9. Bagaimana Cara Kerja Ilmu Pasti (Matematika) dalam Sains?

Bagaimana Cara Kerja Ilmu Pasti (Matematika) dalam Sains?

Agenda

• Review Kelompok
• Pengantar ke dalam presentasi
• Presentasi Kelompok: “Matematika, Perannya dalam Sains”
• Logika dan Matematika
• Kebenaran Koherensi
• Relativitas Ilmu-ilmu Pasti (Matematika)
• Wawasan Dunia Kristen: Tuhan dan Matematika

Pengantar

• $4+5=9$

Contoh Pola Matematika

• $1 \times 9 + 2 = 11$
• $12 \times 9 + 3 = 111$
• $123 \times 9 + 4 = 1111$
• $1234 \times 9 + 5 = 11111$
• $12345 \times 9 + 6 = 111111$
• $123456 \times 9 + 7 = 1111111$
• $1234567 \times 9 + 8 = 11111111$
• $12345678 \times 9 + 9 = 111111111$
• $123456789 \times 9 + 10 = 1111111111$

Lebih Banyak Pola Matematika

• $3 \times 37 = 111$ and $1 + 1 + 1 = 3$
• $6 \times 37 = 222$ and $2 + 2 + 2 = 6$
• $9 \times 37 = 333$ and $3 + 3 + 3 = 9$
• $12 \times 37 = 444$ and $4 + 4 + 4 = 12$
• $15 \times 37 = 555$ and $5 + 5 + 5 = 15$
• $18 \times 37 = 666$ and $6 + 6 + 6 = 18$
• $21 \times 37 = 777$ and $7 + 7 + 7 = 21$
• $24 \times 37 = 888$ and $8 + 8 + 8 = 24$
• $27 \times 37 = 999$ and $9 + 9 + 9 = 27$

Diskusi

• Karakteristik-karakteristik matematika dari pernyataan-pertanyaan tersebut.

Karakteristik Pernyataan Matematika

• Kepastian relasi dari komponen-komponennya.
• Keniscayaan kesimpulan-kesimpulannya.
• Pernyataan-pernyataan itu absolut.
• Prinsip identitas, tidak kontradiktif.
• Murni pemikiran, a priori, logis, dan abstrak.

Presentasi Kelompok 2: "Matematika, Perannya dalam Sains"

Tanya Jawab

Dua Pandangan Matematika (Brown, J.R., 261-263)

• (1) Pandangan realis atau strukturalisme: Matematika adalah deskripsi tentang dunia. Ada kesamaan antara dunia fisik dan sistem matematika. Matematika menjelaskan kebiasaan atau struktur dunia. Dunia ini matematis.
• (2) Pandangan idealist atau Platonism: Matematika adalah representasi dari dunia. Objek-objek matematis seperti bilangan, jumlah, satuan, dsb., eksis sebagai realitas. Tidak hanya deskripsi tentang realitas. Objek-objek itu merepresentasikan berbagai realitas.

Pertanyaan

• Apakah "4+5=9" suatu realitas atau hanya suatu deskripsi tentang sebuah realitas?

Pertanyaan

• Apa itu logis? Apakah "yang logis" adalah sebuah sains a priori juga?

Logika dan Matematika

• Logika dan matematika mempunyai metode yang sama untuk menghasilkan pengetahuan: metode deduktif.
• Geometri, aritmatika, astronomi dan musik diklasifikasikan ke dalam satu kelompok sebagai sains a priori.
• Mengapa musik diklasifikasikan ke dalam sains a priori seperti matematika?

Penalaran Deduktif

• Umum ke Khusus

Logika

• Logika juga mempunyai aksioma-aksioma, prinsip-prinsip, konsep-konsep dasar yang dapat dibuktikan dengan cara matematis.

Bagaimana Kepastian Matematika?

• Istilah “pasti” berarti “niscaya”, “absolut”.
• Tidak merujuk pada kebenaran absolut, tetapi relasi-relasi internal sistem matematika atau konstruksi (lihat: $4+4 = 8$)
• Ada lebih dari satu sistem matematika. Sistem Euclidean hanya salah satu dari berbagai sistem matematika. Masih ada sistem lain seperti, Lobatsjewskian, Saccerian, Rimannian dan Gaussian.
• Dengan demikian, sistem-sistem itu tidak absolut melainkan relatif.

Konsistensi dalam Matematika

• Konsisten dalam sistemnya. Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada yang saling terkait dan ada yang saling terpisah. Dalam satu sistem tidak ada kontradiksi. Tetapi antar sistem ada kemungkinan timbul kontradiksi.

Relasi Matematika

• Relasi matematika: hubungan dua buah himpunan.
• Misalnya, Himpunan A dan himpunan B: relasi himpunan A dengan himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
• Relasi dinyatakan dengan cara: Diagram Panah, Diagram Cartesius, dan Himpunan Pasangan Beruntun.

Relasi Matematika: Diagram Panah

• Diagram Panah contoh relasi antara nama orang dan makanan.

Relasi Matematika: Diagram Cartesius

• Diagram Cartesius contoh relasi antara nama orang dan olahraga.

Relasi Matematika: Himpunan Pasangan Berurutan

• Contoh himpunan pasangan berurutan A. $(2,4), (2,6), (3,6)$\
• Contoh himpunan pasangan berurutan B. $(2, 4), (2,6), (3,6), (4, 6)$\
• Contoh himpunan pasangan berurutan C. $(2,4), (2,6), (3, 3), (4,4), (5,5)$\
• Contoh himpunan pasangan berurutan D. $(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5,5)$\

Apakah Matematik itu Absolut atau Relatif?

• Tidak mungkin memformalkan matematika dan logika hanya dalam 1 pola dan 1 sistem.
• Ada banyak sistem matematika.
• Yang absolut adalah isi (unsur internal) dari sistem.
• Yang relatif adalah sistem.

Apa Makna "Ketepatan" dari Sains Matematika?

• Konstruksi pemikiran yang berciri rigorus/tautologis.
• Tidak ada kontradiksi internal (koherensi internal).
• Tidak lebih dan tidak kurang tetapi "pas".
• Berpikir secara deduktif.

Metode: Deduksi

• Teori -> Konsep -> Dasar -> Aksioma-aksioma -> Standar Operasional
• General -> Particular

Diskusi Kelompok

• $4 + 4 = 8$ adalah penyataan yang benar dalam matematika.
• Apa makna kebenaran dalam pernyataan matematika? Apa itu “kebenaran matematik”?

Kebenaran dalam Matematika

• Bukan kebenaran korespondensial melainakn kebenaran koherensial.
• Kebenaran koherensial: koherensi antara penalaran matematika dan prinsip-prinsip dalam sistem matematika.
• Setiap matematikawan bebas memilih sistem matematika. Tetapi ketika mereka sudah memilih sebuah sistem tidak ada lagi kebebasan. Mereka harus menggunakan prinsip-prinsip dalam sistem matematika tersebut.
• Apabila kita memandang dari luar sistemnya, maka matematika itu tampaknya subjektif. Tetapi apabila kita masuk di dalam sistem, maka matematikan itu objektif.

Apakah Alam Semesta Terstruktur Secara Matematis?

• Alam semesta memiliki pola dan keteraturan yang dapat dijelaskan secara matematis.

Prediksi Akurat

• Manusia dapat secara akurat memprediksi proses kimiawi, pertumbuhan-perkembangan tanaman, orbit planet-planet, energi atom, dsb. Semuanya akurat. Akurasi itu menunjukkan alam itu suatu tatanan (teratur).

Apakah Tuhan Berpikir Secara Matematis?

• Pertanyaan filosofis tentang hubungan antara Tuhan dan matematika.

Tuhan dan Matematika

• Alam semesta dapat diketahui. Alam ini tidak misterius secara mutlak.
• Proses kerja alam berlangsung secara matematis (pasti). Oleh karena itu, kita tahu ada hukum fisika, hukum kimia, hukum biologi, dst.
• Tetapi alam semesta “lebih” dari sekedar proses kerjanya; Ada dimensi-dimensi lain dari alam semesta, seperti dimensi estetika, dimensi sosial, dan dimensi ekologi.
• Matematika dan cara kerja alam mengantar kita pada refleksi tentang alam sebagai ciptaan yang tertata/teratur; Tetapi refleksi itu tidak identik dengan isi pikiran Pencipta.

Deus Semper Maior

• (Filosof Anselmus dalam karyanya berjudul Proslogion): Tuhan, Pencipta, adalah selalu yang terbesar dari ciptaan-Nya (Deus semper maior). Oleh karenanya Ia secara total berbeda (das ganz Andere) dan lebih besar dari penalaran matematika.

Kesimpulan

Jelaskan beberapa istilah berikut ini:

1. Ketepatan sains matematika
2. Relativitas sistem matematika
3. Kebenaran koherensial
4. Deus semper maior
5. Sains a priori

Tugas Bacaan Pribadi

• (Sains dan Monoteisme) (Leahy, 441-470) Buku Philosophy of Science – Reading Materials, F. Budi Hardiman (Collector), hal. 161-190.