Modul 32861

Einfaktormodelle

6.1 Allgemeine Konzeption

  • Ziel von Faktormodellen: Stellen Zusammenhänge zwischen den Renditen einzelner Wertpapiere eines Marktes oder Teilmarktes her.

  • Einfaktormodell: Die Rendite einer Aktie ( r_i ) wird durch eine Indexrendite ( r_I ) erklärt.

    • Grundformel: ( r_i = \alpha_i + \beta_i r_I + \epsilon_i )

    • Hier wird die Rendite einer Aktie im Kontext der Indexbewegung betrachtet.

  • Relevanz von Indizes: Ein passender Index sollte repräsentativ für die Aktie sein (z.B. DAX für große Aktien).

6.1.1 Aufspaltung der Varianz

  • Varianz von Renditen: ( Var(r_i) = \beta_i^2 Var(r_I) + Var(\epsilon_i) )

  • Systematische vs. unsystematische Risiken:

    • Systematische Risiken: Abhängig von der Indexbewegung.

    • Unsystematische Risiken: Individuelle Bewegungen der Aktien.

  • Korrelation der Renditebestandteile: ( Cov(r_I, \epsilon_i) = 0 )

6.1.2 Beispielrechnung

  • Beta-Faktor: In einer Untersuchung für die Siemens-Aktie wurde ein Beta von 0,9 ermittelt.

  • Standardabweichungen: Tägliche Siemens-Rendite: 1,53 %; DAX-Rendite: 1,49 %.

  • Erklärung der Gesamtvarianz:

    • Siemens-Aktie: 76 % der Varianz durch DAX erklärt, 24 % idiosynkratisch.

Portfoliooptimierung

  • Vorteil von Einfaktormodellen: Datenanforderungen werden stark reduziert.

    • Beispiel: Im Fall von 30 DAX-Aktien wären nur 61 Daten nötig (statt 465).

6.1.3 Vereinfachende Annahmen

  • Unabhängigkeit der idiosynkratischen Komponenten: ( Cov(\epsilon_i, \epsilon_j) = 0 )

    • Begrenzte Betrachtung gemeinsamer Einflussfaktoren (z.B. branchenspezifische Risiken).

6.1.4 Parameterschätzung

6.1.4.1 Modellannahmen

  • Über n Zeitpunkte ( t = 1,...,n ) wurden Renditen beobachtet.

  • Annahmen über E(( \epsilon_{i,t} )) und Var(( \epsilon_{i,t} )): Residuen sind unabhängig und identisch verteilt.

6.1.4.2 Regression

  • Regressionsmodell: ( r_{i,t} = \alpha_i + \beta_i r_{I,t} + \epsilon_{i,t} )

  • Schätzung von ( \alpha_i ) und ( \beta_i ) nach der Methode der kleinsten Quadrate (MSE – Mean Squared Error).

6.1.5 Anpassungsgüte

  • Bestimmtheitsmaß (R²): Misst, wie gut das Modell die Variabilität der Daten erklärt.

    • R² = 1 bedeutet perfekte Anpassung, R² = 0 bedeutet keine Erklärung.

  • F-Test: Test zur Überprüfung, ob ein signifikanter Zusammenhang zwischen den Variablen besteht.

6.1.6 Statistische Signifikanz

  • Standardfehler der Schätzung: Gibt Auskunft über die Streuung der Residuen.

  • Schätzung der Koeffizienten und deren Signifikanz: Verwendung von t-Tests zur Prüfung der Hypothesen über die Regressionskoeffizienten ( \alpha_i ) und ( \beta_i ).