Fysikk Kap 7 (Elektromagnetisk Induksjon)

Induksjonsfenomenet: Fra magnetisme til elektrisitet

  • Induksjon definert: Et varierende magnetfelt i en lukket ledersløyfe kan indusere (skape) en elektrisk strøm.

  • Historisk bakgrunn: Michael Faraday utførte en rekke eksperimenter i 1830-årene for å undersøke sammenhengen mellom magnetfelt og elektrisk strøm etter å ha utviklet likestrømsmotoren.

  • Faradays eksperimentelle observasjoner:     

    • Bevegelse av en stavmagnet inn og ut av en spole skaper strøm.     

    • Strømmen oppstår kun når magnetfeltet endrer seg.     

    • Dersom magneten holdes stille (konstant magnetfelt), går det ingen strøm.

  • Faradays ring:     

    • Består av en sirkelformet jernkjerne med to spoler: en primærspole og en sekundærspole.     

    • Når spenningskilden kobles til primærspolen, gir amperemeteret på sekundærspolen et kortvarig utslag.     

    • Når strømmen i primærspolen er konstant, går det ingen strøm i sekundærspolen, selv om det er et magnetfelt i jernkjernen.     

    • Når kilden kobles fra, oppstår et nytt kortvarig utslag, men strømmen går i motsatt retning.     

    • Konklusjon: Det er endringen av magnetfeltet som induserer strøm, ikke feltet i seg selv.

Lenz’ regel

  • Definisjon: Den induserte strømmen i en lukket ledersløyfe har en retning som er slik at magnetfeltet strømmen danner, motvirker årsaken til at strømmen blir indusert.

  • Retningsbestemmelse: Man bruker høyrehåndsregelen for spoler, der bøyde fingre følger strømretningen og tommelen peker i magnetfeltretningen inne i spolen.

  • Prinsippet om motstand:     

    • Hvis det ytre magnetfeltet øker, vil den induserte strømmen skape et felt som peker motsatt vei av det ytre feltet.     

    • Hvis det ytre magnetfeltet minker, vil den induserte strømmen skape et felt som peker i samme retning som det ytre feltet for å opprettholde det.

  • Eksempel: Magnet som faller gjennom en kobberring:     

    • 1. Magnet langt over: Ingen fluksendring, ingen strøm.     

    • 2. Nærmer seg (Nordpol ned): Magnetfeltet nedover øker. Strømmen går mot klokka (sett ovenfra) for å skape et oppoverrettet magnetfelt som motvirker økningen.     

    • 3. Midt inne i ringen: Feltstyrken er maksimal og endrer seg ikke i et kort øyeblikk. Den induserte strømmen er lik null.     

    • 4. På vei ut: Magnetfeltet nedover minker. Strømmen går med klokka for å skape et nedoverrettet felt som motvirker reduksjonen.

Indusert spenning i en rett leder

  • Fysisk forklaring: Når en leder beveger seg på tvers av et magnetfelt, blir ladningene i lederen påvirket av en magnetisk kraft F=qvBF = qvB. Ladningene forskyves, noe som skaper en elektrisk spenningsforskjell mellom endepunktene.

  • Elektromotorisk spenning (ems): Symbolet er ϵ\epsilon. Arbeidet utført per ladning er W/qW/q.

  • Formel for indusert ems:   ϵ=vBL\epsilon = vBL     

    • vv: Farten til lederen.     

    • BB: Komponenten av magnetfeltet vinkelrett på farten.     

    • LL: Lengden av lederen vinkelrett på magnetfeltet.

Lederstykke på skinner i magnetfelt

  • Oppsett: Et lederstykke med masse mm og lengde LL glir på to skinner med resistans RR i et homogent magnetfelt BB. Vi drar med en kraft FF.

  • Dynamikk:     

    • Akselerasjon: a=∑Fma = \frac{\sum F}{m}.     

    • Magnetisk motkraft: Fm=ILBF_m = ILB.     

    • Strøm: I=ϵR=vBLRI = \frac{\epsilon}{R} = \frac{vBL}{R}.     

    • Kombinert kraftuttrykk: Fm=B2L2R×vF_m = \frac{B^2 L^2}{R} \times v.     

    • Når farten øker, øker FmF_m helt til den er like stor som dra-kraften FF, da blir akselerasjonen null.

  • Maksimal fart (terminalfart):   vmaks=FRB2L2v_{maks} = \frac{FR}{B^2 L^2}

Magnetisk fluks

  • Definisjon: Magnetisk fluks representerer antallet magnetiske feltlinjer som passerer gjennom et areal.

  • Matematisk definisjon: Skalarproduktet av magnetfeltstyrken og arealvektoren.   Φ=B⋅A=BAcos⁡(θ)\Phi = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} = BA \cos(\theta)     

    • θ\theta: Vinkelen mellom magnetfeltet B\mathbf{B} og arealvektoren A\mathbf{A} (som står vinkelrett på flaten).

  • Enhet: Weber (WbWb). 1 Wb=1 T⋅m21\,Wb = 1\,T \cdot m^2.

  • Flukstetthet: Tesla (TT) kan skrives som Wb/m2Wb/m^2, derfor kalles magnetfeltstyrke ofte flukstetthet.

  • Fortegn: Fluksen er positiv hvis vinkelen mellom B\mathbf{B} og A\mathbf{A} er mindre enn 90∘90^\circ, og negativ hvis den er større enn 90∘90^\circ.

Faradays induksjonslov

  • Loven: Den induserte ems i en ledersløyfe er lik den negative tidsderiverte av fluksen.   ϵ=−dΦdt=−Φ′(t)\epsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -\Phi'(t)

  • For spoler: Dersom spolen har NN vindinger, multipliseres spenningen med NN.   ϵ=−NΦ′(t)\epsilon = -N \Phi'(t)

  • Betydningen av minustegnet: Symboliserer Lenz’ regel — spenningen motvirker sin egen årsak.

  • Høyrehåndsregelen for positiv strømretning:     

    • Hold høyre hånd slik at tommelen peker langs arealvektoren.     

    • De krumme fingrene peker da i positiv strømretning.

  • Beregningsmetoder: For praktisk bruk ser man ofte bort fra minustegnet i beregningen (ϵ=∣Φ′(t)∣\epsilon = |\Phi'(t)|) og finner retningen manuelt ved Lenz' regel.

Elektrisk generator

  • Prinsipp: Omformer mekanisk energi til elektrisk energi ved å rotere en spole i et konstant magnetfelt.

  • Matematisk utledning:     

    • Vinkel er gitt ved θ=ωt\theta = \omega t, der ω\omega er vinkelfart (rad/srad/s).     

    • Fluks: Φ(t)=BAcos⁡(ωt)\Phi(t) = BA \cos(\omega t).     

    • Ved derivasjon: ϵ(t)=−NΦ′(t)=−NBA(−sin⁡(ωt)⋅ω)\epsilon(t) = -N \Phi'(t) = -N B A (-\sin(\omega t) \cdot \omega).

  • Indusert vekselspenning:   ϵ(t)=ϵmsin⁡(ωt)\epsilon(t) = \epsilon_m \sin(\omega t)     

    • Der maksimalverdien (amplituden) er ϵm=NBAω\epsilon_m = NBA\omega.

  • Vinkelfart og frekvens: ω=2πf\omega = 2\pi f. I Norge er f=50 Hzf = 50\,Hz, som gir ω≈314 s−1\omega \approx 314\,s^{-1}.

Vekselstrøm (AC) og gjennomsnittseffekt

  • Strøm: For en motstand RR er I(t)=U(t)R=Imsin⁡(ωt)I(t) = \frac{U(t)}{R} = I_m \sin(\omega t).

  • Effekt: Momentaneffekten er P(t)=UmImsin⁡2(ωt)P(t) = U_m I_m \sin^2(\omega t). Den varierer mellom 00 og UmImU_m I_m.

  • Effektivverdier (RMS): Verdier for en vekselstrøm som gir samme effekt som en tilsvarende likestrøm.     

    • Ue=Um2U_e = \frac{U_m}{\sqrt{2}}     

    • Ie=Im2I_e = \frac{I_m}{\sqrt{2}}

  • Gjennomsnittseffekt: Pˉ=UeIe=12UmIm\bar{P} = U_e I_e = \frac{1}{2} U_m I_m.

  • Nettspenning: Oppgis som effektivverdi. I Norge er Ue=230 VU_e = 230\,V, noe som betyr at maksimalverdien Um=230 V×2≈325 VU_m = 230\,V \times \sqrt{2} \approx 325\,V.

Transformatorer og energioverføring

  • Hvorfor transformere?: For å redusere effekttap (ΔP=RIe2\Delta P = R I_e^2) ved langdistanseoverføring. Ved å øke spenningen (UeU_e) kan man overføre samme effekt med lavere strøm (IeI_e).

  • Oppbygging: Jernkjerne med primærspole (NpN_p) og sekundærspole (NsN_s).

  • Transformatorformelen:   UsUp=NsNp\frac{U_s}{U_p} = \frac{N_s}{N_p}

  • Ideell transformator: Leverer samme effekt på begge sider (UpIp=UsIsU_p I_p = U_s I_s).

Teknologiske applikasjoner og samfunn

  • Trådløs lading: Varierende magnetfelt i en ladestasjon induserer spenning i en spole inne i mobiltelefonen eller den elektriske tannbørsten.

  • Regenerative bremser: Elbilmotoren fungerer som generator når man bremser eller triller nedoverbakke, og lader batteriet ved å gjenvinne kinetisk energi.

  • Induksjonskokeplate: En spole under plata lager et varierende magnetfelt som induserer virvelstrømmer i metallkjelen. Dette skaper varme direkte i kjelen.

  • Solceller: Det eneste store energiverket som ikke bruker generator. Produserer likestrøm som må konverteres til vekselstrøm.

  • Krigen om strømmene: Thomas Edison (forkjemper for likestrøm) vs. AC-systemer. AC vant på grunn av enkel transformering til høyspenning og distribusjon over store avstander.

Spørsmål og Oppgaveoppsummering

  • Induksjonsproblemer: Ved vurdering av retning uten tall, bruk primært Lenz’ regel. Ved bevegelse, bruk ϵ=vBL\epsilon = vBL. Ved endring i fluks over tid, bruk ϵ=−Φ′(t)\epsilon = -\Phi'(t).

  • Magnetiske stormer: Solaktivitet kan endre jordas magnetfelt raskt, noe som induserer strøm i rørledninger og elnett (f.eks. i Sør-Finland der fluksendring fra 48,40 μT48,40\,\mu T til 47,18 μT47,18\,\mu T på ett minutt induserer betydelige strømmer).

  • Faraday-disk: En roterende metallskive i et magnetfelt kan indusere en spenning ϵ=12ωBR2\epsilon = \frac{1}{2}\omega B R^2 mellom sentrum og ytterkant.

Induksjonsformler:

Indusert elektromotorisk spenning (ems):

  • ϵ=vBL\epsilon = vBL
       - Brukes til: Beregning av den induserte spenningen i en leder som beveger seg i et magnetfelt.
         - ϵ\epsilon: Indusert elektromotorisk spenning (V)      - vv: Farten til lederen (m/s)      - BB: Styrken på magnetfeltet (T)      - LL: Lengden av lederen i feltet (m)

Strøm:

  • I=εR=vBLRI = \frac{ε}{R} = \frac{vBL}{R}

    • II: Strømstyrken, målt i ampere (A).

    • εε: Den induserte elektromotoriske spenningen, målt i volt (V).

    • RR: Resistans, målt i ohm (Ω).

    • vv: Farten til lederen, målt i meter per sekund (m/s).

    • LL: Lengden av lederen i meter (m).

Magnetisk motkraft:

  • Fm=ILBF_m = ILB

    • FmF_m: Den magnetiske motkraften, målt i newton (N).

    • II: Strømstyrken, målt i ampere (A).

    • LL: Lengden av lederen i meter (m).

    • BB: Styrken på magnetfeltet, målt i tesla (T).

Terminalfart for leder i magnetfelt:

        I=ϵRI=\frac{\epsilon}{R}

        I=vBLRI=\frac{vBL}{R}

     FLB=vLBR\frac{F}{LB}=\frac{vLB}{R}

       F=vLBR⋅L⋅BF=\frac{vLB}{R}\cdot L\cdot B

       F=vL2B2RF=\frac{vL^2B^2}{R}

 vmaks=FRB2L2v_{maks} = \frac{FR}{B^2 L^2}
   - Brukes til: Beregning av maksimal fart en leder kan oppnå når den glir gjennom et magnetfelt.
     - vmaksv_{maks}: Maksimal fart (m/s)
     - FF: Kraften trukket på lederen (N)
     - RR: Resistans (Ω)
     - BB: Magnetfeltstyrke (T)
     - LL: Lengden av lederen (m)

Kombinert kraftuttrykk:

  • Fm=B2L2R×vF_m = \frac{B^2 L^2}{R} \times v.

    • FmF_m: Den magnetiske motkraften, målt i newton (N).

    • BB: Magnetfeltstyrken, målt i tesla (T).

    • LL: Lengden av lederen i meter (m).

    • vv: Farten til lederen, målt i meter per sekund (m/s).

    • RR: Resistansen, målt i ohm (Ω).

Magnetisk fluks:

  • Φ=B⋅A=BAcos⁡(θ)\Phi = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} = BA \cos(\theta)
         - Φ\Phi: Magnetisk fluks (Wb)
         - B\mathbf{B}: Magnetfeltstyrken (T)
         - A\mathbf{A}: Arealvektor (m²)
         - θ\theta: Vinkelen mellom magnetfeltet og arealvektoren

  • Fluks: Φ(t)=BAcos⁡(ωt)\Phi(t) = BA \cos(\omega t).  

    • θ=ωt\theta=\omega t

      • ω\omega: Frekvensen til svingningen, definert som antall komplette svingninger per enhetstid.

Faradays induksjonslov:

  • ϵ=−dΦdt=−Φ′(t)\epsilon=-\frac{d\Phi}{dt}=-\Phi^{\prime}\left(t\right)
       Brukes til: Beregning av den induserte spenningen i en lukket sløyfe når magnetisk fluks endres over tid.
         - ϵ\epsilon: Indusert elektromotorisk spenning (V)
         - Φ\Phi: Magnetisk fluks (Wb)
         - tt: Tid (s)

  • Dersom spolen har NN vindinger, multipliseres spenningen med NN.   

    • \epsilon=-\frac{Nd\Phi}{\differentialD t}=-N\Phi^{\prime}\left(t\right)=-NBA\left(-\sin\left(\omega t\right)\cdot\omega\right)

      • NN= hvor mange viklinger du har

      • θ=ωt\theta=\omega t

        • ω\omega: Frekvensen til svingningen, definert som antall komplette svingninger per enhetstid.

  • Beregningsmetoder: For praktisk bruk ser man ofte bort fra minustegnet i beregningen (ϵ=∣Φ′(t)∣\epsilon = |\Phi'(t)|) og finner retningen manuelt ved Lenz' regel.

  • Indusert vekselspenning:   

    • Når en spole med konstant vinkelfart ω\omega i et homogent magnetfelt, blir det indusert en vekselspenning i spolen lik:

      • ϵ(t)=ϵmsin⁡(ωt)\epsilon(t) = \epsilon_m \sin(\omega t)     

        • ϵm=NBAω\epsilon_m = NBA\omega: maksimalverdien (amplituden)

          • NN= hvor mange viklinger du har

          • B\mathbf{B}: Magnetfeltstyrken (T)

          • A\mathbf{A}: Arealvektor (m²)

          • ω\omega: Frekvensen til svingningen, definert som antall komplette svingninger per enhetstid.

  • Vinkelfart og frekvens: ω=2πf\omega = 2\pi f. I Norge er f=50 Hzf = 50\,Hz, som gir ω≈314 s−1\omega \approx 314\,s^{-1}.

    • ω=θt=2πT=2πf\omega=\frac{\theta}{t}=\frac{2\pi}{T}=2\pi f

Akselerasjon:

  • a=∑Fma = \frac{\sum F}{m}

    • ∑F\sum F: Summen av kreftene som virker på objektet (N)

    • mm: Massens til objektet (kg)

    • aa: Akselerasjonen til objektet (m/s²)

Vekselstrøm (AC) og gjennomsnittseffekt

  • Strøm:

    • For en motstand RR er: I(t)=U(t)R=Imsin⁡(ωt)I(t) = \frac{U(t)}{R} = I_m \sin(\omega t).

      • I(t)I(t): Strømmen (A)

      • U(t)U(t): Spenning over motstanden (V)

      • ImI_m: Maksimal strøm (A)

      • ω\omega: Vinkelhastighet (rad/s)

  • Effekt:

    • Momentaneffekten er P(t)=UmImsin⁡2(ωt)P(t) = U_m I_m \sin^2(\omega t)

      • P(t)P(t): Effekt (W)

      • UmU_m/ϵm\epsilon_{m}: Maksimal spenning (V)

      • ImI_m: Maksimal strøm (A)

        • Den varierer mellom 00 og UmImU_m I_m.

  • Gjennomsnittseffekt:

    • Pˉ=UeIe=12UmIm\bar{P} = U_e I_e = \frac{1}{2} U_m I_m.

      • PP: Gjenomsnittseffekt (W)

    • Effektivverdier (RMS): Verdier for en vekselstrøm som gir samme effekt som en tilsvarende likestrøm.     

      • Ue=Um2U_e = \frac{U_m}{\sqrt{2}}

        • UmU_m/ϵm\epsilon_{m}: Maksimal spenning (V)

        • UeU_e: Effektivverdi av spenning (V)

      • Ie=Im2I_e = \frac{I_m}{\sqrt{2}}

        • ImI_m: Maksimal strøm (A)

        • IeI_e: Effektivverdi av strøm (A)