KW-26

Kapitel 5 Differentialrechnung

5.1 Lineare Approximation

• Für eine in $x<em>0 \in (a, b)$ stetige Funktion $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ gilt $f(x) \approx f(x</em>0)$ für $x \approx x_0$, aber ohne Angabe der Konvergenzgeschwindigkeit.
• Die Frage ist, ob $f$ durch eine lineare Funktion $\ell(x; x<em>0)$ besser approximiert werden kann, wobei $x</em>0$ ein fester Parameter ist.
• Notation 5.1.1:
  • $f(h) = o(h)$ (für $h \neq 0$) bedeutet $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 0$.
  • $f(h) = O(h)$ (für $h \neq 0$) bedeutet, dass es ein $C \in \mathbb{R}$ gibt, so dass $\limsup_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} \leq C$.
• Beispiele:
  • $h^2 = o(h)$ und $h^2 = O(h^2)$.
  • $\exp(h) - 1 = O(h)$ und $\sin(h) = O(h)$ für $h \approx 0$.
• Für stetiges $f$ gilt $f(x) \to f(x<em>0)$ für $x \to x</em>0$, aber die Steigung $\alpha$ der besten linearen Funktion $\ell(x; x<em>0) = f(x</em>0) + \alpha \cdot (x - x_0)$ muss noch bestimmt werden.
• Definition 5.1.2: Eine reelle Funktion $f$ ist in $x<em>0$ linear approximierbar, wenn es ein $\alpha \in \mathbb{R}$ gibt, so dass: $f(x) - f(x</em>0) + \alpha(x - x<em>0) = o(|x - x</em>0|) \quad \text{für } x \to x<em>0$$\ell(x; x</em>0) = f(x<em>0) + \alpha(x - x</em>0)$ ist die beste lineare Approximation von $f$ in $x_0$.
• Bemerkung: Jede in $x<em>0$ linear approximierbare Funktion ist in $x</em>0$ stetig.
• Nicht jede stetige Funktion ist linear approximierbar, z.B. $g(x) = |x|$ in $x_0 = 0$.
• Definition 5.1.3: Die Differenzfunktion von $f$ in $x<em>0$ ist definiert als $(\Delta</em>{x<em>0} f)(x) := f(x) - f(x</em>0)$.
• Wenn $f$ in $x<em>0$ linear approximierbar ist, dann ist das Differential von $f$ in $x</em>0$ definiert als $d<em>{x</em>0} f(x) := \alpha \cdot (x - x_0)$, wobei $\alpha$ die Konstante aus Definition 5.1.2 ist.
• Wenn $f$ in $x<em>0$ linear approximierbar ist, dann gilt $(\Delta</em>{x<em>0} f)(x) \approx d</em>{x_0} f(x)$.

Finden der besten linearen Approximation

• Die lineare Approximation für $f$ in der Nähe von $x<em>0$ wird durch die Sekante gegeben, die die Punkte $(x</em>0, f(x<em>0))$ und $(x</em>1, f(x_1))$ verbindet.
• Die Steigung der Sekante ist $\frac{f(x<em>1) - f(x</em>0)}{x<em>1 - x</em>0}$.
• Weder die Sekante noch die Steigung sind für $x<em>1 = x</em>0$ definiert.
• Je näher $x<em>1$ an $x</em>0$ liegt, desto besser wird die Approximation.
• Sei ${x<em>n}</em>{n=1}^{\infty}$ eine Folge mit $x<em>n \neq x</em>0$, so dass $x<em>n$ gegen $x</em>0$ konvergiert.
• Definiere die Folge der Steigungen $\alpha<em>n := \frac{f(x</em>n) - f(x<em>0)}{x</em>n - x_0}$ und versuche, $\alpha$ als Grenzwert dieser Folge zu definieren.
• Die Existenz dieses Grenzwertes für eine Folge bedeutet nicht, dass die ursprüngliche Funktion linear approximierbar ist.
• Aber wenn der Grenzwert für jede Folge existiert, dann ist $f$ linear approximierbar.
• Annahme: $f : (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ ist in $x_0 \in (a, b)$ linear approximierbar.
• Nach Definition 5.1.2 ist dies äquivalent zu
  $f(x) - f(x<em>0) + \alpha(x - x</em>0) = o(|x - x<em>0|) \quad \text{für } x \to x</em>0$
• Umformen durch Division durch $|x - x<em>0|$. Für $x \neq x</em>0$:
  $\frac{f(x) - f(x<em>0) + \alpha(x - x</em>0)}{|x - x<em>0|} = \frac{o(|x - x</em>0|)}{|x - x<em>0|} \quad \text{für } x \to x</em>0$
  $\frac{f(x) - f(x<em>0)}{|x - x</em>0|} - \alpha \frac{(x - x<em>0)}{|x - x</em>0|} = \frac{o(|x - x<em>0|)}{|x - x</em>0|} \quad \text{für } x \to x_0$
• Fallunterscheidung:
  • Fall 1: x < x0: In diesem Fall gilt $\frac{f(x) - f(x</em>0)}{|x - x<em>0|} - \alpha \frac{(x - x</em>0)}{|x - x<em>0|} = \frac{f(x) - f(x</em>0)}{(x - x<em>0)} - \alpha \frac{(x - x</em>0)}{(x - x<em>0)} = \frac{f(x) - f(x</em>0)}{x - x_0} + \alpha$
  • Fall 2: x > x0: In diesem Fall gilt $\frac{f(x) - f(x</em>0)}{|x - x<em>0|} - \alpha \frac{(x - x</em>0)}{|x - x<em>0|} = \frac{f(x) - f(x</em>0)}{(x - x<em>0)} - \alpha \frac{(x - x</em>0)}{(x - x<em>0)} = \frac{f(x) - f(x</em>0)}{x - x_0} - \alpha$
• Lineare Approximierbarkeit von $f$ in $x<em>0$ ist äquivalent zu $\left| \frac{f(x) - f(x</em>0)}{x - x<em>0} - \alpha \right| = \frac{o(|x - x</em>0|)}{|x - x<em>0|} \quad \text{für } x \to x</em>0$
  $\lim<em>{x \to x</em>0} \frac{f(x) - f(x<em>0)}{x - x</em>0} - \alpha = \lim<em>{x \to x</em>0} \frac{o(|x - x<em>0|)}{|x - x</em>0|} = 0$
• Satz 5.1.4: Eine Funktion $f : (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ ist in $x<em>0 \in (a, b)$ genau dann linear approximierbar, wenn $\lim</em>{x \to x<em>0} \frac{f(x) - f(x</em>0)}{x - x<em>0} \quad (5.1.1)$ existiert. Außerdem gilt für die Steigung $\alpha$ der besten linearen Approximation $\alpha = \lim</em>{x \to x<em>0} \frac{f(x) - f(x</em>0)}{x - x_0} . \quad (5.1.2)$
• Wenn der Grenzwert $\alpha$ in (5.1.2) existiert, dann wird die Funktion $\ell(x; x<em>0) = f(x</em>0) + \alpha(x - x<em>0)$ Tangente an den Graphen von $f$ in $x</em>0$ genannt. Ihre Steigung ist der Grenzwert der Steigungen der Sekanten.

5.2 Die Ableitung in einem Punkt

• Definition 5.2.1: Sei $f : (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion und $x<em>0 \in (a, b)$. Der Differenzenquotient von $f$ in $x</em>0$ ist
  $D<em>{x</em>0} f(x) := \frac{f(x) - f(x<em>0)}{x - x</em>0}$.
• Wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten für $x \to x<em>0$ existiert, dann heißt dieser Grenzwert die Ableitung von $f$ in $x</em>0$ und wird mit $f'(x<em>0)$ oder $\frac{df}{dx}(x</em>0)$ bezeichnet.
• In diesem Fall sagt man, dass $f$ in $x_0$ differenzierbar ist.
• Differenzierbarkeit in einem Punkt ist eine lokale Eigenschaft einer Funktion.
• Lemma 5.2.2: Wenn $f : (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ in $x<em>0 \in (a, b)$ differenzierbar ist, dann ist $f$ in $x</em>0$ stetig.
• Die Umkehrung gilt nicht! Gegenbeispiele sind $|x|$ in 0 und $\sqrt{|x|}$, die in 0 stetig, aber nicht differenzierbar sind.
• Beweis von Lemma 5.2.2: Wenn $f$ in $x<em>0$ differenzierbar ist, dann gilt $f(x) = f(x</em>0) + f'(x<em>0)(x - x</em>0) + o(|x - x<em>0|)$. Also gilt $|f(x) - f(x</em>0)| \leq |f'(x<em>0)| |x - x</em>0| + o(|x - x<em>0|)$, so dass insbesondere $\lim</em>{x \to x<em>0} |f(x) - f(x</em>0)| = 0$, was Stetigkeit von $f$ in $x_0$ entspricht.
• Beispiele:
  • Im Abschnitt 4.1 wurde gezeigt:
    $\lim<em>{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x - 1} = n \quad \text{und} \quad \lim</em>{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \quad (5.2.1)$
    Nach Definition 5.2.1 ist $\frac{x^n - 1}{x - 1} = \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = D<em>1 f(x)$ der Differenzenquotient von $f(x) = x^n$ in $x</em>0 = 1$.
    Also impliziert der erste Grenzwert in (5.2.1), dass
    $f'(1) = n \quad \text{oder} \quad \frac{d}{dx} x^n|<em>{x=1} = n. \quad (5.2.2)$ Analog ist $\frac{e^x - 1}{x} = \frac{e^x - e^0}{x - 0} = D</em>0 g(x)$ der Differenzenquotient von $g(x) = e^x$ in $x<em>0 = 0$. Der zweite Grenzwert in (5.2.1) sagt uns, dass $g'(0) = 1 \quad \text{oder} \quad \frac{d}{dx} e^x|</em>{x=0} = 1. \quad (5.2.3)$
    Die Tangente zu $x^n$ in 1 ist $y = 1 + n(x - 1)$, die Tangente zu $e^x$ in 0 ist $y = x + 1$.
  • $g(x) = |x|$ ist in 0 nicht linear approximierbar und somit nicht differenzierbar.
    $\frac{|x|}{x} = \begin{cases} 1 &amp; x &gt; 0 \ -1 &amp; x &lt; 0 \end{cases}$
    $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ existiert nicht.
• Die Objekte
  $\lim<em>{x \downarrow x</em>0} \frac{g(x) - g(x<em>0)}{x - x</em>0} \quad \text{bzw.} \quad \lim<em>{x \uparrow x</em>0} \frac{g(x) - g(x<em>0)}{x - x</em>0} \quad (5.2.4)$
  werden auch benannt:
• Definition 5.2.3: Wenn $(x, x<em>0] \subseteq D(f)$ und der Grenzwert $\lim</em>{x \uparrow x<em>0} \frac{f(x) - f(x</em>0)}{x - x<em>0}$ existiert, dann nennen wir den Grenzwert die linksseitige Ableitung von $f$ in $x</em>0$. Wir schreiben $f'<em>-(x</em>0)$ oder $\frac{df}{dx}^-(x<em>0)$ dafür und sagen, dass $f$ in $x</em>0$ linksseitig differenzierbar ist.
• Wenn $[x<em>0, x) \subseteq D(f)$ und der Grenzwert $\lim</em>{x \downarrow x<em>0} \frac{f(x) - f(x</em>0)}{x - x<em>0}$ existiert, dann nennen wir den Grenzwert die rechtsseitige Ableitung von $f$ in $x</em>0$. Wir schreiben $f'<em>+(x</em>0)$ oder $\frac{df}{dx}^+(x<em>0)$ dafür und sagen, dass $f$ in $x</em>0$ rechtsseitig differenzierbar ist.
• Notation 5.2.4: Sei $I \subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall, $f : I \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion, und $x<em>0$ ein Punkt in $I$. Wir benutzen die Notation $\lim</em>{x \to x<em>0 \atop x \in I} f(x)$ für den Grenzwert von $f(x</em>n)$ für alle Folgen ${x<em>n}</em>{n=1}^{\infty}$ mit $x<em>n \in I$, die gegen $x</em>0$ für $n \to \infty$ konvergieren. Dies ergibt den linksseitigen Grenzwert, den rechtsseitigen Grenzwert, oder den (üblichen) Grenzwert (abhängig davon, ob $x_0$ der rechte Endpunkt des Intervalls, der linke Endpunkt des Intervalls, oder im Inneren des Intervalls ist).
• $g(x) = |x|$ ist in 0 linksseitig und rechtsseitig differenzierbar mit
  $\frac{dg}{dx}^-(0) = -1, \quad \frac{dg}{dx}^+(0) = 1$
• Eine Funktion $f$ ist in $x<em>0$ genau dann differenzierbar, wenn $\frac{df}{dx}^-(x</em>0)$ und $\frac{df}{dx}^+(x<em>0)$ beide existieren und $\frac{df}{dx}^-(x</em>0) = \frac{df}{dx}^+(x_0)$
  gilt.

5.3 Die abgeleitete Funktion

• Definition 5.3.1: Sei $I \subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall. Wenn $f : I \rightarrow \mathbb{R}$ in jedem Punkt in $I$ differenzierbar ist, also wenn
  $\lim<em>{x \to x</em>0 \atop x \in I} \frac{f(x) - f(x<em>0)}{x - x</em>0}$
  existiert für alle $x<em>0 \in I$, so heißt $f$ einfach differenzierbar. Die Funktion $f' : I \rightarrow \mathbb{R}, x</em>0 \mapsto f'(x_0)$ heißt die Ableitung (oder die abgeleitete Funktion) von $f$. Wenn $f'$ stetig auf $I$ ist, dann heißt $f$ stetig differenzierbar und man schreibt $f \in C^1(I)$.
• Die Ableitung in einem Punkt ist eine reelle Zahl. Die Ableitung (oder abgeleitete Funktion) ist eine Funktion.
• Finden Sie eine Funktion, die differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar ist.
• Beispiele:
  • $f(x) = x^2$. Dann ist
    $\begin{aligned} f'(x<em>0) &= \lim</em>{x \to x<em>0} \frac{f(x) - f(x</em>0)}{x - x<em>0} = \lim</em>{x \to x<em>0} \frac{x^2 - x</em>0^2}{x - x<em>0} \quad \text{``}\frac{0}{0}\text{''} \ &= \lim</em>{x \to x<em>0} \frac{(x - x</em>0)(x + x<em>0)}{(x - x</em>0)} = 2x_0 \end{aligned}$
    Also ist $f'(x) = 2x$.
  • $f(x) = e^x$. Es gilt
    $f'(x<em>0) = \lim</em>{x \to x<em>0} \frac{e^x - e^{x</em>0}}{x - x<em>0} \quad \text{``}\frac{0}{0}\text{''}. \quad (5.3.1)$ Mit $x = x</em>0 + h$:
    $\begin{aligned} f'(x<em>0) &= \lim</em>{h \to 0} \frac{e^{x<em>0 + h} - e^{x</em>0}}{h} = \lim<em>{h \to 0} \frac{e^{x</em>0} (e^h - 1)}{h} \ &amp;= e^{x<em>0} \lim</em>{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = e^{x_0}, \end{aligned}$
    Also ist $f'(x) = e^x$.
    Somit löst $e^x$ die gewöhnliche Differentialgleichung $f' - f = 0$.
  • $f(x) = \sqrt{x}$. Dann ist
    $f'(x<em>0) = \lim</em>{h \to 0} \frac{\sqrt{x<em>0 + h} - \sqrt{x</em>0}}{h} \quad \text{``}\frac{0}{0}\text{''}$
    Erweitern mit Eins:
    $\begin{aligned} f'(x<em>0) &= \lim</em>{h \to 0} \frac{\sqrt{x<em>0 + h} - \sqrt{x</em>0}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x<em>0 + h} + \sqrt{x</em>0}}{\sqrt{x<em>0 + h} + \sqrt{x</em>0}} \ &amp;= \lim<em>{h \to 0} \frac{h}{h \cdot (\sqrt{x</em>0 + h} + \sqrt{x<em>0})} = \lim</em>{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x<em>0 + h} + \sqrt{x</em>0}} = \frac{1}{2 \sqrt{x_0}}. \end{aligned}$
    Also ist $f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$. Man bemerkt, dass $D(f') = (0, \infty)$ eine echte Teilmenge des Definitionsbereiches von $f$ ist.
• Lemma 5.3.2: Sei $I \subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall. Wenn $f : I \rightarrow \mathbb{R}$ differenzierbar ist, dann ist $f$ (auf $I$) stetig.
• Die Umkehrung gilt nicht: $|x|$ und $\sqrt{|x|}$ sind stetig (auf $\mathbb{R}$), aber nicht differenzierbar (auf $\mathbb{R}$).

5.4 Rechenregeln

• Satz 5.4.1: Seien $f, g : (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ in $x_0 \in (a, b)$ differenzierbar. Dann gilt
  • (i) (Linearität) $\alpha f + \beta g$ mit $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ ist in $x<em>0$ differenzierbar und $(\alpha f + \beta g)'(x</em>0) = \alpha f'(x<em>0) + \beta g'(x</em>0)$.
  • (ii) (Produktregel) $f \cdot g$ ist in $x<em>0$ differenzierbar und $(f \cdot g)'(x</em>0) = f'(x<em>0) \cdot g(x</em>0) + f(x<em>0) \cdot g'(x</em>0)$.
  • (iii) (Quotientenregel) Wenn $g(x<em>0) \neq 0$ ist, dann ist $\frac{f}{g}$ in $x</em>0$ differenzierbar und es gilt
    $\left( \frac{f}{g} \right)' (x<em>0) = \frac{f'(x</em>0) \cdot g(x<em>0) - f(x</em>0) \cdot g'(x<em>0)}{(g(x</em>0))^2}.$
    Insbesondere ist
    $\left( \frac{1}{g} \right)' (x<em>0) = - \frac{g'(x</em>0)}{(g(x_0))^2}.$
• Die Aussage (i) drückt aus, dass Ableiten eine lineare Abbildung ist. Diese Tatsache ist sehr wichtig.
• Beispiele:
  • $f(x) = x^2 e^x, \quad f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x$.
  • $g(x) = \frac{x^2}{e^x + x}, \quad g'(x) = \frac{2x(e^x + x) - (e^x + 1)x^2}{(e^x + x)^2}$.
  • $h(x) = \frac{x}{x^n}, \quad h'(x) = \frac{x^n - nx^{n-1} x}{x^{2n}} = \frac{x^n - nx^n}{x^{2n}} = \frac{1 - n}{x^{n+1}}$.
• (Partieller Beweis von Satz 5.4.1): Der Beweis folgt aus den Eigenschaften der Grenzwerte.
  Als Beispiel zeigen wir (ii). Es gilt
  $\begin{aligned} \lim<em>{x \to x</em>0} \frac{(f \cdot g)(x) - (f \cdot g)(x<em>0)}{x - x</em>0} &amp;= \lim<em>{x \to x</em>0} \frac{f(x) \cdot g(x) - f(x<em>0) \cdot g(x</em>0)}{x - x<em>0} \ &= \lim</em>{x \to x<em>0} \frac{f(x) \cdot g(x) - f(x</em>0) \cdot g(x) + f(x<em>0) \cdot g(x) - f(x</em>0) \cdot g(x<em>0)}{x - x</em>0} \ &amp;= \lim<em>{x \to x</em>0} \frac{(f(x) - f(x<em>0)) \cdot g(x)}{x - x</em>0} + \lim<em>{x \to x</em>0} \frac{f(x<em>0)(g(x) - g(x</em>0))}{x - x<em>0} \ &= \lim</em>{x \to x<em>0} \frac{f(x) - f(x</em>0)}{x - x<em>0} \lim</em>{x \to x<em>0} g(x) + f(x</em>0) \lim<em>{x \to x</em>0} \frac{g(x) - g(x<em>0)}{x - x</em>0} \ &amp;= f'(x<em>0) \cdot g(x</em>0) + f(x<em>0) \cdot g'(x</em>0). \end{aligned}$
  Oben haben wir sowohl den Satz über den Grenzwert einer Summe als auch die Tatsache, dass
  $\lim<em>{x \to x</em>0} \frac{f(x) - f(x<em>0)}{x - x</em>0}, \quad \lim<em>{x \to x</em>0} g(x), \quad \lim<em>{x \to x</em>0} \frac{g(x) - g(x<em>0)}{x - x</em>0}$
  existieren, benutzt. (Der erste und der dritte Grenzwert existieren, weil $f$ und $g$ in $x<em>0$ differenzierbar sind; der zweite Grenzwert existiert, weil $g$ in $x</em>0$ stetig ist.)
• Satz 5.4.2 (Kettenregel): Seien $f : (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ und $g : (c, d) \rightarrow \mathbb{R}$ Funktionen, wobei für ein $x<em>0 \in (a, b)$ gilt: $y</em>0 := f(x<em>0) \in (c, d)$, $f$ ist in $x</em>0$ differenzierbar und $g$ ist in $y<em>0$ differenzierbar. Dann ist $g \circ f$ in $x</em>0$ differenzierbar und es gilt
  $(g \circ f)'(x<em>0) = g'(f(x</em>0)) \cdot f'(x_0). \quad (5.4.1)$
• Beweisidee: Nach Definition ist
  $(g \circ f)'(x<em>0) = \lim</em>{x \to x<em>0} \frac{g(f(x)) - g(f(x</em>0))}{x - x<em>0}.$ Multiplikation mit $\frac{f(x) - f(x</em>0)}{f(x) - f(x<em>0)}$. Wenn $f(x) \neq f(x</em>0)$ in einer punktierten Umgebung von $x<em>0$, kann man dies tun, und wir erhalten $\begin{aligned} \lim</em>{x \to x<em>0} \frac{g(f(x)) - g(f(x</em>0))}{x - x<em>0} &= \lim</em>{x \to x<em>0} \frac{g(f(x)) - g(f(x</em>0))}{f(x) - f(x<em>0)} \cdot \frac{f(x) - f(x</em>0)}{x - x<em>0} \ &= \lim</em>{x \to x<em>0} \frac{g(f(x)) - g(f(x</em>0))}{f(x) - f(x<em>0)} \cdot \lim</em>{x \to x<em>0} \frac{f(x) - f(x</em>0)}{x - x<em>0} \ &= g'(y</em>0) f'(x<em>0) = g'(f(x</em>0)) f'(x_0). \end{aligned}$
• Lemma 5.4.3: Wenn $f : (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ in $x<em>0$ differenzierbar ist, dann ist $f^*(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - f(x</em>0)}{x - x<em>0} & x \in (a, b) \backslash {x</em>0} \ f'(x<em>0) & x = x</em>0 \end{cases}$
  in $x_0$ stetig.
• Beweis: Folgt aus der Definition der Ableitung.
• (Alternativer Beweis von Satz 5.4.2): Lemma 5.4.3 angewendet auf $f$ in $x<em>0$ und $g$ in $y</em>0$ ergibt
  $\begin{aligned} f(x) &amp;= f^<em>(x)(x - x<em>0) + f(x</em>0) \quad x \in (a, b) \quad (5.4.2) \ g(y) &amp;= g^</em>(y)(y - y<em>0) + g(y</em>0) \quad y \in (c, d). \quad (5.4.3) \end{aligned}$
  Ferner können wir annehmen, dass $f(x) \in (c, d) \ \forall \ x \in (a, b)$. Wir definieren $y \in (c, d)$ durch $y := f(x)$ für $x \in (a, b)$ und erhalten aus (5.4.3), dass
  $\begin{aligned} g(f(x)) &amp;= g^<em>(f(x))(f(x) - f(x<em>0)) + g(f(x</em>0)) \ (5.4.2) &amp;= g^</em>(f(x))(f^<em>(x)(x - x<em>0)) + g(f(x</em>0)). \end{aligned}$
  Man erhält
  $\lim<em>{x \to x</em>0} \frac{g(f(x)) - g(f(x<em>0))}{x - x</em>0} = \lim<em>{x \to x</em>0} g^</em>(f(x)) \cdot f^<em>(x). \quad (5.4.4)$ Aus der Stetigkeit von $f^</em>$ in $x<em>0$ folgt $\lim</em>{x \to x<em>0} f^<em>(x) = f^</em>(x</em>0) = f'(x<em>0)$. Aus Satz 4.2.3 (iii), Stetigkeit von $f$ in $x</em>0$ und Stetigkeit von $g^<em>$ in $y<em>0$ folgt $\lim</em>{x \to x<em>0} g^</em>(f(x)) = g^*(f(x</em>0)) = g'(f(x_0)).$
  Aus (5.4.4) und dem Satz über den Grenzwert eines Produkts erhält man (5.4.1).
• Nach Satz 5.1.4 reicht es aus, wenn wir
  $(g \circ f)(x) - (g \circ f)(x<em>0) - g'(f(x</em>0)) f'(x<em>0)(x - x</em>0) = o(|x - x_0|) \quad (5.4.5)$
  zeigen.
• Angesichts der Differenzierbarkeit von $g$ und $f$ in $y<em>0$ und $x</em>0$ haben wir
  $\begin{aligned} g(y) - g(y<em>0) - g'(y</em>0)(y - y<em>0) &= o(|y - y</em>0|) \quad (5.4.6) \ f(x) - f(x<em>0) - f'(x</em>0)(x - x<em>0) &= o(|x - x</em>0|). \quad (5.4.7) \end{aligned}$
  Wir setzen $y = f(x)$ und $y<em>0 = f(x</em>0)$ in (5.4.6):
  $g(f(x)) - g(f(x<em>0)) - g'(f(x</em>0))(f(x) - f(x<em>0)) = o(|f(x) - f(x</em>0)|).$ (5.4.8)
  Ersetzen von (5.4.7) in (5.4.8) ergibt (5.4.5).
• Beispiele:
  • $h(x) = e^{x^2}$. Man setzt $f(x) = x^2, g(y) = e^y$. Dann ist $h(x) = g \circ f(x)$ und $h'(x) = g'(f(x)) f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x$.
  • $f(x) = x^2 + 5x, \quad g(x) = \frac{1}{x}$. Dann ist $(g \circ f)(x) = \frac{1}{x^2 + 5x}, f'(x) = 2x + 5, g'(x) = -\frac{1}{x^2}$, und
    $(g \circ f)'(x) = -\frac{1}{(x^2 + 5x)^2} \cdot (2x + 5)$.
  • $h(x) = \sqrt{e^{x^2 + 5x}}$. Dann ist $h(x) = (g \circ f)(x)$, wobei $g(x) = \sqrt{x}$ und $f(x) = e^{x^2 + 5x}$. Man erhält
    $g'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}, \quad f'(x) = (2x + 5)e^{x^2 + 5x}$
    (weitere Anwendung der Kettenregel),
    $(g \circ f)'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{e^{x^2 + 5x}}} \cdot (2x + 5)e^{x^2 + 5x}$.
• Definition 5.4.4: Wenn $f' : (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ in $x<em>0$ differenzierbar ist, dann heißt $\lim</em>{x \to x<em>0} \frac{f'(x) - f'(x</em>0)}{x - x<em>0}$ die zweite Ableitung von $f$ in $x</em>0$. Wir schreiben kurz
  $$\frac{d^2 f}{dx^2} (x_