Variabili casuali e distribuzioni

VARIABILI CASUALI E DISTRIBUZIONI

Scelta tra alternative con il criterio del valore medio

Un esempio di scelta tra alternative viene presentato con una persona che deve decidere quante paste acquistare in base alla sua esperienza.

• Le paste vengono vendute a 1,10 €.

• Si considerano tre possibili quantità di paste acquistate: 15, 25 o 30.

• Si definiscono le variabili:

  • $x$: paste comprate

  • $y$: paste vendute

• Il costo di acquisto è $C = 0,50x$

• Il ricavo è $R = 1,1y$

• Si hanno tre eventi possibili:

  • $E_1$: 15 paste vendute

  • $E_2$: 25 paste vendute

  • $E_3$: 30 paste vendute

• Si definiscono tre alternative:

  • $A_1$: 15 paste acquistate

  • $A_2$: 25 paste acquistate

  • $A_3$: 30 paste acquistate

È fornita una tabella con i guadagni per ogni alternativa ed evento, insieme alle probabilità degli eventi.

Le medie sono calcolate come segue:

• Media $A_1 = 9 \cdot 0,35 + 9 \cdot 0,45 + 9 \cdot 0,2 = 9$

• Media $A_2 = 4 \cdot 0,35 + 15 \cdot 0,45 + 15 \cdot 0,2 = 11,15$

• Media $A_3 = -1,50 \cdot 0,35 + 12,50 \cdot 0,45 + 18 \cdot 0,2 = 8,75$

In base al criterio del valore medio, conviene acquistare 25 paste.

Criterio del valore medio e rischio

A volte, una colonna ha solo valori più alti delle altre colonne; in questo caso, quella colonna si dice dominante, mentre le altre colonne sono dominate.

Si introduce il concetto di avversione al rischio.

• Media $A_1 = 30 \cdot 0,7 + (-13) \cdot 0,1 + 10 \cdot 0,2 = 22$

• Media $A_2 = (-40) \cdot 0,7 + 60 \cdot 0,1 + 30 \cdot 0,2 = -4$

• Media $A_3 = 30 \cdot 0,7 + 40 \cdot 0,1 + (-10) \cdot 0,2 = 11$

$A<em>1$ è la scelta migliore secondo il criterio del valore medio. Se si è avversi al rischio, si potrebbe scegliere l'alternativa $A</em>3$, poiché la perdita di -10 si verifica con una probabilità minore. Se si è propensi al rischio, si potrebbe scegliere l'alternativa $A_2$, poiché, anche se con basse probabilità, promette una maggiore opportunità di guadagno.

Perdita di opportunità e valore dell'informazione

Per ogni evento, si calcola il massimo guadagno di ogni alternativa.

• Evento $E<em>1$: massimo guadagno = 20 (alternativa $A</em>3$)

• Evento $E<em>2$: massimo guadagno = 30 (alternativa $A</em>2$)

• Evento $E<em>3$: massimo guadagno = 20 (alternativa $A</em>1$)

Si chiama perdita di opportunità la differenza tra il massimo guadagno possibile e il guadagno effettivamente ottenuto scegliendo una determinata alternativa.

• Se si sceglie $A_1$:

  • Evento $E_1$: perdita di opportunità = $20 - (-10) = 30$

  • Evento $E_2$: perdita di opportunità = $30 - 10 = 20$

  • Evento $E_3$: perdita di opportunità = $20 - 20 = 0$

• Se si sceglie $A_2$:

  • Evento $E_1$: perdita di opportunità = $20 - (-10) = 30$

  • Evento $E_2$: perdita di opportunità = $30 - 30 = 0$

  • Evento $E_3$: perdita di opportunità = $20 - 10 = 10$

• Se si sceglie $A_3$:

  • Evento $E_1$: perdita di opportunità = $20 - 20 = 0$

  • Evento $E_2$: perdita di opportunità = $30 - 10 = 20$

  • Evento $E_3$: perdita di opportunità = $20 - (-20) = 40$

• Se si sceglie $A_4$:

  • Evento $E_1$: perdita di opportunità = $20 - 10 = 10$

  • Evento $E_2$: perdita di opportunità = $30 - 10 = 20$

  • Evento $E_3$: perdita di opportunità = $20 - 10 = 10$

Il valore dell'informazione rappresenta l'ammontare massimo che si è disposti a pagare per avere, se possibile, un'informazione prima di prendere una decisione.

Ricerca Operativa

La ricerca operativa è nata durante la Seconda Guerra Mondiale per migliorare l'efficienza e l'efficacia operativa.

Fasi della Ricerca Operativa

1. Formulazione del problema: capire quali variabili dipendono da un obiettivo (funzione obiettivo).

2. Costruzione del modello matematico:

   • Variabili ($x<em>1, x</em>2, …, x_m$), dette variabili d'azione o ammissibili.

   • Funzione obiettivo: $y = f(x<em>1, x</em>2, …, x_m)$

   • Relazioni tra le variabili, vincoli tecnici (ore lavorate, numero massimo di dipendenti).

   • Vincoli di segno: riguardano variabili che devono essere necessariamente positive (numero di pezzi prodotti).

Il modello matematico crea nello spazio ammissibile un'area di soluzioni.

3. Studio del modello: risolvere il modello matematico.

4. Controllo delle soluzioni: verificare se il modello è accettabile e se la soluzione è attuabile.

Classificazione dei problemi di ricerca operativa

• Tipo di variabili:

  • Discrete: possono assumere solo certi valori interi (numero di pezzi).

  • Continue: possono assumere qualunque valore reale (kg, €, m…).

• Condizioni di scelta:

  • Certezza: i dati sono noti e frutto di indagini precise (costi, ricavi, utile).

  • Incertezza: i dati sono legati a probabilità (previsioni di vendita).

• Momento della scelta:

  • Immediati: il tempo fra la scelta e l'effetto non influisce sulle grandezze (quantità di beni da produrre).

  • Differiti: è rilevante il tempo che intercorre tra la scelta e l'effetto (investimento finanziario).

Problemi di scelta nel continuo

Esempio 1

Un commerciante acquista pomodori all'ingrosso a 1,20 €/kg e li rivende a 4,4 €/kg. Per il trasporto sostiene costi fissi di 16 € al giorno e al massimo può trasportare 20 kg.

1. Formulare il problema: vuole massimizzare il suo utile.

2. Costruzione del modello:

   • $x$ = quantità di pomodori.

   • $R = 4,4x$

   • $C = 16 + 1,2x$

   • $U = R - C = 4,4x - 16 - 1,2x = 3,2x - 16$ (Funzione Obiettivo)

   • Vincolo: $x \le 20$

$U(20) = 3,2 \cdot 20 - 16 = 48$

Break-even point (BEP): $3,2x - 16 = 0 \Rightarrow 3,2x = 16 \Rightarrow x = \frac{16}{3,2} = 5$

Esempio 2

Un gestore di un bar acquista nocino sostenendo spese fisse di 640 € mensili.
Acquista il liquore a un prezzo di 6 € e lo rivende al prezzo $P = -0,1x + 30$
Può acquistare massimo 110 litri in inverno e 180 litri in estate.
Determinare la quantità da acquistare e vendere per ottenere il massimo utile.

• Costi fissi: $CF = 640 €$

• Costo totale: $CT = 640 + 6x$

• Prezzo: $P = -0,1x + 30$

• Utile: $U = R - C$

  • Ricavo: $R = (-0,1x + 30) \cdot x = -0,1x^2 + 30x$

  • $U = -0,1x^2 + 30x - (640 + 6x) = -0,1x^2 + 24x - 640$

Per trovare il BEP, poniamo $U = 0$
$-0,1x^2 + 24x - 640 = 0$
$\Delta = 24^2 - 4 \cdot (-0,1) \cdot (-640) = 576 - 256 = 320$
$x<em>{1,2} = \frac{-24 \pm \sqrt{320}}{-0,2}$ $x</em>1 \approx 30,56$
$x_2 \approx 209,44$

Per trovare il vertice, usiamo la formula $V = (-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$

Oppure, calcoliamo la derivata prima e poniamola maggiore di zero:
U' = -0,2x + 24 > 0
-0,2x > -24
0,2x < 24
x < 120

$U(120) = -0,1 \cdot 120^2 + 24 \cdot 120 - 640 = 800$

• In estate, il massimo utile è 800 € con 120 litri venduti.

• In inverno, il massimo utile è raggiunto con la quantità massima vendibile di 110 litri.

Problemi di scelta nel caso discreto

Un'azienda produce maglioni in lotti da 100 pezzi, sostenendo costi fissi pari a 2500 € e costi variabili pari a 14 € a maglione.

• 1 lotto viene venduto a 5000 €.

• 2 lotti vengono venduti a 4500 € l'uno.

• 3 lotti vengono venduti a 4000 € l'uno.

Quanti lotti conviene produrre e vendere per ottenere il massimo utile?

Per ottenere il massimo utile, devo produrre e vendere 3 o 4 lotti.

Problema delle scorte

Il problema consiste nel calcolare il lotto economico da ordinare al magazzino.
L'obiettivo è minimizzare i costi legati alla gestione delle scorte.

Le risorse utilizzabili da un'azienda sono:

• Magazzino (stock): è la riserva o la dotazione.

Consideriamo i costi:

• Costo di ordinazione: (trasporto) dipende dal numero di ordinazioni.

• Costo di magazzinaggio (stoccaggio): aumenta con la giacenza del magazzino.

• Costo di acquisto merce: sconto per grandi lotti.

Nella realtà ci sono tante variabili, per semplificare realizziamo un modello matematico con le seguenti ipotesi:

• Le scorte si esauriscono in modo uniforme.

• Il magazzino viene rifornito nel momento esatto in cui la merce si esaurisce.

Nella realtà ci sono sovrapposizioni di scorte e rotture di stock, che con la modellizzazione si vogliono evitare.

Dati del problema:

• $Q$: quantità necessaria nel periodo.

• $C_o$: costo a ordinazione.

• $C_u$: costo di magazzinaggio.

• $P$: prezzo della merce.

Lotto economico di ordinazione ($x$): è la quantità che devo ordinare per minimizzare mediamente i costi di magazzino.

Poiché il magazzino mediamente contiene $Q/2$ e il numero di ordinazioni è $Q/x$, il costo totale è:

$CT = \frac{Q}{x} \cdot C<em>o + \frac{x}{2} \cdot C</em>u + P \cdot Q$

• $\frac{Q}{x} \cdot C_o$ = Costo di ordinazione

• $\frac{x}{2} \cdot C_u$ = Costo di magazzino

• $P \cdot Q$ = Costo della merce

Caso 1: Il prezzo della merce non dipende dalla quantità acquistata.

Ora calcoliamo la derivata e la poniamo > 0:

CT' = -\frac{Q \cdot Co}{x^2} + \frac{Cu}{2} > 0

\frac{Cu}{2} > \frac{Q \cdot Co}{x^2}

x^2 > \frac{2QCo}{Cu}

$x = \sqrt{\frac{2QC<em>o}{C</em>u}}$

È il lotto economico di ordinazione.

Diagramma di redditività

Definizione

Un diagramma di redditività è una rappresentazione grafica dei costi, dei ricavi e dell'utile di un'azienda in funzione della quantità prodotta e venduta.

Esso include:

• Costi Fissi (CF): costi che non variano al variare della quantità prodotta.

• Costi Variabili (CV): costi che variano al variare della quantità prodotta.

• Costo Totale (CT): somma dei costi fissi e dei costi variabili. $CT = CF + CV$

• Ricavi (R): entrate derivanti dalla vendita dei prodotti. $R = P \cdot q$ dove P è il prezzo e q è la quantità.

• Utile (U): differenza tra i ricavi e i costi totali. $U = R - CT$ oppure $U = (P \cdot q) - (CF + CV)$

Break-Even Point (BEP)

Il Break-Even Point (BEP), o punto di pareggio, è il punto in cui i ricavi totali sono uguali ai costi totali, quindi l'utile è zero.

$U = 0 \Rightarrow R = CT$

Graficamente:

• A sinistra del BEP, l'azienda è in perdita.

• A destra del BEP, l'azienda genera utile.

Punti di non derivabilità

• Flessi a tangente verticale

• Cuspide

• Punto angoloso

Una funzione rappresentata in un grafico è sempre derivabile poiché si possono sempre disegnare (in ogni suo punto) le rette tangenti a essa. Oltre ad essere sempre derivabile, è anche continua: una funzione derivabile è sicuramente continua.

Teoremi del calcolo differenziale

Teorema di Lagrange

Data una funzione $f(x)$ definita in un intervallo chiuso $[a, b]$ tale che:

• $f(x)$ è continua in $[a, b]$

• $f(x)$ è derivabile in $]a, b[$

allora esiste almeno un punto $c \in ]a, b[$ tale che:

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Dove: $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ è l'inclinazione della retta che congiunge A con B, e $f'(c)$ è l'inclinazione della retta tangente alla funzione nel punto c.

Flesso a tangente verticale

Nel caso del flesso a tangente verticale, la tangente è "infinitamente" inclinata, quindi la derivata prima non è definita:

$\lim<em>{x \to x</em>0^-} f'(x) = +\infty$
$\lim<em>{x \to x</em>0^+} f'(x) = +\infty$

Cuspide

Anche in questo caso la tangente è "infinitamente" inclinata e la derivata non è definita:

$\lim<em>{x \to x</em>0^-} f'(x) = +\infty$
$\lim<em>{x \to x</em>0^+} f'(x) = -\infty$

Punto angoloso

Esistono le derivate destra e sinistra del punto x, ma queste derivate sono diverse.

Sia $f(x)$ una funzione continua in $x_0$. Se esistono i seguenti limiti:

$\lim<em>{x \to x</em>0^-} f'(x) = l<em>1$ $\lim</em>{x \to x<em>0^+} f'(x) = l</em>2$

inoltre $l<em>1 \neq l</em>2$, allora $x_0$ è un punto angoloso.

Teorema di Rolle

Data una funzione continua $f(x)$ definita in un intervallo chiuso $[a, b]$ tale che:

• $f(x)$ è continua in $[a, b]$

• $f(x)$ è derivabile in $]a, b[$

• $f(a) = f(b)$

allora esiste almeno un punto $c \in ]a, b[$ tale che:

$f'(c) = 0$

Teorema di Cauchy

Date due funzioni f(x) e g(x) definite in un intervallo [a, b] tale che:

• f(x) e g(x) sono continue in [a, b]

• f(x) e g(x) sono derivabili in ]a, b[

• $g'(x) \neq 0$ in ]a, b[

allora esiste almeno un punto c ∈ ]a, b[ tale che:

$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$

Dimostrazione:

Scriviamo Lagrange per f(x):

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Scriviamo Lagrange per g(x):
$g'(c) = \frac{g(b) - g(a)}{b - a}$

E quindi:

$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{\frac{f(b) - f(a)}{b - a}}{\frac{g(b) - g(a)}{b - a}} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$

Teorema de L'Hôpital

Siano f(x) e g(x) due funzioni tali che:

• f(x) e g(x) sono definite e continue in $x_0$

• f(x) e g(x) sono derivabili in un intorno di $x_0$

• $\lim<em>{x \to x</em>0} f(x) = 0$ e $\lim<em>{x \to x</em>0} g(x) = 0$ (o entrambe tendono a ±∞, ovvero sono una forma indeterminata).

• $g'(x) \neq 0$ nell'intorno di $x_0$.

Allora:

$\lim<em>{x \to x</em>0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim<em>{x \to x</em>0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Esempi

1) Calcolare il limite:
$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{4x - 4}$

Questo è una forma indeterminata $\frac{0}{0}$.

Applichiamo L'Hôpital:

$\lim<em>{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{4x - 4} = \lim</em>{x \to 1} \frac{2x}{4} = \frac{2 \cdot 1}{4} = \frac{1}{2}$

2) Calcolare il limite:

$\lim_{x \to 1} \frac{ln(x)}{x - 1}$

Questo è una forma indeterminata $\frac{0}{0}$.

Applichiamo L'Hôpital:

$\lim<em>{x \to 1} \frac{ln(x)}{x - 1} = \lim</em>{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = 1$

3) Calcolare il limite:

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 4x + 3}$

Questo è una forma indeterminata $\frac{0}{0}$.

Applichiamo L'Hôpital:

$\lim<em>{x \to 3} \frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 4x + 3} = \lim</em>{x \to 3} \frac{2x - 7}{2x - 4} = \frac{2 \cdot 3 - 7}{2 \cdot 3 - 4} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$