SAT MATH

Least common multiple: Bội chung nhỏ nhất

The great common factor Ước chung lớn nhất

Fraction phân số

numerator / denominator: tử số/ mẫu số

Equation: Phương trình

Product: Tích

Variable: Biến số (x,y,z) VD: 2x+3=5 (x là biến số)

Lesson 1: Solving linear equations and inequalities foundation

linear equations: Phương trình bậc nhất/Phương trình tuyến tính

Example: ax + b = 0

Trong đó

Hằng số → constant (Là giá trị cố định, không thay đổi) → a,b là constant (hằng số)

Từ vựng chủ đề:

Distribute (verb): phân phối

Coefficient (noun): Hệ số (con số đứng trước và nhân với biến số)

Variable: Biến số (x,y,z) VD: 2x+3=5 (x là biến số)

Evaluate (verb): Tính toán giá trị của biểu thức

Linear inequalities: Bất phương trình bậc nhất

Example: 2x − 5 >1

Từ vựng chủ đề

Inequality (noun): Bất đẳng thức / Bất phương trình.

Reverse (verb): Đảo ngược (trong bài là đảo ngược chiều dấu bất đẳng thức)

Satisfy (verb): Thỏa mãn (giá trị của biến làm cho phương trình/bất phương trình đúng)

LESSON 2: Linear equation word problems: foundations

Linear function y = mx + b

(Tìm mối quan hệ giữa x và y)

Trong đó:

m (slope) = hệ số góc và m>0 thì đồ thị đi lên m<0 thì đồ thị đi xuống

b (y-intercept) : Giá trị chặn trục tung (khi x=0)

→ Trong bài toán thực tế, nó là giá trị ban đầu (initial value), phí cố định (fixed fee) hoặc điểm bắt đầu tại thời điểm x = 0.

Standard Form (Dạng tổng quát): $Ax + By = C$

→ giúp thiết lập phương trình dựa trên tổng giá trị

Tính slope (m): $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Hai đường thẳng Song song (Parallel):

• Hệ số góc: Bằng nhau (m1=m2)

• Tung độ gốc: Khác nhau b1≠b2

Hai đường thẳng trùng nhau (Coincident):

• Hệ số góc (Slope): m1=m2

• Tung độ gốc (y-intercept): b1=b2

Hai đường thẳng vuông góc (Perpendicular): m₁ = -1/ m₂

Lesson 5: Solving systems of linear equations: foundations

Cách giải: bấm máy tính cho lẹ

Thủ công: Substitution Method (Phương pháp Thế)

Elimination Method (Phương pháp Cộng đại số)

Graphing Method (Phương pháp Đồ thị)

Ratios, rates, and proportions: foundations

Ratio: a comparison of two quantities

→ (Tỉ số) sự so sánh giữa hai đại lượng

Số: a/b     Chữ: a to b

Quy tắc bất di bất dịch là:

• A (đối tượng nhắc đến trước): Luôn là Tử số (nằm ở trên).

• B (đối tượng nhắc đến sau): Luôn là Mẫu số (nằm ở dưới)

Part-to-Part (Phần - Phần): So sánh giữa các thành phần riêng lẻ với nhau

Part-to-Whole (Phần - Tổng): So sánh một thành phần với tổng thể tất cả các phần

Proportion (Tỉ lệ thức): a/b = c/d

→ Tỉ lệ thức là một đẳng thức khẳng định hai tỉ số bằng nhau

Rate (Tỉ suất / Tỉ lệ đơn vị): hai đại lượng đem so sánh có đơn vị khác nhau

Unit Rate (Tỉ lệ đơn vị): Là khi mẫu số bằng 1. Đây là thứ chúng ta thường tìm để làm mốc so sánh (ví dụ: biết giá 1 kg cam để tính tiền 10 kg cam)

Công thức tổng quát:

$\text{Giá trị ban đầu (đơn vị A)} \times \frac{\text{Giá trị tương đương (đơn vị B)}}{\text{Giá trị tương đương (đơn vị A)}} = \text{Giá trị mới (đơn vị B)}$

• Quy tắc: Để loại bỏ một đơn vị, bạn phải đặt nó ở vị trí đối diện (nếu đơn vị ban đầu ở trên tử số, đơn vị quy đổi phải ở dưới mẫu số và ngược lại).

Lesson 3: Percentages: foundations

$\% = \frac{\text{Part}}{\text{Whole}} \times 100$

Mẹo dịch đề bài sang phương trình:

• "What": biến số x

• "is": dấu bằng =

• "of": phép nhân times

• "percent": chia cho 100

The Three Forms

Dạng Phần trăm: 25%

Dạng Phân số: 25/100 = ¼ Dạng Thập phân: 0.25

p% = p/100

Công thức phần trăm thay đổi:

$\% \text{ Change} = \frac{\text{Difference (New - Old)}}{\text{Original (Old)}} \times 100$

Lesson 4: Center, spread, and shape of distributions: foundations

Mean (Số trung bình): Tổng các giá trị chia cho số lượng giá trị

→ Mean = sum of values / number of value

Median (Số trung vị): Giá trị ở chính giữa khi sắp xếp dữ liệu từ nhỏ đến lớn

Nếu số lượng giá trị là lẻ (odd): Lấy số ở giữa.

Nếu số lượng giá trị là chẵn(even): Lấy trung bình cộng của 2 số ở giữa.

Mode (Yếu vị): Giá trị xuất hiện nhiều lần nhất

Range (Khoảng biến thiên)= maximum value - minimum value

Standard Deviation (Độ lệch chuẩn):

Outlier (giá trị ngoại lai) là một giá trị khác biệt đáng kể so với phần còn lại của tập dữ liệu

Ảnh hưởng đến Mean: Rất mạnh. Nếu loại bỏ một outlier rất lớn, mean sẽ giảm; nếu loại bỏ outlier rất nhỏ, mean sẽ tăng

Ảnh hưởng đến Median: Ít bị ảnh hưởng hơn so với mean. Việc loại bỏ outlier không đảm bảo sẽ làm thay đổi median

Ảnh hưởng đến Spread: Việc thêm outlier làm tăng cả Range và Standard Deviation

Cách xác định Outlier (Giá trị ngoại lai) bằng IQR

$IQR = Q3 - Q1$

Đây là ứng dụng phổ biến nhất của IQR trong các bài thi SAT và thống kê. Một giá trị bị coi là Outlier nếu nó nằm ngoài "hàng rào" sau:

• Hàng rào dưới: Q1 - 1.5 X IQR

• Hàng rào trên: Q3 + 1.5 X IQR

Lesson 5: Data representations: foundations

Lesson 6: Scatterplots: foundations

A scatterplot displays data about two variables as a set of points in the xy-plane. Each axis of the plane usually represents a variable in a real-world scenario.

Purpose

Scatterplots are used to:

• Identify relationships between variables

• Describe patterns or trends

• Make predictions using a model (line or curve of best fit)

1. Direction

• Positive association: as xxx increases, yyy increases

• Negative association: as xxx increases, yyy decreases

• No association: no clear trend

2. Form (Linearity)

• Linear: points cluster around a straight line

• Nonlinear: curved pattern (quadratic, exponential, etc.)

3. Strength

• Strong: points tightly clustered

• Weak: points widely scattered

• “tight cluster” → strong relationship

• “loosely scattered” → weak relationship

Rules

1. Always use the line of best fit, not individual points

2. If x is within the graph range → read directly from the line

3. If x is outside the range → use the equation (extrapolation)

Difference Between Actual and Predicted Values (Residuals)

Definition

Difference= Actual y− Predicted y

• Positive difference: point is above the line

• Negative difference: point is below the line

Lesson 7: Linear and exponential growth: foundations

Consider the following: Alphonse and Bekah both have 100 followers on a social media platform. Over the next 12 months:

• Alphonse's number of followers increases by 10 each month. (linear)

• Bekah's number of followers increases by 10% each month. (exponential)

If the change in y can be represented by repeatedly adding the same value

→ linear equation y = m x + b

If the change in y can be represented by repeatedly multiplying by the same value

→ exponential equation: y= a X b^x

Trong đó: b is the number repeatedly multiplied (common factor or common ratio)

                 a is the initial value, or the y-intercept of the curve

Bảng giải thích chi tiết các cụm từ thường gặp nhất để bạn phân biệt giữa Tăng trưởng Tuyến tính (Linear) và Tăng trưởng Mũ (Exponential)

Lesson 8: Probability and relative frequency: foundations

• Probability: Xác suất.

• Relative frequency: Tần suất tương đối (tỉ lệ xuất hiện của một giá trị so với tổng thể).

• Two-way table / Contingency table: Bảng dữ liệu hai chiều (biểu diễn mối quan hệ giữa hai biến định tính).

• Randomly selected / Chosen at random: Được chọn ngẫu nhiên (đảm bảo tính khách quan).

• Outcome: Kết quả xảy ra.

• Favorable outcome: Kết quả thuận lợi (kết quả mà đề bài đang hỏi tới).

• Total / Sum: Tổng cộng.

• Row: Hàng ngang.

• Column: Cột dọc.

• Intersection: Phần giao nhau giữa hàng và cột.

• Proportion / Fraction / Ratio: Tỉ lệ / Phân số / Tỉ số.

conditional fraction câu điều kiện chồng

What fraction of [Phạm vi] also [Mục tiêu]

"Phạm vi" (Mẫu số - Denominator)

• Cụm từ sau chữ "of" chính là nhóm người chúng ta quan tâm: "classmates who do not own a skateboard" (những người không có ván trượt).

• Nhìn vào bảng: Cột "Does not own a skateboard" có tổng cộng là 18 người.

• Mẫu số của bạn là 18. (Lúc này, bạn hãy quên tất cả những con số khác trong bảng đi, chỉ nhìn vào cột 18 người này thôi).

"Mục tiêu" (Tử số - Numerator)

• Trong số 18 người "không ván trượt" đó, ai là người "also do not own a bike" (cũng không có xe đạp)?

• Nhìn dọc theo cột 18 người đó, tìm hàng "Does not own a bike".

• Con số tại điểm giao nhau này là 7.

• Tử số của bạn là 7.

Bài thực tế:

Câu A (Phạm vi): "What fraction of classmates who do not own a skateboard also do not own a bike?

Câu B (Tổng thể): "If a classmate is selected at random, what is the probability that they do not own a bike?"

• If a student is selected…

• Given that…

• Of the students who…

• What fraction of …

➡ Nhóm được chọn = mẫu số

Lesson 9: Data inferences: foundations

Margin of error (độ sai số) cho biết mức độ không chắc chắn khi ta dùng mẫu (sample) để ước lượng toàn bộ quần thể (population)

Range=Estimate±Margin of Error

Trong đó:

• Estimate = giá trị ước lượng (thường là %)

• Margin of Error = độ lệch cho phép (cũng là %)

Sample càng lớn → margin of error càng nhỏ

V. Cách làm đúng các câu “Draw a conclusion” (rất hay bẫy)

Ví dụ bài Anya

➡ Khoảng hợp lý:

71% đến 77%

Chọn đáp án đúng:

✅ “It is likely that the percentage … is between 71% and 77%.”

Vì sao các đáp án khác sai?

• ❌ Nói “sure” → SAT không dùng chắc chắn

• ❌ Cắt mất một đầu khoảng

• ❌ So sánh vô căn cứ (less than half, more than 74%)

Lesson 10: Evaluating statistical claims: foundations

Evaluating statistical claims = đánh giá xem một kết luận thống kê có hợp lý hay không, dựa trên:

• Cách lấy mẫu

• Loại nghiên cứu

• Phạm vi suy luận cho phép

📌 KHÔNG cần tính toán
📌 Cần đọc kỹ và suy luận logic

Thế nào là một reasonable samples (click for more information)

• Tính đại diện (Representativeness): Mẫu phải phản ánh đúng đặc điểm của toàn bộ quần thể.

  • Ví dụ: Muốn biết ý kiến của cả quận về kế hoạch trường học, không thể chỉ hỏi hàng xóm (vì họ có thể có lợi ích riêng) hay chỉ hỏi người già (vì họ không đại diện cho các độ tuổi khác). (the sample includes only members of the population being studied)

• Lựa chọn ngẫu nhiên (Random Selection): Đây là "chìa khóa vàng". Phương pháp tốt nhất là chọn tên ngẫu nhiên từ danh sách tổng hoặc dùng máy tính tạo số ngẫu nhiên để chọn đối tượng.

• Kích thước mẫu: Mẫu càng lớn và càng bao quát (hoặc hỏi toàn bộ quần thể) thì kết luận càng chính xác

Ví dụ mẫu reasonable (hợp lý)

Ví dụ 1: Thăm dò học sinh toàn trường

Vì sao reasonable?

• Chọn ngẫu nhiên

• Không thiên vị khối lớp, giới tính hay thành tích

• Mỗi học sinh có cơ hội như nhau được chọn

➡ Mẫu đại diện cho toàn trường

Ví dụ 2: Khảo sát chiều cao

Vì sao reasonable?

• Mẫu đủ lớn

• Bao phủ nhiều khu vực

• Đối tượng đúng với quần thể cần nghiên cứu

Bad sampling methods include those that:

• Gather data from outside the population being studied

• Gather data that overrepresent or underrepresent a subgroup of the population (not random)

Nhận diện các loại Sai số (Bias) thường gặp

• Sai số do phản hồi tự nguyện (Voluntary Response Bias): Xảy ra khi bạn để mọi người tự tìm đến để trả lời (ví dụ: bình chọn trên website). Những người tham gia thường là người có ý kiến cực đoan hoặc rất yêu thích chủ đề đó, dẫn đến kết quả bị thổi phồng.

• Sai số do lấy mẫu thuận tiện (Convenience Sampling Bias): Xảy ra khi người khảo sát chọn những người "dễ tiếp cận nhất" (ví dụ: lấy 100 email fan gần nhất). Nhóm này thường có xu hướng ủng hộ bạn sẵn rồi, nên kết quả không khách quan.

• Sai số do không phản hồi (Non-response Bias): Khi bạn chọn được mẫu ngẫu nhiên rồi nhưng một phần lớn trong đó không chịu trả lời. Những người không trả lời có thể có quan điểm khác hẳn với những người trả lời.

  

Sai số do bao phủ không đầy đủ (Undercoverage Bias)

• Định nghĩa: Xảy ra khi phương pháp lấy mẫu của bạn vô tình loại bỏ hoàn toàn một nhóm đối tượng trong quần thể.

• Ví dụ điển hình: Dùng danh bạ điện thoại bàn để khảo sát về quyền riêng tư. Những người dùng số điện thoại di động hoặc yêu cầu ẩn số (unlisted) sẽ bị bỏ qua.

• Hệ quả: Vì những người ẩn số thường là những người quan tâm đến quyền riêng tư nhất, nên nếu bỏ qua họ, kết quả khảo sát sẽ bị ước tính thấp hơn thực tế (underestimate) về mức độ lo ngại của người dân.

Types of statistical studies

Sample Study (Nghiên cứu chọn mẫu)

• Mục tiêu: Ước tính một thông số (parameter) của toàn bộ quần thể (population).

• Cách thức: Thay vì hỏi hàng triệu người (điều này là bất khả thi), chúng ta chọn ra một nhóm nhỏ ngẫu nhiên.

• Ví dụ: Muốn biết thời gian dùng máy tính trung bình của 1 triệu dân thành phố → Khảo sát ngẫu nhiên 1,000 dân. Kết quả từ mẫu (sample) sẽ là con số ước tính cho toàn quần thể.

Observational Study (Nghiên cứu quan sát)

• Mục tiêu: Tìm hiểu xem hai biến số có tương quan (correlation) với nhau hay không (chúng có biến đổi cùng nhau không?).

• Đặc điểm: Người nghiên cứu chỉ quan sát và ghi chép, không can thiệp vào hành vi của đối tượng.

• Cảnh báo đỏ: Chỉ được kết luận về Sự tương quan, tuyệt đối không được kết luận về Nhân quả (Causality).

• Tại sao? Vì luôn tồn tại các Biến nhiễu (Confounding/Lurking variables).

  • Ví dụ: Bạn thấy người dùng máy tính nhiều có huyết áp cao. Nhưng có thể do họ lười vận động (biến nhiễu). Lười vận động vừa gây ra việc dùng máy tính nhiều, vừa gây ra huyết áp cao. Dùng máy tính chưa chắc là nguyên nhân trực tiếp.

Experiment (Thí nghiệm)

• Mục tiêu: Thiết lập mối quan hệ Nhân quả (Causality). Đây là loại nghiên cứu duy nhất cho phép bạn nói "A gây ra B".

• Cách thức:

  1. Lấy một nhóm đối tượng.

  2. Chia nhóm ngẫu nhiên (Random Assignment): Đây là bước quan trọng nhất để triệt tiêu các biến nhiễu.

  3. Chia thành Nhóm đối chứng (Control group) và Nhóm xử lý (Treatment group).

• Cơ chế: Bằng cách ép một nhóm dùng máy tính ít (30p) và một nhóm dùng nhiều (2h), mọi yếu tố khác (như thói quen vận động) sẽ được phân bổ đều cho cả 2 nhóm nhờ việc chia ngẫu nhiên. Nếu huyết áp nhóm 2 cao hơn, ta có quyền kết luận: Việc dùng máy tính gây ra tăng huyết áp.

1. Phân biệt Causality (Nhân quả) và Correlation (Tương quan)

Đây là hai khái niệm thường bị các bài báo (và các lựa chọn sai trong SAT) đánh tráo:

• Causality (A causes B): Hành động A trực tiếp dẫn đến kết quả B. Nếu bạn thay đổi A, B chắc chắn sẽ thay đổi theo.

• Correlation (A and B move together): A và B cùng xảy ra một lúc, nhưng không có bằng chứng nào cho thấy cái này tạo ra cái kia.

Kiểm tra loại nghiên cứu: * Nếu là Observational Study (chỉ quan sát, không chia nhóm can thiệp): Đáp án chỉ được phép dùng các từ như "associated with", "correlated with", "tends to".

• Nếu là Randomized Experiment (thí nghiệm chia nhóm ngẫu nhiên): Lúc này mới có thể cân nhắc các đáp án mang tính nhân quả như "causes", "leads to", "prevents".

Factoring quadratic and polynomial expressions: foundations

Polynomial Expressions (Đa thức)

Factoring Quadratic (Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử)

Hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản

Công thức tính thủ công (khuyên không nên)

Dạng cơ bản: (Khi hệ số đứng trước x² là 1 hay a=1) x² + bx + c

Để phân tích biểu thức này, bạn cần tìm hai số m và n sao cho:

• Tích: m X n = c (số cuối)

• Tổng: m + n = b (số ở giữa)

Khi tìm được m và n, biểu thức sẽ trở thành: (x + m)(x + n)

Dạng mở rộng: ax² + bx + c (Khi hệ số đứng trước x² khác 1)

Đây là phương pháp Nhóm (Grouping) hay còn gọi là phương pháp AC. Bạn cần tìm hai số m và n sao cho:

• Tích: m X n = a X c

• Tổng: m + n = b

Công thức tính bằng casio fx 580VN X

Một số lưu ý

Khi bấm máy tính, kết quả sẽ trả ra kết quả là x₁ và x₂ vậy nên phải đổi dấu thì mới thành b và c được

Lesson 2: Radicals and rational exponents: foundations

Lesson 3: Operations with polynomials: foundations

Polynomial expressions (đa thức) là những biểu thức đại số bao gồm các biến (variables), hệ số (coefficients) và các phép toán cộng, trừ, nhân, cùng với các số mũ nguyên không âm của biến.

• Coefficient (Hệ số): Là số đứng trước biến, trong ví dụ này là 3.

• Base (Cơ số/Biến số): Là chữ cái đại diện cho giá trị chưa biết, ở đây là x.

• Exponent (Số mũ): Chỉ bậc của biến, cho biết biến đó nhân với chính nó bao nhiêu lần, ở đây là 4.

Phân loại đa thức:

• Monomial (Đơn thức): Chỉ gồm một số hạng duy nhất (ví dụ: 3x^4).

• Binomial (Nhị thức): Gồm hai số hạng được nối với nhau bằng phép cộng hoặc trừ (ví dụ:3x^4 + 2x).

• Trinomial (Tam thức): Gồm ba số hạng (ví dụ: 3x^4 + 2x + 7).

• Constant term (Số hạng tự do): Là số hạng không chứa biến (ví dụ: số 7 trong tam thức trên). Nó tương đương với việc biến có số mũ bằng 0 (7 = 7x⁰).

1. Điều kiện để là "Like Terms" (Số hạng đồng dạng)

Để có thể cộng hoặc trừ các số hạng với nhau, chúng phải thỏa mãn hai điều kiện bắt buộc:

• Cùng cơ số biến (Same variable base): Ví dụ, bạn không thể cộng $x$ với $y$ vì chúng là các thực thể khác nhau.

• Cùng số mũ (Same exponent): Ngay cả khi có cùng biến $x$, bạn vẫn không thể cộng x^2 với x^3 vì bậc của chúng khác nhau.

                                axⁿ±bxⁿ=(a±b)xⁿ

Lesson 4: Operations with rational expressions: foundations

Rational expressions (biểu thức hữu tỷ): là một phân số mà cả tử số và mẫu số đều là các đa thức.

Cấu trúc của biểu thức hữu tỷ

Một biểu thức hữu tỷ có dạng tổng quát là:

Q(x)/P(x)​

Trong đó:

• P(x) và Q(x) là các đa thức (polynomial expressions).

• Điều kiện bắt buộc: Q(x) khác0 (mẫu số phải khác 0 vì phép chia cho 0 không xác định).

Polynomial long division

Nonlinear functions: foundations

Hàm số phi tuyến (Nonlinear functions)

Khái niệm về Hàm số

Một hàm số nhận một giá trị đầu vào (input) và tạo ra một giá trị đầu ra (output). Trong ký hiệu hàm số f(x):

• f là tên của hàm số.

• x là biến đầu vào.

• f(x) là giá trị đầu ra.

Dưới đây là phần giải thích và hướng dẫn giải bài tập ví dụ của bạn về cách tính giá trị hàm số bằng đại số.

Cách tính giá trị hàm số (Evaluating Functions)

Khi chúng ta "tính giá trị" của một hàm số tại một điểm cụ thể, chúng ta đang đi tìm giá trị đầu ra (output) tương ứng với một giá trị đầu vào (input) cho trước.

Các bước thực hiện:

1. Thay thế (Plug in): Thay giá trị đầu vào vào vị trí của biến số ($x$) ở bất cứ đâu nó xuất hiện trong công thức.

2. Tính toán (Calculate): Thực hiện các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa...) để tìm ra kết quả cuối cùng.

Composite functions (hàm hợp)

Quy tắc vàng khi làm hàm hợp là: Luôn ưu tiên xử lý hàm bên trong trước.

Với biểu thức f(g(x)):

1. x là đầu vào của hàm g.

2. Kết quả của hàm g (tức là g(x)) sẽ trở thành đầu vào mới cho hàm f.

Các bước tính giá trị hàm hợp

Để tính f(g(a)), bạn thực hiện theo 4 bước sau:

• Bước 1: Thay giá trị a vào hàm số bên trong (g).

• Bước 2: Tính toán kết quả của hàm bên trong. Gọi kết quả này là k.

• Bước 3: Lấy k thay vào hàm số bên ngoài (f).

• Bước 4: Tính toán để ra kết quả cuối cùng.

Giải ví dụ cụ thể

Đề bài: Cho f(x)=2x+1 và g(x)=x2−2x+1. Tính f(g(−1)).

Chúng ta sẽ giải theo phương pháp "từ trong ra ngoài":

• Giai đoạn 1: Tính hàm bên trong g(−1) Thay x=−1 vào công thức của g(x):

  g(−1)=(−1)2−2(−1)+1

  g(−1)=1+2+1=4

  Vậy, giá trị đầu ra của máy g là 4.

• Giai đoạn 2: Tính hàm bên ngoài f(4) Bây giờ, ta lấy kết quả 4 này làm đầu vào cho hàm f:

  f(4)=2(4)+1

  f(4)=8+1=9

Kết quả cuối cùng: f(g(−1))=9.

Lesson 6: Isolating quantities: foundations

Lesson 7: Solving quadratic equations: foundations

Giải phương trình bậc hai (Solving quadratic equations)

• Quadratic equation (Phương trình bậc hai): Một phương trình có số hạng chứa biến với lũy thừa cao nhất là 2.

• Variable (Biến số): Đại diện cho một con số mà chúng ta chưa biết giá trị (ví dụ: x).

• Power/Exponent (Lũy thừa/Số mũ): Chỉ số (ví dụ: 2) cho biết biến số đó được nhân với chính nó.

• Coefficient (Hệ số): Các hằng số được nhân trực tiếp với biến (ví dụ: số 3 trong 3x²).

• Term (Số hạng): Một phần đơn lẻ của phương trình (ví dụ: 3x² là một số hạng, −5x là một số hạng).

• Constant term (Hằng số/Số hạng tự do): Số hạng không chứa biến số (ví dụ: −2).

• Square roots (Căn bậc hai): Phép toán dùng để giải các phương trình không có số hạng chứa x (ví dụ: 2x² =32).

Solving quadratics by taking square roots (giải thủ công)

Quy tắc tích bằng không (Zero product property)

• Nội dung: Quy tắc này phát biểu rằng nếu tích của hai số bằng 0 (ab=0), thì ít nhất một trong hai số đó phải bằng 0 (a=0 hoặc b=0).

Phương trình bậc hai dạng nhân tử (Factored quadratic equations)

• Dạng thức: Là phương trình được viết dưới dạng tích của hai biểu thức bậc nhất, ví dụ: (x−5)(x+2)=0.

• Cách suy luận: Theo quy tắc tích bằng không, để tích của hai ngoặc đơn này bằng 0, thì một trong hai ngoặc đơn phải có giá trị bằng 0:

  • Hoặc x−5=0

  • Hoặc x+2=0

Phân tích nhân tử (Factoring)

• Nội dung chính: Nếu bạn có thể biến đổi một biểu thức bậc hai (dạng ax²+bx+c) thành tích của hai biểu thức bậc nhất (gọi là các nhân tử - factors), bạn có thể tìm ra nghiệm của phương trình đó một cách dễ dàng.

• Mối liên hệ: Biểu thức bậc nhất thường có dạng (x+a) hoặc (x+b). Khi nhân chúng lại với nhau, chúng tạo ra biểu thức bậc hai ban đầu.

Ví dụ minh họa: Từ phương trình:x² −2x−3=0

1. Phân tích thành nhân tử: (x−3)(x+1)=0. (Ở đây, (x−3) và (x+1) là các "linear expressions").

2. Tính toán nghiệm:x−3=0⇒x=3. và x+1=0⇒x=−1.

Công thức nghiệm (Quadratic formula)

1. Tại sao cần Công thức nghiệm?

• Không phải mọi biểu thức bậc hai đều có thể phân tích thành nhân tử.

• Một số biểu thức có thể phân tích được nhưng lại rất khó để tìm ra các số phù hợp.

• Công thức nghiệm cho phép bạn giải bất kỳ phương trình bậc hai nào, miễn là bạn xác định đúng các giá trị và tính toán chính xác.

2. Công thức và Thành phần

Đối với một phương trình có dạng tổng quát ax²+bx+c=0, công thức nghiệm là:

​​

3. Các bước giải chi tiết

Để giải một phương trình bằng công thức này, bạn cần thực hiện 3 bước sau:

• Bước 1: Viết lại phương trình về dạng chuẩn ax²+bx+c=0 (chuyển tất cả các số hạng về một vế để vế còn lại bằng 0).

• Bước 2: Xác định các giá trị của a, b, và c rồi thay chúng vào công thức.

• Bước 3: Tính toán giá trị của x.

3. Phương pháp giải xác định số nghiệm

1. Từ vựng cốt lõi (Core Vocabulary)

Những từ này là nền tảng để hiểu bản chất của lý thuyết:

• Discriminant: Biệt thức (ký hiệu là Δ hoặc biểu thức b² −4ac).

• Portion: Phần/bộ phận (ở đây chỉ một phần của công thức nghiệm).

• Unique real solutions: Các nghiệm thực duy nhất/phân biệt.

• Imaginary number: Số ảo (kết quả của căn bậc hai của một số âm).

2. Từ vựng liên quan (Related Vocabulary)

Những từ này thường xuất hiện trong các bài toán yêu cầu biện luận số nghiệm:

• Simplifies to: Rút gọn thành (ví dụ: công thức rút gọn khi biệt thức bằng 0).

• Determine: Xác định (ví dụ: xác định số lượng nghiệm).

• Satisfy: Thỏa mãn (ví dụ: giá trị của x thỏa mãn phương trình).

• Condition: Điều kiện (ví dụ: điều kiện để có một nghiệm thực duy nhất).

Để biết một phương trình bậc hai có bao nhiêu nghiệm mà không cần giải chi tiết, bạn thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đưa phương trình về dạng chuẩn Đảm bảo phương trình có dạng ax²+bx+c=0 để xác định chính xác các hệ số a,b,c.

Bước 2: Tính giá trị biệt thức Tính toán biểu thức: D=b²−4ac.

Lesson 8: Linear and quadratic systems: foundations

1. Từ vựng cốt lõi (Core Vocabulary)

• System of equations (Hệ phương trình): Một tập hợp gồm hai hoặc nhiều phương trình có chung các biến số.

• Intersection (Giao điểm): Điểm mà đồ thị của hai phương trình cắt nhau; đây chính là nghiệm của hệ.

• Substitution (Phép thế): Phương pháp giải bằng cách thay thế một biểu thức này vào phương trình kia.

• Linear (Bậc nhất): Phương trình có đồ thị là một đường thẳng (dạng y=mx+b).

• Quadratic (Bậc hai): Phương trình có đồ thị là một đường cong parabol (dạng y=ax2+bx+c)

2. Số lượng nghiệm của hệ (Number of Solutions)

Một hệ gồm một đường thẳng (linear) và một parabol (quadratic) có thể có 3 trường hợp nghiệm dựa trên số giao điểm của chúng:

• 0 nghiệm thực: Đường thẳng không cắt parabol.

• 1 nghiệm thực: Đường thẳng tiếp xúc với parabol tại đúng một điểm (tiếp tuyến).

• 2 nghiệm thực: Đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt.

3. Phương pháp giải (Solving Methods)

Cách 1: Phương pháp thế (Substitution)

Đây là cách phổ biến nhất để giải các hệ phương trình này trên SAT.

1. Cô lập một biến: Thường là cô lập y ở phương trình bậc nhất.

2. Thế vào phương trình bậc hai: Thay biểu thức của y vào phương trình còn lại để tạo ra một phương trình chỉ còn biến x.

3. Giải phương trình bậc hai mới: Sử dụng các kỹ thuật như phân tích nhân tử (factoring) hoặc công thức nghiệm (quadratic formula) để tìm x.

4. Tìm biến còn lại: Thay giá trị x tìm được vào phương trình bậc nhất để tìm y.

Cách 2: Sử dụng biệt thức (Using the Discriminant)

Nếu bài toán chỉ hỏi số lượng nghiệm (thay vì tìm giá trị cụ thể), bạn có thể dùng biệt thức:

1. Thiết lập phương trình tương giao (cho vế phải của hai phương trình bằng nhau).

2. Đưa về dạng ax²+bx+c=0.

3. Tính b²−4ac để kết luận số lượng giao điểm tương tự như cách giải phương trình bậc hai đơn lẻ.

Radical, rational, and absolute value equations: foundations

Radical, rational, and absolute value equations: phương trình chứa căn, phân thức và giá trị tuyệt đối

• Radical equations (Phương trình chứa căn): Biến số nằm dưới dấu căn (ví dụ: x+1​=5).

• Rational equations (Phương trình phân thức): Biến số nằm ở mẫu số (ví dụ: x/1​=4)

• Absolute value equations: ∣x−5∣=3

Both radical and rational equations can have extraneous solutions (nghiệm ngoại lai)

• Nghiệm ngoại lai là những giá trị mà chúng ta tìm được thông qua các bước giải đại số đúng quy tắc, nhưng khi thay ngược lại vào phương trình gốc, chúng lại không thỏa mãn phương trình đó.

• Hiểu một cách đơn giản: Chúng là những nghiệm "giả" — trông có vẻ đúng nhưng thực chất lại sai.

Giải thích kỹ hơn

Cách giải

radical equations (căn)

rational expressions (phân thức)

Absolute value equation:

Absolute value equation with no solution

Quadratic and exponential word problems (các công thức quan trong sẽ ở đây)

Area of a rectangle (tạm thời)

Height versus time

Tăng trưởng và suy giảm dân số

Lãi đơn và lãi kép

1. Lãi đơn (Simple Interest)

Công thức

$A=P(1+rt)$

Giải thích (Tiếng Việt)

• A: Tổng số tiền sau khi có lãi

• P: Số tiền gốc (principal)

• r: Lãi suất mỗi năm (viết dưới dạng thập phân, ví dụ 5% = 0.05)

• t: Thời gian (tính bằng năm)

👉 Lãi chỉ được tính trên tiền gốc ban đầu, không cộng dồn lãi qua các kỳ.

Explanation (English)

• A: Total amount after interest

• PP Principal (initial amount)

• r: Annual interest rate (as a decimal)

• t: Time in years

Ví DỤ: Ví dụ

• Gửi $1,000 với lãi suất 6% trong 3 năm:

A=1000(1+0.06×3)=1180

Lãi kép (Compound Interest)

Công thức tổng quát

A=P(1+r/n)^nt

Công thức lãi kép hằng năm (phổ biến nhất trong SAT)

A=P(1+r)^t

Giải thích (Tiếng Việt)

• A: Tổng số tiền sau khi có lãi

• P: Số tiền gốc

• r: Lãi suất mỗi năm (dạng thập phân)

• n Số lần ghép lãi mỗi năm

• t: Thời gian (năm)

👉 Lãi được tính trên cả tiền gốc và lãi đã tích lũy.

Explanation (English)

• A: Final amount

• P: Principal

• r: Annual interest rate

• n: Number of compounding periods per year

• t: Time in years

Từ vựng SAT liên quan (SAT Vocabulary)

• Simple interest: Lãi đơn

• Compound interest: Lãi kép

• Principal (P): Tiền gốc

• Interest rate (r): Lãi suất

• Total amount (A): Tổng tiền

• Time (t): Thời gian

• Compounding period: Kỳ ghép lãi

• Net increase: Mức tăng ròng = giá trị cuối - giá trị đầu
  

Mẹo làm bài SAT Digital

1. Luôn đổi % → số thập phân

2. Nếu đề không nói ghép lãi nhiều lần, mặc định ghép lãi hằng năm

3. Nhìn thấy tăng theo năm → nghĩ tới hàm mũ

4. SAT thường hỏi:

   • So sánh lãi đơn vs lãi kép

   • Tìm A, P, hoặc r

   • Chọn biểu thức đúng, không cần tính chính xác

5. Đối với dạng đổi đơn vị: Từ biến lớn thành biến nhỏ (ngày → giờ) ta dùng phép tính tính chia

6. Đối biến nhỏ thành biến lớn (giời→ ngày), dùng phép tính nhân

7. 

Quadratic graphs

Các dạng phương trình bậc hai (Forms of Equations)

Mỗi dạng phương trình sẽ giúp bạn nhìn nhanh được một đặc điểm của đồ thị:

• Standard Form (Dạng tổng quát): y=ax²+bx+c

  • Giúp xác định nhanh y-intercept tại điểm (0,c).

• Factored Form (Dạng nhân tử): y=a(x−m)(x−n)

  • Giúp xác định nhanh các x-intercepts (nghiệm) tại (m,0) và (n,0).

• Vertex Form (Dạng đỉnh): y=a(x−h)²+k

  • Giúp xác định nhanh tọa độ đỉnh (Vertex) là (h,k).

S

ince the vertex is the point at which a parabola changes from increasing to decreasing or vice versa, it is also either the maximum or minimum  -value of the parabola.

• If the parabola opens upward, then the vertex is the lowest point on the parabola.

• If the parabola opens downward, then the vertex is the highest point on the parabola.

A parabola can also have zero, one, or two  -intercepts.

Translating, stretching, and reflecting: How does changing the function transform the parabola

• Dịch chuyển (Translation):

  • f(x−c): Dịch sang phải c đơn vị.

  • f(x+c): Dịch sang trái c đơn vị.

  • f(x)+c: Dịch lên trên c đơn vị.

  • f(x)−c: Dịch xuống dưới c đơn vị.

• Đối xứng (Reflection):

  • −f(x): Lật ngược đồ thị qua trục x.

  • f(−x): Lật ngược đồ thị qua trục y.

Area and volume

Mối quan hệ giữa các kích thước (Scaling Dimensions)

Đây là phần "bẫy" thường gặp trong SAT. Bạn cần nhớ quy tắc thay đổi tỉ lệ:

1. Thay đổi bậc 1 (Linear): Nếu chỉ một kích thước (như chiều cao) thay đổi gấp k lần, thì thể tích cũng thay đổi gấp k lần.

2. Thay đổi bậc 2 (Quadratic): Nếu kích thước ở số mũ bậc 2 (như bán kính r trong công thức πr²h) thay đổi gấp k lần, thì diện tích hoặc thể tích sẽ thay đổi gấp k² lần.

3. Thay đổi tất cả kích thước: Nếu tất cả các cạnh của một hình khối tăng gấp k lần, thể tích sẽ tăng gấp k³ lần

Từ vựng chuyên ngành (Subject Vocabulary)

Hình khối (Shapes & Solids)

• Solid: Hình khối (3D).

• Right rectangular prism: Hình hộp chữ nhật.

• Right circular cylinder: Hình trụ tròn đứng.

• Sphere: Hình cầu.

• Right circular cone: Hình nón tròn đứng.

• Rectangular pyramid: Hình chóp đáy chữ nhật.

• Base: Mặt đáy.

Kích thước (Dimensions)

• Dimension: Kích thước.

• Length (l): Chiều dài.

• Width (w): Chiều rộng.

• Height (h): Chiều cao.

• Radius (r): Bán kính.

• Diameter (d): Đường kính (d=2r).

• Area (A): Diện tích.

• Surface area: Diện tích toàn phần/diện tích bề mặt.

• Volume (V): Thể tích.

Thuật ngữ toán học khác

• Factor: Hệ số/tỉ lệ (ví dụ: "by a factor of 2" là gấp 2 lần).

• In terms of pi: Kết quả để dưới dạng có chứa số π (ví dụ: 144π).

• Cubic units (cm³, in³...): Đơn vị khối (đơn vị của thể tích).

• Square units (cm², in²...): Đơn vị vuông (đơn vị của diện tích)

Congruence, similarity, and angle relationships

• Congruence: Sự bằng nhau (cùng hình dạng và kích thước).

• Similarity: Sự đồng dạng (cùng hình dạng, khác kích thước)

• Alternate Interior Angles (Góc so le trong): Bằng nhau (hình chữ Z).

• Corresponding Angles (Góc đồng vị): Bằng nhau (hình chữ F).

• Consecutive Interior Angles (Góc trong cùng phía): Tổng bằng 180° (hình chữ U/C).

Phân loại theo Độ dài Cạnh (Side Lengths)

Phân loại theo số đo góc

Định lý Pytago & Bộ ba số Pytago

Trong một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a,b và cạnh huyền là c:

a2+b2=c2

Tỉ số lượng giác (SOH CAH TOA)

Đây là "chìa khóa" để tìm cạnh hoặc góc chưa biết:

• SOH: sin(θ)=Hypotenuse (Huyền)/Opposite (Đối)​

• CAH: cos(θ)=Hypotenuse (Huyền)/Adjacent (Kề)​

• TOA: tan(θ)=Adjacent (kề)/Opposite (Đối​)
  

Mối quan hệ giữa Sin và Cos của góc phụ nhau

Trong tam giác vuông, hai góc nhọn luôn phụ nhau (tổng bằng 90∘).

sin(x∘)=cos(90∘−x∘)

Ví dụ: sin(20∘)=cos(70∘).

Circle theorems

Mối quan hệ tỉ lệ (The "Golden" Ratio)

Đây là kiến thức quan trọng nhất. SAT thường cho bạn một giá trị (ví dụ: góc ở tâm) và yêu cầu tìm giá trị khác (ví dụ: độ dài cung). Hãy luôn nhớ công thức tỉ lệ thuận sau:

Unit circle trigonometry

Circle equations

2. Phương trình đường tròn dạng chuẩn (Standard Form)

Trong mặt phẳng tọa độ xy, phương trình đường tròn có tâm (h,k) và bán kính r là:

(x−h)2+(y−k)2=r2

• Nếu phương trình là (x−3)2⇒h=3.

• Nếu phương trình là (x+3)2⇒h=−3 (vì x−(−3)=x+3).