye cero).
• Supuestos necesarios:
  • No vacío.
  • Cerrado (incluye bordes).
  • Convexo (segmento entre dos canastas ∈ X).
  • Acotado inferiormente (ejes actúan de cota).
  • Mismo X para todos los consumidores (lo que cambia son preferencias).

Conjunto presupuestario (B)

• Definición: $B(p,m)={x\in X\,|\,p\cdot x\le m}$.
• Correspondencia: $B: \mathbb R<em>{++}^L\times\mathbb R</em>{++}\rightarrow 2^X$.
• Propiedades deseadas:
  • No vacío, cerrado, acotado.
  • Convexo (en modelos básicos; puede fallar con descuentos o impuestos).
  • Homogéneo de grado 0: B(\lambda p,\lambda m)=B(p,m)\ \forall \lambda>0 ⇒ demandas homogéneas 0 (sin ilusión monetaria).
• Interpretación geométrica en $L=2$: recta $p<em>1x</em>1+p<em>2x</em>2=m$ (pendiente $-p<em>1/p</em>2$, ordenada $m/p_2$).

Riesgos de no convexidad

• Descuentos por cantidad ⇒ quiebres en la recta ⇒ B no convexo.
• Implicaciones:
  • Múltiples óptimos posibles.
  • Signos opuestos en estática comparativa.
  • Discontinuidades en la función de demanda.

Caso especial: modelo consumo–ocio

• Bienes: $x$ (consumo) a precio $p_x$ y $h$ (ocio).
• Restricción de tiempo: $h+L=T$, con $T=24$, $0\le L\le L_{max}$ (por ej. 8 h legales).
• Ingreso laboral endógeno: $m=wL$.
• Conjunto presupuestario ahora depende de $(p<em>x,w,T,L</em>{max})$ y puede ser no convexo (tasas impositivas progresivas, pagos extras, etc.).
• Ejercicio asignado: formalizar $X$ y $B$ en este contexto y graficar.

Utilidad como representación de preferencias (intro)

• Motivación: para optimizar se necesita una función.
• Preguntas guía (a desarrollar en la próxima sesión):
  • ¿Qué condiciones garantizan la existencia de $u:X\to\mathbb R$ que represente ⪰?
  • Relación con continuidad y monotonía.

Conexiones y relevancia empírica

• Estática comparativa: signos de $\partial x<em>i/\partial p</em>j$ o $\partial x_i/\partial m$ se contrastan con datos.
• Modelos sin soporte teórico (solo regresiones) pierden capacidad interpretativa.
• Ejemplo clásico de bienes Giffen: rareza empírica, sirve para entender interacciones ingreso–sustitución.

Implicaciones éticas y filosóficas

• Supuesto de racionalidad cuestionado por psicología y economía conductual.
• Simplificación vs. realismo: balance entre tractabilidad matemática y fidelidad al comportamiento humano.

Fórmulas y notación clave

• Problema del consumidor: $\max_{x\in X}\ u(x)\ \text{s.a.}\ p\cdot x\le m$.
• Cobb-Douglas general: $u(x)=\prod<em>{i=1}^L x</em>i^{\alpha_i}$.
• Homogeneidad 0 de la demanda: $x(p,m)=x(\lambda p,\lambda m)$.

Recordatorios para el examen

• Ser capaz de enunciar y probar completitud y transitividad para reglas de elección dadas.
• Distinguir entre conjunto de elección y conjunto presupuestario.
• Explicar por qué la convexidad es "una buena palabra" en microeconomía.
• Derivar efectos de descuentos por cantidad y escalas impositivas sobre la forma de $B$.
• Formular el modelo consumo-ocio y discutir su no convexidad potencial.