Chapitre_1

Université Abdelmalek Essaadi

• Faculté des Sciences de Tétouan

• Département de Physique

• Cours de Mécanique du Point Matériel

• Professeur : Bousselham SAMOUDI

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Introduction au Calcul Vectoriel

• Utilité du calcul vectoriel en physique:

  • Instrument fondamental utilisé dans pratiquement tous les domaines de la physique.

  • Représentation des phénomènes physiques par des vecteurs (gravité, champ électrique, champ magnétique).

• Importance en Mécanique :

  • Les vitesses, les accélérations, et les forces sont représentées par des vecteurs.

Objectifs du Cours

• Maîtriser les opérations sur les vecteurs.

• Être capable de dériver un vecteur concernant un repère de référence.

• Résoudre des équations différentielles de second ordre.

• Utiliser correctement les opérateurs différentiels.

Notions sur le Calcul Vectoriel

1.1 Définition d’un Vecteur

• Caractéristiques d'un vecteur :

  • Origine (Point d'application A), Direction (droite Δ), Sens (de A vers B), Module (distance entre A et B).

• Notation : Un vecteur est noté

  • 𝒖 = 𝜆𝑢 (où λ est un réel).

1.2 Vecteur Unitaire

• Vecteur unitaire: vecteur de module égal à 1.

• Obtention d'un vecteur unitaire à partir d'un vecteur 𝑈 non nul:

  • 𝒖 = 𝑈/∥𝑈∥.

1.3 Types de Vecteurs

• Vecteur lié: fixe en termes de support et d'application (exemples: vecteur vitesse, forces).

• Vecteur glissant: peut se déplacer sans changer son effet physique.

• Vecteur libre: support et point d’application non fixes.

• Grandeurs vectorielles dépendent des repères d’observation; les scalaires non.

Repères d’Espace

2.1 Base Orthogonale

• Un repère est constitué de trois axes (𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧) non coplanaires.

• Base orthonormée: vecteurs unitaires et orthogonaux.

Produits Vecteurs

3.1 Produit Scalaire

• Définition: 𝒗₁∙𝒗₂ = ∥𝒗₁∥ ∥𝒗₂∥ cos(α).

• Conditions selon α :

  • Aigu (positive), Droit (nulle), Obtus (négative).

3.2 Produit Vectoriel

• Produit vectoriel de deux vecteurs 𝒗₁ et 𝒗₂ est noté 𝒘=𝒗₁∧𝒗₂.

• Caractéristiques :

  • Direction: normale au plan formé, Sens: trièdre direct, Norme: ∥𝒘∥ = ∥𝒗₁∥ ∥𝒗₂∥ sin(α).

• Cas particuliers: colinéaires (𝒘 = 0).

Moment d’un Vecteur

6.1 Moment par rapport à un Point

• Défini par 𝜎ₒ,𝒗=𝑂𝐴∧𝐴𝑀.

6.2 Moment par rapport à un Axe

• Projection orthogonale du moment par rapport à un point :

  • 𝜎ₐ,𝒗=𝑢∙𝜎ₚ,𝒗.

Dérivation Vectorielle

7.1 Dérivée d’un Vecteur Dépendant du Temps

• Exprimer la dérivée d’un vecteur en fonction du temps.

7.2 Dérivée d’une Expression de Vecteurs

• Propriétés de linéarité et des produits scalaires et vectoriels lors de dérivation.

7.3 Dérivée d’un Vecteur de Module Constant

• Un vecteur de module constant est perpendiculaire à sa dérivée.

Équations Différentielles

8.1 Type de Second Ordre à Coefficients Constants

• Forme générale : 𝑎𝑦′′+𝑏𝑦′+𝑐𝑦=𝑓(𝑥).

• Solution générale : somme de la solution homogène et d’une solution particulière.

• Recherche des solutions selon le discriminant Δ.

Opérateurs Différentiels

9.1 Gradient d’une Fonction

• Définit un champ de vecteurs représentant la variation d'une fonction dans l'espace.

• Relation avec la différentielle totale.

9.2 Rotationnel d’un Champ de Vecteurs

• Expression du rotationnel avec l’opérateur nabla.

• Importance de comprendre comment les vecteurs tournent autour d’un point.