Diseño de Experimentos: Diseños Factoriales de 2 Factores, 3 Factores y Factorial General

Introducción al Diseño de Experimentos (DOE)

El diseño de experimentos es una metodología estadística que permite el estudio de procesos a través de pruebas planificadas de manera estratégica. Su propósito fundamental es:

Estudio de Procesos: Analizar el comportamiento de un sistema mediante experimentos controlados.
Identificación de Factores: Determinar qué variables de entrada (factores) afectan realmente a una variable de salida (respuesta).
Análisis Simultáneo: Los diseños factoriales permiten evaluar varios factores al mismo tiempo en lugar de probar uno por uno.

Conceptos Básicos de los Diseños Factoriales

Para el correcto desarrollo de un experimento factorial, se deben definir los siguientes elementos:

Factor: Es la variable independiente que puede ser modificada por el experimentador.
Nivel: Son los valores o estados específicos que puede tomar un factor durante la prueba.
Variable de Respuesta: Es el resultado o efecto medido después de aplicar los niveles de los factores.
Tratamiento: Se define como la combinación específica de niveles de los diferentes factores.
Réplica: Se refiere a realizar las pruebas de todas las combinaciones posibles más de una vez (n veces) para obtener datos más precisos sobre la variabilidad.

Estructura de un Diseño Factorial con Dos Factores

Este diseño estudia dos variables de manera simultánea, explorando todas las combinaciones posibles entre sus niveles. Sus características principales son:

Análisis de Efecto Individual: Permite observar cómo afecta cada factor por separado a la variable de respuesta.
Análisis de Interacción: Identifica si el efecto de un factor depende del nivel en el que se encuentra el otro factor.
Eficiencia: Es superior a los experimentos de un solo factor a la vez, ya que requiere menos recursos para obtener más información.

Ventajas y Aplicaciones del Diseño Factorial

Ventajas Estratégicas

Reducción de Tiempo y Costos: Optimiza la cantidad de pruebas necesarias.
Detección de Interacciones: Captura la complejidad de las variables que se afectan mutuamente.
Revelación de Efectos No Lineales: Permite observar comportamientos complejos en el proceso.
Mejora de Calidad: Ayuda a alcanzar estándares de calidad certificada mediante la optimización de parámetros.

Campos de Aplicación

Industria Manufacturera: Mejora de líneas de producción.
Procesos Químicos: Ajuste de reacciones y rendimientos.
Industria Alimentaria: Perfeccionamiento de recetas y tiempos de cocción.
Investigación Científica: Validación de teorías y experimentos de laboratorio.
Control de Calidad: Reducción de variabilidad y defectos.
Optimización de Procesos: Maximización de la eficiencia operativa.

Ejemplo Práctico: Vibración de una Ranuradora (2 Factores)

Planteamiento del Problema

Se busca analizar cómo influyen el tamaño de la broca y la velocidad de giro en la vibración de una máquina ranuradora.

Factores y Niveles:

Factor A (Tamaño de Broca):
- $A_1 = 1/16$
- $A_2 = 1/8$
Factor B (Velocidad):
- $B_1 = 40\,\text{rps}$
- $B_2 = 90\,\text{rps}$

Resultados y Promedios (Efectos Principales):

Factor Broca:
- Promedio para $1/16 = 17.05$
- Promedio para $1/8 = 34.1$
Factor Velocidad:
- Promedio para $40\,\text{rps} = 22.7$
- Promedio para $90\,\text{rps} = 28.45$

Interpretación de Datos:

La broca de mayor tamaño ( $1/8$ ) produce una vibración significativamente mayor.
La velocidad alta ( $90\,\text{rps}$ ) incrementa la vibración del equipo.
Interacción: Existe una interacción clara; la broca de $1/8$ genera mucha más vibración cuando la velocidad es alta comparado con cuando es baja.
Conclusión: Ambos factores tienen diferencias significativas y afectan la vibración; el diseño factorial permitió ver que no son independientes.

Diseño Factorial con Tres Factores

Este diseño analiza simultáneamente tres variables. Es una técnica estadística vital para observar cómo interactúan tres componentes distintos en un producto o proceso.

Objetivos Principales

Identificar qué factores de los tres tienen el mayor peso en el proceso.
Detectar interacciones complejas (A con B, A con C, B con C, y A con B con C).
Reducir costos y errores operativos.
Determinar la combinación óptima de los niveles para maximizar la calidad.

Ejemplo Teórico:

Variables: Temperatura (A), Velocidad (B) y Presión (C).
Niveles: Cada uno se prueba en nivel bajo $-$ y nivel alto $+$ .

Ejemplo de Aplicación: Resistencia de un Plástico (3 Factores)

Problema: Una empresa desea aumentar la resistencia de un material plástico mediante la modificación de tres variables.

Configuración Experimental ( $2^3 = 8$ combinaciones):

Experimento	Temperatura (A)	Presión (B)	Tiempo (C)	Resistencia
1	Baja ( $150^{\circ}\text{C}$ )	Baja ( $20 PSI$ )	Bajo ( $10\,\text{min}$ )	50
2	Alta ( $200^{\circ}\text{C}$ )	Baja ( $20 PSI$ )	Bajo ( $10\,\text{min}$ )	65
3	Baja ( $150^{\circ}\text{C}$ )	Alta ( $40 PSI$ )	Bajo ( $10\,\text{min}$ )	58
4	Alta ( $200^{\circ}\text{C}$ )	Alta ( $40 PSI$ )	Bajo ( $10\,\text{min}$ )	75
5	Baja ( $150^{\circ}\text{C}$ )	Baja ( $20 PSI$ )	Alto ( $20\,\text{min}$ )	60
6	Alta ( $200^{\circ}\text{C}$ )	Baja ( $20 PSI$ )	Alto ( $20\,\text{min}$ )	78
7	Baja ( $150^{\circ}\text{C}$ )	Alta ( $40 PSI$ )	Alto ( $20\,\text{min}$ )	70
8	Alta ( $200^{\circ}\text{C}$ )	Alta ( $40 PSI$ )	Alto ( $20\,\text{min}$ )	90

Análisis de Resultados:

La combinación de Temperatura Alta, Presión Alta y Tiempo Alto produce la resistencia máxima (valor de 90).
Se confirma la existencia de interacciones, ya que los factores juntos potencian el resultado más que la suma de sus efectos individuales.

Diseño Factorial General

El diseño factorial general es la forma más flexible de experimentar, pues permite que cada factor tenga un número de niveles distinto, adaptándose a la realidad de la planta o laboratorio.

Definición: Estudio simultáneo de dos o más factores donde el número de niveles ( $a, b, c...$ ) no tiene que ser igual (a diferencia de los diseños $2^k$ o $3^k$ ).
Cálculo de Observaciones: Si el factor A tiene $a = 4$ niveles, el factor B tiene $b = 3$ niveles y se realizan $n = 3$ réplicas, el total de observaciones es: $a \times b \times n = 4 \times 3 \times 3 = 36\,\text{observaciones}$

Caso de Estudio: Optimización Industrial con Factorial General

Planteamiento: Se analiza un proceso bajo una respuesta transformada $Y^{-1/2}$ .

Factores:

Factor A (Suspensión): 3 niveles ( $GL = 2$ ).
Factor B (Abertura): 2 niveles ( $GL = 1$ ).
Factor C (Temperatura): 2 niveles ( $GL = 1$ ).

Tabla ANOVA (Análisis de Varianza)

Fuente (FV)	Suma Cuadrados (SC)	Grados Libertad (GL)	Cuadrado Medio (CM)	Estadístico $F_0$	Valor-p
A: Suspensión	$7.41 \times 10^7$	2	$3.71 \times 10^7$	0.4	0.6724
B: Abertura	0.000043	1	0.000043	46.72	0
C: Temperatura	0.000042	1	0.000042	455.15	0
AB (Interacción)	0.000062	2	0.000031	33.38	0
BC (Interacción)	0.000013	1	0.000013	13.98	0.0004
Error/Total	Error: 0.000059	Total GL: 71	-	-	-

Interpretación del ANOVA

Significancia: Con un nivel de confianza del $95\%$ , un factor es significativo si su valor-p es menor a $0.05$ .
Factor A (Suspensión): Tiene un valor-p de $0.6724$ . No es significativo por sí solo.
Factores B y C: Valores-p de $0$ . Son altamente significativos.
Interacciones AB y BC: Son significativas (valores-p < 0.05). Esto implica que no se pueden mover los factores de forma aislada, pues dependen entre sí.

Validación del Modelo

Normalidad: Los residuos deben seguir una línea recta en la gráfica de probabilidad normal.
Varianza Constante: No deben presentarse patrones de "embudo" en la dispersión de puntos.
Conclusión Técnica: Para optimizar, se deben cruzar los niveles de Temperatura y Abertura analizando sus interacciones para alcanzar la máxima eficiencia.

Equipos e Integrantes Mencíonados

Docente: M.C. Francisco Lucero Trujillo Asignatura: Estadística Inferencial II

Equipo 2 Factores:

Guillermo S. Hdz Diaz
Mario César Zamarrón Soto
Alan Alejandro Hernández Rios
Deisy Gisel Campos Andrade
Jose Alejandro Guerrero Torres
Jesus Fernando Castro Ortiz
Luis Fernando Quiroz Arellano

Equipo 3 Factores (4B):

Francisco Javier Garza
Alejandro Mendoza
Miguel Mendoza
Hector Flores
Daniel Alvarado
Cuauhtemoc Luna

Equipo Diseño Factorial General:

Cristopher Hernandez Martinez
Johana Guadalupe Pacheco Chavez
Elena Lizeth López Trujillo
Christopher Lugo Fernández
Jesús Antonio Hernández Tapia
Emmanuel Arteaga Trujillo
Miguel Ángel Esquivel Díaz