La mesure et les chiffres significatifs

Mesure et incertitude: règles essentielles

Lors d'une mesure, si l'instrument n'indique pas d'incertitude absolue, celle-ci est conventionnellement égale à la moitié de la plus petite unité affichée par l'instrument. Ceci est représenté par la formule $"\Delta x = \frac{a}{2}"$ où $\Delta x$ est l'incertitude et $a$ est la plus petite unité. Par exemple, avec une règle graduée en centimètres, une mesure de $L = 5.0\ \text{cm}$ aura une incertitude de $"\pm 0.5\ \text{cm}"$ ce qui signifie que la valeur réelle de $L$ est comprise entre $4.5\ \text{cm}$ et $5.5\ \text{cm}$. Si la règle est graduée en millimètres, une mesure comme $L = 5.30\ \text{cm}$ aurait une incertitude de $"\pm 0.05\ \text{cm}"$ son intervalle étant 5.25\ \text{cm} < L < 5.35\ \text{cm}. De même, pour une éprouvette graduée de capacité maximale $20.0\ \text{mL}$ et graduée tous les $0.5\ \text{mL}$, une mesure de $V = 11.50\ \text{mL}$ aura une incertitude de $"\pm 0.05\ \text{mL}"$ indiquant que le volume est entre $11.45\ \text{mL}$ et $11.55\ \text{mL}$. En somme, l'incertitude absolue correspond à la demi-graduation affichée par l'instrument de mesure.

Notion de chiffres significatifs

Les chiffres significatifs d'une mesure ou d'une valeur correspondent aux chiffres tenus pour certains, plus le premier chiffre dont la valeur est incertaine. Par exemple, pour $L = 5.0\ \text{cm}$, il y a 1 chiffre significatif (le '5' étant incertain dans ce contexte). Pour $L = 5.3\ \text{cm}$, il y a 2 chiffres significatifs (le '5' est certain, le '3' est le premier incertain). Dans le cas de $V = 11.5\ \text{mL}$, on compte 3 chiffres significatifs, avec les deux premiers certains et le '5' étant le premier incertain.

Cas des zéros

Concernant les zéros, leur signification dépend de leur position. Un nombre comme $2\,000$ possède 4 chiffres significatifs, tandis que $5.06$ en a 3. Cependant, les zéros situés à gauche d'une séquence de chiffres, comme dans $0.002$, ne sont pas significatifs; ils servent uniquement à indiquer l’ordre de grandeur et $0.002$ n'a qu'un seul chiffre significatif. Il est important de noter que toutes les valeurs publiées, les valeurs obtenues par comptage (dénombrement) et les définitions sont considérées comme ayant un nombre illimité de chiffres significatifs.

Calcul et chiffres significatifs

Les règles concernant les chiffres significatifs lors des calculs sont primordiales pour la précision du résultat.

Multiplication et division

Lors de multiplications ou de divisions, le résultat doit conserver le même nombre de chiffres significatifs que la mesure la moins précise (celle qui en a le moins) utilisée dans l'opération. Par exemple, si l'on calcule $123.40 \times 1.23$, le résultat brut est $151.782$. Puisque $1.23$ a 3 chiffres significatifs (le minimum), le résultat final doit être arrondi à 3 chiffres significatifs, donnant $152$.

Addition et soustraction

Pour les additions et les soustractions, la règle diffère: le résultat doit conserver le même nombre de décimales (chiffres après la virgule) que la mesure la moins précise en termes de décimales. Par exemple, la somme de $15.3 + 17.02 + 3.008$ donne théoriquement $35.328$. Cependant, puisque $15.3$ est la mesure ayant le moins de décimales (une seule), le résultat doit être arrondi à une décimale, soit $35.3$. Il est essentiel d'arrondir les résultats obtenus sur une calculatrice au nombre correct de chiffres significatifs ou de décimales approprié.

Arrondis: règles pratiques

Lors des arrondis, plusieurs règles doivent être appliquées.

Le dernier chiffre n'est pas un 5

Pour arrondir une valeur comme $12.1X$ à 3 chiffres significatifs:

• Si le chiffre $X$ (le quatrième chiffre) est $1, 2, 3, ext{ ou } 4$, alors on arrondit par défaut, et la valeur devient $\approx 12.1$.

• Si le chiffre $X$ est $6, 7, 8, ext{ ou } 9$, alors on arrondit par excès, et la valeur devient $\approx 12.2$.

Le dernier chiffre est 5

Si le dernier chiffre à arrondir est un 5, il existe trois situations spécifiques pour une valeur de type $12.X5$ arrondie à 3 chiffres significatifs:

• Si le chiffre $X$ (le troisième chiffre) est pair et qu’il n’y a aucun chiffre après le 5, ou seulement des zéros, l’arrondi s'effectue en laissant le chiffre $X$ tel quel. Par exemple, $12.25$ devient $12.2$.

• Si le chiffre $X$ est pair mais qu’il y a d’autres chiffres non nuls après le 5, alors on doit augmenter le chiffre $X$ d'une unité. Par exemple, $12.2501$ devient $12.3$.

• Si le chiffre $X$ est impair, dans tous les cas, on augmente le chiffre $X$ d’une unité. Par exemple, $12.15$ devient $12.2$.

Il est important de noter que $X$ représente n'importe quel chiffre. En pratique, lors de la réalisation de calculs à l'aide d'une calculatrice, il est impératif de rapporter le résultat final au nombre approprié de chiffres significatifs avant de l'afficher ou de l'utiliser dans d'autres calculs.