Wiskunde vademecum

ℕ → de verzameling van de natuurlijke getallen

→ {0,1,2,3,4,…}

Z → de verzameling van de gehele getallen

→ {0,1,-1, 2, -2, 3, -3}

Q → de verzameling van de rationale getallen

@@Rationale getallen@@

• decimaal getallen → vb: -2, 751
• breuken → vb: 5/7
• decimale vormen → vb: 2, 4545…

Bewerkingen met getallen

1. Optellen: plus, som, termen
2. aftrekken: min, verschil, termen (aftrektal en aftrekker)
3. vermenigvuldigen: maal, product, factoren
4. delen: gedeeld door, quotiënt, deeltal en deler, rest
5. machtsverheffing: grondtal, exponent, kwadraat
6. worteltrekking: vierkantswortel

verbanden tussen bewerkingen en getallen

1. optellen en vermenigvuldigen (vb: 2 + 2 + 2 + 2 = 4 . 2

   definitie: a + a + … + a = n . a

2. vermenigvuldigen en machtsverheffing (vb: 3 . 3 = 3²

   definitie: a . a . … . a =a^n

   → n- factoren a^0 = 1 a^1 = a

3. optellen en aftrekken (vb: 31 - 19 = 12 want 12 + 19 = 31

   definitie: a - b = a + (-b)

   ( een getal aftrekken is hetzelfde als zijn tegengestelde optellen)

4. vermenigvuldigen en delen ( vb: 63 : 21 = 3 want 3 . 21 = 63 en 3 ∈ ℕ

   defintie: a : b = a . 1/b

   ( door een getal delen is hetzelfde als met zijn omgekeerde vermenigvuldigen)

5. machtsverheffing en worteltrekking (vb: √36 = 6 want 6² = 36

   definitie: √a = b

basisregels voor bewerkingen met getallen

1. tekenregel

2. hoofdeigenschap van breuken

   Een breuk blijft gelijk als men de teller en de noemer van die breuk met éénzelfde van nul verschillend geheel getal vermenigvuldigt of door éénzelfde van nul verschillend deelt.

3. vereenvoudigen van breuken

   • maak de noemer positief
   • deel de teller en de noemer van de breuk door de ggd (grootste gemeenschappelijke deler) van de teller en noemer

4. gelijknamig maken van breuken

   • vereenvoudig de breuken
   • bereken het kgv (kleinste gemeenschappelijk veelvoud) van alle noemers
   • pas de teller aan de nieuwe noemer aan door hoofdeigenschap van breuken toe te passen

5. optellen/aftrekken bij breuken

   • vereenvoudig, indien mogelijk, de breuken en de tekens (met de tekenregel) in de opgave
   • maak alle breuken gelijknamig
   • maak de som (het verschil) van de tellers, bewaar de noemer
   • vereenvoudig, indien mogelijk, de uitkomst

6. vermenigvuldigen bij breuken

   • teken bepalen (met tekenregel)
   • vermenigvuldig de tellers met elkaar, vermenigvuldig de noemers met elkaar ( lange breukstreep)
   • vereenvoudig de teller en de noemer dor schrapping

7. delen bij breuken

   • teken bepalen ( met de tekenregel)
   • vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk

8. volgorde van bewerkingen

   • reken eerst de haakjes uit

   • reken daarna de machten en de vierkantswortel uit

   • reken daarna de vermenigvuldigingen en de delingen uit van links naar rechts

   • reken tenslotte de optelling en aftrekking uit van links naar rechts

     of maak de som van alle positieve getallen min de som van alle negatieve getallen

9. tekenregel voor machten

   • een macht met een negatief grondtal en een oneven exponent is negatief
   • een macht met een negatief grondtal en een even exponent is positief
   • een macht met een positief grondtal is altijd positief
   1. rol van 0 en 1
   • wanneer je een getal vermeerdert met 0 is de uitkomst het getal zelf
   • wanneer je een getal vermenigvuldigt met 1 is de uitkomst het getal zelf
   • wanneer je een getal vermenigvuldigt met 0 is de uitkomst steeds 0

rekenen met letters

1. afspraken met letterrekenen:

   • we laten het maalteken weg als er geen verwarring mogelijk is

   • bij het product wordt het cijfergedeelte altijd altijd voor het lettergedeelte geschreven

   • de factor 1 schrijven we niet ( 1 is neutraal element voor de vermenigvuldiging)

   • bij een product met meerdere letters worden de letters in alfabetische volgorde geschreven

   • 0 . a = 0 ( 0 is opslorpend element voor de vermenigvuldiging

   • we noteren lettervormen altijd zo eenvoudig mogelijk

     a + a + a = 3a a . a . a= a³

2. Basisoefeningen voor letterrekenen:

1. optellen/aftrekken met dezelfde letter

   vb: 3x -7x + 6x = (3 - 7 + 6) x = 2x

   regel: - coëfficiënten optellen en aftrekken

   - het lettergedeelte behouden

2. Optellen/aftrekken met verschillende letters

   vb. 3x + 7y - 4y - 8x = 3x - 8x + 7y - 4y = (3-8)x + (7-4)y = -5x + 3y

   regel: (- de gelijksoortige termen onderlijnen)

   - bij de gelijksoortige termen de coëfficiënten optellen en aftrekken

   - het lettergedeelte behouden

3. optellen/aftrekken met verschillende letters met haakjes

vb 1 : 3x - (7y - 4x) - 8y = 3x - 7y + 4x - 8y = 3x + 4x - 7y - 8y = (3+4) x + (-7 - 8) y = 7x - 15y

Vb 2 : 3x + (7y - 4x) - 8y = 3x + 7y - 4x - 8y = 3x - 4x + 7y - 8y = (3-4) x + (7 - 8) y = -x - y

regel: haakjesregel:

• haakjes voorafgegaan door een plusteken: laat de haakjes en het plusteken zomaar weg
• haakjes voorafgegaan door een minteken: laat het minteken en de haakjes weg en verander alle termen binnen de haakjes naar hun tegenstelde

1. vermenigvuldigen met verschillende letters

   vb: - 2x . 3x²y = (-2 . 3) . (x^1+² . y) = -6x³y

   regel: - Coëfficiënten vermenigvuldigen

   / - Bij dezelfde veranderlijke exponenten optellen

2. een factor vermenigvuldigen met som/verschil = distributieve eigenschap

   vb: 3x . (2y - 4z) = 3x . 2y + 3x . (-4z) = 6xy - 12xz

   regel: Om een factor te vermenigvuldigen met een som of verschil, vermenigvuldigen we de factor met elke term van de som of het verschil en tellen we de bekomen producten op.

andere rekenregels (= eigenschappen) voor letterrekenen:

1. rekenregels voor machten

2. merkwaardige producten