STAT-C11

Cours de Statistique - Semaine 11 : Intervalles de Confiance et Tests pour la Moyenne

Présentation Initiale : SDSA et Projets Étudiants

• Collaboration SDSA (Swiss Diplomacy Student Association) :     * Une association qui promeut et démocratise la diplomatie pour les étudiants.     * Lancement d'un podcast en collaboration avec diverses entités (Suisse Presse Club, étudiants de deuxième année du BAR-I dans le cadre du cours gestion de projet).     * Le premier épisode traite de la droite en Suisse et en Europe, avec la participation du professeur Scarini.     * Disponibilité : YouTube et Spotify via le compte Instagram de la SDSA.     * Futurs épisodes prévus avec l'AESPRI, incluant des formats de micro-trottoirs.

• Conférence Annoncée :     * Sujet : Pourquoi y a-t-il de plus en plus de femmes à la tête des partis de droite ?     * Lieu : Domaine du Club Suisse et la Presse.     * Date/Heure : Demain soir à 18h00 (6 heures).

Introduction au Cours et Calendrier Académique

• Intervenant : Samu Lorso assure les deux prochains cours (Semaines 11 et 12).

• Programme :     * Semaine 11 (Aujourd'hui) : Intervalles de confiance pour la moyenne et tests d'hypothèses à un échantillon (test $z$ et test $t$).     * Semaine 12 : Tests à deux échantillons.     * Semaine 13 : Examen à blanc interactif.         * Durée prévue : $80\,\text{minutes}$.         * Format : PDF à disposition sur le site (prévoir PC ou tablette).         * Objectif : S'acclimater pour l'examen final prévu le 20 mai.

Fondements de l'Inférence Statistique

• Problème Central : En pratique, on n'a presque jamais accès à la population totale. On travaille donc sur un échantillon pour estimer des paramètres de population.

• Paramètres vs Statistiques :     * Population : Paramètre inconnu (ex: l'espérance $\mu$).     * Échantillon : Statistique calculée (ex: la moyenne d'échantillon $\bar{x}$).

• De l'Estimation Ponctuelle à l'Intervalle :     * L'estimation ponctuelle (un seul point) est jugée insuffisante car elle ne garantit pas la précision par rapport à la réalité.     * L'intervalle de confiance (IC) fournit une plage de valeurs (deux points) pour situer le paramètre avec un certain niveau de confiance.

Intervalles de Confiance (IC) pour la Moyenne

• Définitions Clés :     * Niveau de confiance : Probabilité que la méthode génère un intervalle contenant la vraie valeur du paramètre sur le long terme (ex: $95\,\%$).     * Niveau de signification ($\alpha$) : Le risque d'erreur, défini par $\alpha = 1 - \text{niveau de confiance}$. Pour un IC à $95\,\%$, $\alpha = 5\,\%$.

• Interprétation Rigoureuse :     * Il est faux de dire qu'il y a $95\,\%$ de chances que la vraie valeur soit dans un intervalle spécifique calculé.     * La réalité est binaire : soit la valeur est dedans, soit elle n'y est pas.     * L'interprétation correcte est fréquentiste : si l'on répétait l'expérience indéfiniment, $95\,\%$ des intervalles construits contiendraient la vraie valeur $\mu$.

• Formule de l'IC (Écart-type $\sigma$ connu) :     * $\bar{x} \pm z_{1-\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$     * $z_{1-\alpha/2}$ est le quantile de la loi normale standard.     * $\sigma$ est l'écart-type de la population.     * $n$ est la taille de l'échantillon.

Cas Pratique 1 : Âge des Véhicules

• Données :     * $n = 30$ adultes.     * $\bar{x} = 5.6\,\text{ans}$.     * $\sigma = 0.8\,\text{ans}$ (supposé connu).

• Objectif : IC à $90\,\%$.     * 1. $\alpha = 10\,\%$ (donc $0.1$).     * 2. $\alpha/2 = 0.05$.     * 3. Quantile à chercher dans la table normale : $1 - 0.05 = 0.95$.     * 4. Lecture table : Entre $1.64$ ($0.9495$) et $1.65$ ($0.9505$). On choisit d'être généreux avec $z = 1.65$.

• Calcul final : $5.6 \pm 1.65 \times \frac{0.8}{\sqrt{30}}$ donne un intervalle de $[5.36 ; 5.84]$.

Détermination de la Taille de l'Échantillon ($n$)

• Marge d'erreur ($E$) : Définie comme la valeur que l'on ajoute ou soustrait à la moyenne dans l'IC.     * $E = z_{1-\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

• Formule pour $n$ : En inversant l'équation de la marge d'erreur, on obtient :     * $n = \left( \frac{z_{1-\alpha/2} \times \sigma}{E} \right)^2$

• Exemple : Étude de l'âge moyen des étudiants d'une université     * Données : $\sigma = 3\,\text{ans}$, Confiance = $99\,\%$ ($\alpha=0.01$), $E = 1$.     * Quantile $z_{1-0.01/2} = z_{0.995} \approx 2.58$.     * Calcul : $n = \left( \frac{2.58 \times 3}{1} \right)^2 = (7.74)^2 = 59.9076$.     * Décision : On arrondit toujours vers le haut, donc $n = 60$.

La Loi de Student ($t$) : Quand $\sigma$ est Inconnu

• Contexte : En réalité, on ne connaît pas $\sigma$. On utilise l'écart-type de l'échantillon ($s$).

• Deux Scénarios :     1. Grand échantillon (n > 30) : On peut approximer avec la loi normale ($z$) en remplaçant $\sigma$ par $s$.     2. Petit échantillon ($n \leq 30$) : On doit utiliser la Loi de Student.

• Caractéristiques de la Loi de Student :     * Symétrique, centrée en $0$, plus aplatie que la normale (plus de probabilité dans les queues/extrêmes).     * Définie par ses degrés de liberté ($ddl = n - 1$).     * Plus $n$ augmente, plus la loi de Student converge vers la loi normale.

• Note Historique : Développée par William Gosset (pseudonyme "Student") travaillant pour la brasserie Guinness au 19ème siècle.

• Formule de l'IC avec Student :     * $\bar{x} \pm t_{n-1, 1-\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

Tests d'Hypothèses : Principes et Mécanismes

• Structure du Test :     * Hypothèse Nulle ($H_0$) : L'hypothèse de base, souvent une égalité ($\mu = \mu_0$). On cherche à voir si les données permettent de la rejeter.     * Hypothèse Alternative ($H_a$) : Ce que l'on accepte si $H_0$ est rejetée.

• Types d'Orientation :     * Bilatéral : $H_a: \mu \neq \mu_0$.     * Unilatéral : H_a: \mu > \mu_0 ou H_a: \mu < \mu_0.

• Le Concept de P-valeur (P-value) :     * Définit la probabilité d'obtenir une statistique de test au moins aussi extrême que celle observée, en supposant que $H_0$ est vraie.     * Règle de décision : Si $p\text{-valeur} \leq \alpha$, on rejette $H_0$ (test significatif).

• Calcul de la Statistique de Test ($z$) :     * $z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$ (sous $H_0$).

Exemples de Tests d'Hypothèses

• Exemple 1 : Taille des étudiants du BAR-I     * $H_0 : \mu = 1.75\,\text{m}$ ; $H_a : \mu \neq 1.75\,\text{m}$.     * Données : $n = 20$, $\bar{x} = 1.83\,\text{m}$, $\sigma = 0.4$.     * Statistique $z = 0.89$.     * p\text{-valeur} = 2 \times P(Z > 0.89) = 2 \times (1 - 0.8133) = 0.3734 ($37\,\%$).     * Conclusion : Comme 37\,\% > 5\,\% , on ne peut pas rejeter $H_0$. L'évidence est insuffisante.

• Exemple 2 : Régime alimentaire     * Variable : Différence de poids ($poids_{final} - poids_{initial}$).     * $H_0 : \mu = 0$. H_a : \mu < 0 (perte de poids).     * Données : $n = 40$, $\bar{x} = -0.4\,\text{kg}$, $s$ calculé sur l'échantillon.     * Résultat : $p\text{-valeur} = 0.0057$ ($0.57\,\%$).     * Conclusion : Puisque 0.57\,\% < 5\,\% , on rejette $H_0$. Le régime est jugé efficace.

Approche par Valeurs Critiques (Loi de Student)

• Difficulté du calcul de $p$-valeur : Sans logiciel, calculer la $p$-valeur exacte avec Student est difficile.

• Alternative : Utiliser la table de Student pour trouver une "valeur critique".

• Méthode :     * On définit une région de rejet au-delà d'un quantile critique.     * Si la statistique observée est plus extrême que la valeur critique, on rejette $H_0$.

• Dernier Exemple du Cours (Âge BAR-I) :     * $H_0: \mu = 18$. H_a: \mu > 18.     * Données : $n = 20$, $\bar{x} = 21.46$, $s = 2.91$.     * Statistique $t_{obs} = 5.26$.     * On doit comparer ce $5.26$ au quantile critique de la table de Student à $19\,\text{degrés de liberté}$ ($n-1$).

Questions & Discussion

• Q : Peut-on changer le alpha après avoir fait le calcul pour rejeter quand même l'hypothèse ?

• R (Samu Lorso) : Absolument pas. C'est tricher et cela casse toute la méthode scientifique. Le niveau $\alpha$ doit être fixé avant l'observation des données pour garantir l'intégrité du risque d'erreur.

• Q : Quelle est la différence entre les deux tables ?

• R : La table de la loi normale donne des probabilités pour des valeurs de $z$. La table de Student donne directement les quantiles (valeurs critiques) pour des probabilités données ($\alpha$) et des degrés de liberté.