Compendiu Complet de Electromagnetism și Optică

Tipuri Fundamentale de Interacțiuni în Natură

În univers există patru tipuri fundamentale de interacțiuni care guvernează comportamentul materiei:

• Interacțiunea gravitațională

  • Se exercită între orice două corpuri care posedă masă.

  • Este întotdeauna o forță de atracție.

  • Acționează asupra oricărei forme de materie.

  • Intensitatea sa este extrem de slabă, având o valoare relativă de $10^{-38}$.

• Interacțiunea electromagnetică

  • Se exercită între sarcini electrice.

  • Poate fi de atracție (sarcini de semne opuse) sau de respingere (sarcini de același semn).

  • Acționează exclusiv asupra particulelor încărcate electric.

  • Are o intensitate mare, evaluată la $10^{-2}$.

• Interacțiunea nucleară tare

  • Se exercită între particulele subatomice (nucleare).

  • Poate fi atât de atracție, cât și de respingere.

  • Acționează asupra particulelor fundamentale numite quarcuri.

  • Reprezintă intensitatea maximă de referință, având valoarea $1$.

• Interacțiunea nucleară slabă

  • Apare în procese specifice de dezintegrare radioactivă.

  • Acționează asupra tuturor particulelor fundamentale.

  • Are o intensitate de $10^{-5}$.

Fizica clasică se limitează la tratarea interacțiunilor gravitaționale și electromagnetice.

Fundamentele Electromagnetismului

Electromagnetismul este disciplina care studiază proprietățile și fenomenele produse de sarcinile electrice, curenții electrici și interacțiunile dintre aceștia.

Structura Electrică a Substanțelor

Substanțele sunt compuse din atomi. Din punct de vedere electric, atomii sunt structuri neutre, fiind alcătuiți din:

• Nucleu: conține sarcini electrice pozitive.

• Înveliș electronic: conține electroni, care reprezintă sarcinile electrice negative.

Forțele interatomice și intermoleculare care permit formarea solidelor și lichidelor sunt, la nivel fundamental, de natură electrică.

Aplicații și Etimologie

Legile electromagnetismului fundamentează funcționarea rețelelor de energie electrică, telefoanelor mobile, televizoarelor, motoarelor electrice, calculatoarelor și a diverselor dispozitive electronice.

• Electric: Provine din grecescul „elecktron”, care înseamnă chihlimbar.

• Magnetic: Își are originea în regiunea Magnesia (Grecia), unde a fost descoperită magnetita ($Fe_3O_4$), un mineral cu proprietatea de a atrage fierul.

Repere Istorice

• Grecii antici au observat că chihlimbarul frecat atrage obiecte mici.

• Chinezii au observat proprietățile magnetice acum aproximativ $4000$ de ani, iar grecii acum aproximativ $2700$ de ani.

• Legătura dintre fenomenele electrice și magnetice a fost demonstrată abia în secolul al XIX-lea, punându-se bazele electromagnetismului.

Electrostatică și Sarcina Electrică

Observații Experimentale

Frecarea unei bare de sticlă cu o bucată de mătase demonstrează apariția unor forțe de atracție sau respingere. Benjamin Franklin ($1706$–$1790$) a stabilit concluziile fundamentale:

1. Există două tipuri de sarcini electrice: pozitive și negative.

2. Sarcinile de același semn se resping, iar cele de semn contrar se atrag.

Conservarea și Cuantificarea Sarcinii

• Conservarea: În sisteme izolate electric, sarcina electrică totală se conservă. Frecarea nu creează și nu distruge sarcini, ci doar facilitează transferul electronilor de pe un material pe altul (de exemplu, de pe sticlă pe mătase).

• Cuantificarea: Robert Millikan ($1909$) a demonstrat că orice sarcină electrică ($q$) din natură este un multiplu întreg al sarcinii elementare ($e$).     $q = \pm n \times e$, unde $n = 1, 2, 3 \dots$

• Valorile sarcinii elementare:

  • Electron: $e = - 1.6 \times 10^{-19}\,C$

  • Proton: $e = + 1.6 \times 10^{-19}\,C$

• Invarianța: Valoarea sarcinii electrice rămâne aceeași în orice sistem de referință.

Unitatea de Măsură

Sarcina electrică se măsoară în Coulomb (C). $1\,C = 6.24 \times 10^{18}\,\text{electroni}$ Un Coulomb este o unitate foarte mare: două sarcini de $1\,C$ situate la $1\,m$ distanță ar interacționa cu o forță echivalentă cu greutatea a un milion de tone.

Materiale și Electrizare

Clasificarea Materialelor

1. Conductoare: Conțin electroni cvasi-liberi care se pot deplasa prin material (ex: metale).

2. Izolatoare: Toate sarcinile sunt legate de atomi, împiedicând deplasarea lor (ex: sticlă, lemn uscat, cauciuc).

3. Semiconductoare: Conduc curentul doar în anumite condiții (ex: germaniu ($Ge$), siliciu ($Si$)).

Metode de Electrizare

• Prin frecare: În cazul izolatoarelor, sarcina rămâne localizată în regiunea frecată. În cazul conductoarelor, sarcina se distribuie pe întreaga suprafață.

• Prin contact (conducție): Reprezintă transferul direct de sarcină.

• Prin inducție:

  • La izolatoare: Apare o separare a sarcinilor fără transfer masiv de electroni.

  • La conductoare: Sub influența unui corp electrizat, electronii se redistribuie, iar conductorul se poate electriza.

Legea lui Coulomb și Câmpul Electric

Interacțiunea Electrostatică

Interacțiunile între sarcinile aflate în repaus se manifestă la distanță, nu depind de masă, dar depind de distanță, mărimea sarcinilor, semnul acestora și mediul înconjurător. Charles-Augustin de Coulomb ($1736$–$1806$) a stabilit matematic forța de interacțiune folosind o balanță de torsiune.

Legea lui Coulomb (în vid/aer): $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \times \frac{q_1q_2}{r^2}$

Forma vectorială: $\mathbf{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \times \frac{q_1q_2}{r^2} \times \frac{\mathbf{r}}{r}$ Unde permitivitatea electrică a vidului este $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,F/m$.

Câmpul Electric (E)

O sarcină electrică modifică spațiul din jur creând un câmp electric. Intensitatea câmpului electric ($E$) produs de o sarcină punctiformă $q$ la distanța $r$ este: $\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \times \frac{q}{r^2} \times \frac{\mathbf{r}}{r}$

Forța exercitată asupra unei sarcini de probă $q'$ plasată în câmp este: $\mathbf{F}_e = q'\mathbf{E}$ Unitatea de măsură pentru $E$ este Volt pe metru (V/m) sau Newton pe Coulomb (N/C).

Principiul Superpoziției și Densități de Sarcină

Superpoziția

Câmpul electric total produs de un ansamblu de sarcini este suma vectorială a câmpurilor individuale: $\mathbf{E} = \sum_{i=1}^{N} \mathbf{E}_i$

Liniile de Câmp

Sunt linii imaginare tangente la vectorul $\mathbf{E}$, reprezentând traiectoria unei sarcini pozitive libere. O densitate mare de linii indică un câmp intens.

Densități de Sarcină

1. Volumică (\rho): $\rho = \frac{Q}{V}$

2. Superficială (\sigma): $\sigma = \frac{Q}{S}$

3. Liniară (\lambda): $\lambda = \frac{Q}{l}$

Fluxul Electric și Legea lui Gauss

Fluxul Câmpului Vectorial (\Phi)

Fluxul printr-o suprafață $S$ este definit ca: $d\Phi = \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}$ Pentru un câmp constant și suprafață plană: $\Phi = E S \cos(\theta)$, unde $\theta$ este unghiul dintre câmp și normala la suprafață ($\mathbf{n}$).

Legea lui Gauss pentru Electrostatică

Fluxul total al intensității câmpului electric printr-o suprafață închisă este egal cu sarcina totală din interiorul suprafeței împărțită la permitivitatea mediului. $\iint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q}{\epsilon}$ Unde $\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0$.

Observații privind Legea lui Gauss:

• Este utilă pentru calculul câmpului în sisteme cu simetrie sferică, cilindrică sau plană.

• Suprafața imaginară aleasă se numește suprafață gaussiană.

• Dacă $\Phi_E = 0$, nu înseamnă obligatoriu că $E = 0$, ci doar că fluxul net este nul.

Aplicații Practice: Câmpul Electric

Aplicația 1: Picătura de Apă în Furtună

O picătură cu masa $m = 3 \times 10^{-12}\,kg$ este suspendată într-un câmp vertical $E = 6 \times 10^3\,V/m$. Din condiția de echilibru ($G + F_e = 0$): $qE - mg = 0 \implies q = - \frac{mg}{E}$ $q = - \frac{3 \times 10^{-12} \times 9.81}{6 \times 10^3} = - 4.9 \times 10^{-15}\,C$ Numărul de electroni suplimentari este $n = \frac{|q|}{|e|} \approx 30,000$.

Aplicația 2: Plan Infinit Încărcat

Folosind o suprafață gaussiană cilindrică, câmpul electric creat de un plan infinit cu densitatea $\sigma$ este: $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ Valoarea câmpului este constantă și independentă de distanța față de plan.

Conductori în Echilibru Electrostatic

Un conductor este în echilibru electrostatic dacă nu există deplasare netă de sarcină în interiorul său. Proprietăți:

1. Câmpul în interior este nul ($E = 0$): Sarcinile induse pe fețe anulează câmpul exterior. Timpul de atingere a echilibrului este de aproximativ $10^{-16}\,s$.

2. Sarcina stă pe suprafață: Conform legii lui Gauss, deoarece $E=0$ în interior, sarcina netă internă trebuie să fie nulă.

3. Câmpul la suprafață este perpendicular: Valoarea sa este $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$. Dacă ar exista o componentă tangențială, sarcinile s-ar deplasa.

4. Efectul vârfurilor: Densitatea de sarcină $\sigma$ este maximă în punctele cu raza de curbură minimă (vârfuri, muchii ascuțite).

Potențialul Electric și Energia Potențială

Definiții și Formule

• Potențialul Electric (V): Lucrul mecanic efectuat de câmpul electric pentru a deplasa unitatea de sarcină dintr-un punct până la infinit ($V_{\infty} = 0$).     $V_A = \int_{r_A}^{\infty} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}$

• Diferența de potențial (Tensiunea, U):     $U = V_B - V_A = - \int_{A}^{B} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}$     Unitatea de măsură: 1 Volt (V) = 1 J/C.

• Energia Potențială Electrică ($E_p$):     $E_p = q'V \implies \Delta E_p = q'U$

Potențialul unei Sarcini Punctiforme

$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \times \frac{q}{r}$ Pentru un sistem de sarcini, potențialul este suma scalară: $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum \frac{q_i}{r_i}$.

Suprafețe Echipotențiale

Sunt suprafețe formate din puncte cu același potențial. Într-un câmp uniform, acestea sunt plane perpendiculare pe liniile de câmp. Potențialul scade întotdeauna în sensul liniilor de câmp.

Condensatorul Electric

Dispozitiv utilizat pentru stocarea sarcinii și energiei electrice, format din două armături conductoare separate de un dielectric.

• Capacitatea (C): Raportul dintre sarcină și tensiune.     $C = \frac{q}{U}$     Unitatea de măsură: Farad (F).

• Condensatorul Plan:     $C = \frac{\epsilon_0 \epsilon_r A}{d}$

• Energia stocată:     $E_p = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} q U = \frac{q^2}{2C}$

Gruparea Condensatoarelor

• În paralel: Tensiunea este aceeași ($U$), sarcina totală se adună.     $C_{eq} = C_1 + C_2 + \dots + C_n$

• În serie: Sarcina este aceeași ($q$), tensiunile se adună.     $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n}$

Curentul Electric și Conducția în Metale

Intensitatea și Densitatea Curentului

• Intensitatea (I): Debitul de sarcină prin secțiunea conductorului.     $I = \frac{dQ}{dt}$ (Unitate: Amper, A)

• Densitatea de curent (J): Curentul pe unitatea de suprafață.     $J = \frac{I}{A}$ (Unitate: $A/m^2$)

Modelul lui Drude

Descrie electronii ca un gaz ideal care se ciocnește doar cu ionii rețelei.

• Viteza de drift ($v_d$): Viteza medie de deplasare ordonată. Pentru cupru, $v_d \approx 2.24 \times 10^{-4}\,m/s$.

• Relația fundamentală: $I = n q v_d S$ sau $J = n q v_d$.

• Efectul Joule: Ciocnirile electronilor cu ionii transferă energie rețelei, ducând la încălzirea conductorului.

Legea lui Ohm și Rezistivitatea

• Legea lui Ohm microscopică (locală):     $\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$     Unde $\sigma = n q \mu$ este conductivitatea ($\mu$ fiind mobilitatea).

• Rezistivitatea (\rho): $\rho = \frac{1}{\sigma}$.

• Legea lui Ohm macroscopică (integrală):     $U = R I$

• Rezistența electrică (R):     $R = \rho \frac{l}{A}$ (Unitate: Ohm, $\Omega$)

Dependența de Temperatură

$\rho = \rho_0 [1 + \alpha(t - t_0)]$

• Metale: \alpha > 0 (rezistența crește cu temperatura).

• Semiconductoare: \alpha < 0 (rezistența scade cu temperatura).

Circuite de Curent Continuu și Legile lui Kirchhoff

• Nod: Punctul de întâlnire a cel puțin 3 conductoare.

• Latură: Porțiunea de circuit între două noduri adiacente.

• Ochi (buclă): Traseu închis în circuit.

Legile lui Kirchhoff:

1. Legea I (a nodurilor): Suma curenților care intră într-un nod este egală cu suma celor care ies ($\sum I_k = 0$). Bazată pe conservarea sarcinii.

2. Legea a II-a (a ochiurilor): Într-un ochi de circuit, suma tensiunilor electromotoare este egală cu suma căderilor de tensiune ($\sum \epsilon = \sum RI$). Bazată pe conservarea energiei.

Notă: Legile lui Kirchhoff nu fac subiectul examenului de fizică, fiind aprofundate la Electrotehnică.

Câmpul Magnetic și Inducția Magnetică

Câmpul magnetic este o mărime vectorială generată de magneți, electromagneți sau sarcini în mișcare.

• Intensitatea câmpului magnetic (H): Unitate: $A/m$.

• Inducția magnetică (B): Unitate: Tesla (T).

• Relația de legătură: $\mathbf{B} = \mu_0 (\mathbf{H} + \mathbf{M})$ sau $\mathbf{B} = \mu_r \mu_0 \mathbf{H}$.     $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,H/m$ (permeabilitatea vidului).

Legea lui Gauss pentru Magnetostatică

Fluxul inducției magnetice printr-o suprafață închisă este întotdeauna nul: $\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0$ Aceasta implică faptul că liniile de câmp magnetic sunt închise și nu există monopoli magnetici.

Forța Lorentz și Forța Ampère

• Forța Magnetică asupra unei sarcini (Lorentz):     $\mathbf{F}_m = q (\mathbf{v} \times \mathbf{B})$     Modul: $F_m = q v B \sin(\theta)$. Forța este nulă dacă sarcina se mișcă paralel cu câmpul.

• Forța asupra unui conductor (Ampère):     $\mathbf{F}_B = I (\mathbf{L} \times \mathbf{B})$

• Momentul Magnetic (\mu) pentru o buclă de curent:     $\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\mu} \times \mathbf{B}$, unde $\boldsymbol{\mu} = I \mathbf{A}$.

Magnetismul la Nivel Atomic

Momentul magnetic al atomului provine din mișcarea orbitală a electronilor și din spinul acestora. Magnetizarea ($\mathbf{M}$) este suma momentelor magnetice pe unitatea de volum.

Legea lui Ampère și Completările lui Maxwell

Legea lui Ampère (forma integrală): $\oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = I_{\text{total}}$ Maxwell a adăugat noțiunea de curent de deplasare ($J_d$) generat de un câmp electric variabil: $\mathbf{J}_d = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$ Astfel, un câmp magnetic poate fi generat atât de curenți de conducție, cât și de câmpuri electrice variabile.

Inducția Electromagnetică (Legea lui Faraday)

O variație a fluxului magnetic prin suprafața unui circuit induce o tensiune electromotoare ($\epsilon$). $\epsilon = - N \frac{d\Phi_B}{dt}$ Semnul minus reprezintă Legea lui Lenz: Sensul curentului indus este astfel încât să se opună variației fluxului care l-a produs.

Aplicații ale Inducției

• Transformatorul: Modifică tensiunea alternativă prin raportul numărului de spire: $\frac{\epsilon_s}{\epsilon_p} = \frac{N_s}{N_p}$.

• Generatorul: Transformă energia mecanică în electrică ($\epsilon = NBS\omega \sin(\omega t)$).

• Motorul: Transformă energia electrică în mecanică.

• Alte aplicații: Plita cu inducție (curenți Foucault), înregistrarea magnetică pe HDD.

Ecuațiile lui Maxwell în Formă Diferențială

Acestea descriu comportamentul câmpului electromagnetic în fiecare punct din spațiu:

1. $\text{rot } \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ (Faraday)

2. $\text{rot } \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$ (Ampère-Maxwell)

3. $\text{div } \mathbf{D} = \rho$ (Gauss - Electric)

4. $\text{div } \mathbf{B} = 0$ (Gauss - Magnetic)

Unde Electromagnetice și Optică

Undele electromagnetice sunt transversale ($\mathbf{E} \perp \mathbf{B} \perp \text{direcția de propagare}$). În vid, viteza lor este $c = 3 \times 10^8\,m/s$. Într-un mediu omogen: $v = \frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}} = \frac{c}{n}$ Unde $n$ reprezintă indicele de refracție: $n = \sqrt{\epsilon_r\mu_r}$.

Spectrul Electromagnetic

• Unde radio: 1\,m < \lambda < 1000\,m

• Microunde: 10^{-3}\,m < \lambda < 1\,m

• Infraroșu (IR): 7.8 \times 10^{-7}\,m < \lambda < 10^{-3}\,m

• Vizibil: 380\,nm < \lambda < 750\,nm ($3.8 \times 10^{14} \dots 7.7 \times 10^{14}\,Hz$)

• Ultraviolet (UV): 10^{-9}\,m < \lambda < 4 \times 10^{-7}\,m

• Raze X: \lambda < 10^{-9}\,m

• Raze Gamma (\gamma): \lambda < 10^{-10}\,m

Optica Geometrică

Se bazează pe aproximarea razelor de lumină și pe legi fundamentale:

1. Propagarea rectilinie: În medii omogene.

2. Independența fasciculelor.

3. Reversibilitatea razelor.

4. Principiul lui Fermat: Lumina urmează drumul care minimizează timpul de propagare.

Reflexia și Refracția

• Legile Reflexiei: Sursa, normala și raza reflectată sunt în același plan; $i = r$.

• Legile Refracției (Legea lui Snell): $n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$.

• Reflexia Totală: Apare când n_1 > n_2 și unghiul de incidență depășește unghiul limită ($l$).     $\sin(l) = \frac{n_2}{n_1}$     Aplicație principală: Fibra optică.

Dioptrul Sferic și Lentile Subțiri

Legea dioptrului sferic: $\frac{n_1}{-s} + \frac{n_1}{R} = \frac{n_2}{R} - \frac{n_2}{s'}$ Legea lentilelor subțiri: $\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{f'}$

• Convergența (C): $C = \frac{1}{f'}$ (Unitate: Dioptrie, $D = m^{-1}$).

Formarea Imaginilor în Lentile

• Convergentă: Imagine reală/virtuală, răsturnată/dreaptă depinzând de poziția obiectului față de focar.

• Divergentă: Întotdeauna imagine virtuală, dreaptă și micșorată.

Fenomene Ondulatorii

Absorbția și Dispersia

• Legea Lambert: $I(x) = I_0 e^{-k_{\lambda} x}$. Intensitatea scade exponențial cu distanța.

• Dispersia: Variația indicelui de refracție cu lungimea de undă ($\frac{dn}{d\lambda}$).

  • Normală (n_{\text{albastru}} > n_{\text{roșu}}): Duce la descompunerea luminii prin prismă și la formarea curcubeului.

  • Produce aberația cromatică la lentile.

Interferența

Suprapunerea undelor coerente (aceeași frecvență, diferență de fază constantă).

• Dispozitivul lui Young: Formează franje luminoase (maxime) și întunecate (minime).

• Interfranja (i): Distanța între două maxime. $\text{Maxim: } x_n = \frac{Dn\lambda}{d}$

• Interferența pe straturi subțiri: Determină iridescența (ex. balon de săpun) și culorile structurale.

Difracția

Abaterea de la propagarea rectilinie la întâlnirea orificiilor mici ($\lambda \approx d$).

• Principiul lui Huygens: Fiecare punct de pe frontul de undă devine o sursă secundară.

• Criteriul lui Rayleigh: Limita de rezoluție a sistemelor optice; două imagini sunt distincte dacă maximul uneia cade pe minimul celeilalte.

Polarizarea

Proprietate a undelor transversale de a restrânge oscilațiile vectorului $\mathbf{E}$ la o anumită direcție.

• Legea lui Malus: $I = I_0 \cos^2(\alpha)$, unde $\alpha$ este unghiul între polarizor și analizor.

• Legea lui Brewster: $\tan(i_B) = \frac{n_2}{n_1}$. La unghiul Brewster, lumina reflectată este total polarizată.

Optica Cuantică și Structura Atomului

Teoria clasică (ondulatorie) nu a putut explica: spectrele discrete ale gazelor, efectul fotoelectric și efectul Compton.

Efectul Fotoelectric Extern

Explicat de Albert Einstein ($1905$; în curs menționat $1900$): Lumina este un flux de fotoni cu energia $\epsilon = h\nu$. Legea lui Einstein: $h\nu = L_{ex} + E_c$ Acest fenomen demonstrează natura corpusculară a luminii.

Dualitatea Undă-Particulă

Louis de Broglie ($1923$) a postulat că și particulele (electronii) au caracter ondulatoriu: $\lambda = \frac{h}{p}$ Când impulsul ($p$) este mare (obiecte macro), $\lambda$ este neglijabilă.

Modelul Atomic al lui Bohr ($1913$)

1. Electronii se mișcă pe orbite circulare staționare fără a emite energie.

2. Energia este cuantificată: $E_n = - \frac{13.6 \times Z^2}{n^2}\,eV$.

3. Emisia/Absorbția are loc la tranziția între nivele: $\Delta E = h\nu$.

Modelul Cuantic Modern

Folosește ecuația lui Schrödinger. Starea electronului este definită de 5 numere cuantice:

1. n (principal): Definește energia și stratul (K, L, M…).

2. l (orbital): Definește momentul cinetic orbital și substratul (s, p, d, f).

3. m (magnetic): Orientarea orbitalului ($m = -l \dots +l$).

4. s (spin): Valoarea spinului ($1/2$).

5. m_s (magnetic de spin): Orientarea spinului ($\pm 1/2$).

Magnetonul Bohr: $\mu_B = 9.274 \times 10^{-24}\,A \cdot m^2$ reprezintă cea mai mică unitate a momentului magnetic.

Efectul Compton

Modificarea lungimii de undă a razelor X la împrăștierea pe electroni slab legați. $\Delta \lambda = \Lambda_C (1 - \cos \theta)$ Unde lungimea de undă Compton pentru electron este $\Lambda_C = 0.024\,\text{\AA}$. Aceasta confirmă ciocnirea elastică foton-electron.

Probleme și Aplicații Numerice

• Potențialul unei sarcini elementare: Pentru $q = 16.02 \times 10^{-19}\,C$ la $r = 0.5\,mm$, se utilizează $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$.

• Interacțiunea forței magnetice: O particulă cu $q = - 1.6 \times 10^{-19}\,C$ și $v = 425\,m/s$ într-un câmp de $24\,\mu T$ vertical experimentează o forță $F_m = qvB$.

• Variația rezistivității: Pentru un fir conductor de $2\,m$ și diametru $1.38\,mm$, rezistența se calculează la $20^\circ C$ și $50^\circ C$ folosind $\rho = \rho_0[1 + \alpha t]$.

• Echilibrul picăturii de apă: $q = - 4.9 \times 10^{-15}\,C$. Aceasta poartă un surplus de $30,000$ de electroni.