Maths - Probabilités et Conditionnement

1. Probabilités – Variable aléatoire

1.1. Vocabulaire et propriétés des événements

  • Événement impossible : symbolisé par .

  • Événement certain : symbolisé par  (univers).

  • Événement "A et B" : noté AB.

  • Événement "A ou B" : noté AB.

  • Événement contraire : A est appelé événement contraire de A.

  • Événements incompatibles : Deux événements sont incompatibles lorsque AB=.

1.2. Probabilité d’un événement

  • Définition : Une expérience aléatoire se compose de plusieurs issues possibles déterminées par le hasard.

  • Soit  un univers mathématique représentant l’ensemble des issues possibles d’une expérience aléatoire.

  • Pour un événement A tel que A ⊆ , la probabilité est définie par :

p(A) = (nombre de cas favorables) / (nombre de cas possibles)où 0 ≤ p(A) ≤ 1.

  • Equiprobabilité : Si l’univers  est constitué de n issues avec la même probabilité, alors :

p = 1/n.

Formules importantes

  • Soit A et B deux événements dans l’univers :

    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

p(A) = 1 - p(A).

2. Conditionnement

a. Probabilités conditionnelles

  • Définition : Soient A et B deux événements d’un univers . La probabilité conditionnelle de l’événement A sachant B est définie comme :

    P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B).

b. Arbre pondéré

  • Les branches d'un arbre sont pondérées par des probabilités conditionnelles.

  • La somme des probabilités issues d’un même sommet (ou partition) est égale à 1.

3. Indépendance

a. Événements indépendants

  • Définition : Soit A et B deux événements de probabilité non nulle.

  • A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la réalisation de l’autre, ce qui se traduit par :

    P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

  • Quand A et B sont indépendants, toutes les relations de leurs réalisations le sont également.

b. Probabilités totales

  • Partition : Les événements A1, A2, …, An forment une partition de l’univers  si :

    • Les événements A1, A2, …, An sont 2 à 2 disjoints.

    • A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An = .

  • Définition : Soit A1, A2, …, An une partition de l’univers . Alors :

    P(B) = P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + … + P(B ∩ An).

    P(B) = P(A1) × P_{A1}(B) + P(A2) × P_{A2}(B) + … + P(An) × P_{An}(B).