Untitled

KEUZEONDERWERPEN

Voortgezette integraalrekening

In dit keuzeonderwerp maak je kennis met enkele technieken om een primitieve te berekenen:

  • De substitutiemethode, deze hangt samen met de kettingregel.
  • Partieel integreren, deze hangt samen met de productregel.
  • Breuksplitsing en staartdeling, gebaseerd op het herschrijven van breuken.
  • Met behulp van de afgeleide van de functie $f(x) = ext{arctan}(x)$.

De substitutiemethode

  1. Differentieer:
    a. $f(x)=(5x²+4)³$
    b. $f(x)= ext{√}(3x²-1)$
    c. $f(x) = (1 + ext{√}x)³$
    d. $f(x) = ext{ln}(3x² + 2)$

  2. Gebruik de resultaten van opdracht 1 en primitiveer de volgende functies:
    a. $f(x) = x(5x²+4)²$
    b. $f(x)= rac{ ext{√}(3x²-1)}{(1+ ext{√}x)^{4}}$
    c. $f(x)= rac{x}{3x²+2}$

In een aantal gevallen is in de functie die je wilt primitiveren de vorm $g(f(x)) imes f'(x)$ te herkennen. Een primitieve is dan $G(f(x))$, waarbij $G$ een primitieve is van $g$.

Voorbeeld

Geef een primitieve van $h(x)$:

  • Oplossing:
    h(x)=(extln(x))2.h(x) = ( ext{ln}(x))². Neem $f(x) = ext{ln}(x)$. Dan is $f'(x) = rac{1}{x}$ en is $h(x) = (f(x))² imes f'(x)$. Dus $g(x) = x²$ met $G(x) = rac{1}{3}x^3$. Dan is $H(x) = ext{ln}^3(x)$.
  1. Primitiveer:
    a. $f(x) = 2 ext{sin}³(x) imes ext{cos}(x)$
    b. cimesf(x)=6extcos(x)2extsin(x)c imes f(x) = \frac{6 ext{cos}(x)}{2 ext{sin}(x)}
    c. dimesf(x)=e−x+6d imes f(x) = e^{-x} + 6

Integralen Berekeningen

Voorbeeld

Van sommige functies kun je een primitieve vinden door een geschikte substitutie $x = g(t)$ te kiezen, zodat je de dan ontstane functie kunt primitiveren.

Voorbeeld

Bereken $ rac{x}{ ext{√}(x+1)}dx$.

  • Oplossing:
    Kies $t = ext{√}(x + 1)$, dus $x = t^2 - 1$. Dan geldt:
    egin{align*}
    dx & = 2tdt \
    x=0 &
    ightarrow t = ext{√}(0+1) = 1 \
    x=3 &
    ightarrow t = ext{√}(3+1) = 2.
    ext{Het integratiegebied} &
    ightarrow 0
    ightarrow 3 = 1
    ightarrow 2.
    ext{De berekening van deze integraal kun je als volgt opschrijven:}

    (t² - 1) imes t imes 2t dt = ext{…}= 711 \
    otals.

    ext{…}

    \sqrt{x}\sqrt{x+1} dx = 0 o …

    ext{ Calculatie: }
    t^3/3 - …
    \end{align*}

Exacte integralen

Bereken exact de volgende integralen waarbij je de gegeven substitutie kunt gebruiken:
a.
4(x+1)2dx\frac{4}{(x + 1)^2} dx met $x + 1 = t$

b.
5ext√(3x+4)dx\frac{5}{ ext{√}(3x + 4)}dx met $ ext{√}(3x + 4) = t$.

Zelf een geschikte substitutie kiezen

Bereken exact:
a.
dx1x2ext√(5−x)dx \frac{1}{x^2 ext{√}(5 - x)}
b.
dx1x2ext√(1+x)dx \frac{1}{x^2 ext{√}(1+x)}

Staartdeling

In een aantal gevallen is de integrand een quotiënt van veeltermen. Als de graad van de teller groter dan of gelijk is aan de graad van de noemer, kun je een staartdeling uitvoeren.

Voorbeeld

Geef een primitieve van $f(x) = rac{2x^3 + 4x^2 + 12x}{x + 1}$.

Oplossing

Herschrijf de integrand door de deling uit te voeren: (2x3+4x2+12x)(x+1)=2x2+2x+10\frac{(2x^3 + 4x^2 + 12x)}{(x+1)} = 2x² + 2x + 10. Een primitieve is F(x)=16x3+x2+10x−10extln∣x+1∣F(x) = \frac{1}{6}x³ + x² + 10x - 10 ext{ln}|x + 1|.

Partieel Integreren

In deze opdracht ga je op zoek naar een primitieve van $f(x) = x imes ext{cos}(x)$, het product van $g(x) = x$ en $h(x) = ext{cos}(x)$.

Oplossing
  1. Ga na of $F_1(x)=x^2 ext{sin}(x)$ een primitieve van $f$ is.
  2. Differentieer $F2(x)=x + ext{sin}(x)$. Bereken $k(x)=f(x)-F2'(x)$. Door een primitieve van $k$ toe te voegen aan $F_2$, ontstaat een functie $F$ waarvoor geldt $F'(x)=f(x)$.
  3. Stel het functievoorschrift op van een primitieve van $f$. Dit lukt in één van de twee gevallen.
Voorbeeld 2

Bereken:
ext{Integrate}\, x. e^{2x}dx.$

Oplossing
  • g(x) = x, h'(x) = e^{2x}
Voorbeeld 3

Bereken:
ext{Integrate}\, x. ext{sin}(x)dx.$

Oplossing
  • g(x)=x,h′(x)=extsin(x)g(x)=x, h'(x)= ext{sin}(x)

Breuksplitsing

Soms kun je een integraal berekenen door een breuk in andere breuken te splitsen. Deze techniek heet breuksplitsing.

Voorbeeld

Bereken $ rac{1}{x^2 - 1} dx$
.

  • Oplossing:
  • 1(x−1)(x+1)=Ax−1+Bx+1\frac{1}{(x-1)(x+1)}= \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}
  • Stel Ax+Bx+A−B=1Ax + Bx + A - B = 1 en los op: A=12;B=−12A = \frac{1}{2}; B = -\frac{1}{2}.

Ellips

Gegeven is de ellips met vergelijking $x^2 + 4y^2 = 16$.

  • a. Geef het functievoorschrift voor het deel van de grafiek waarvoor $y
    e 0$.
  • b. Geef een integraal voor de oppervlakte van de ellips.
  • c. Bereken exact de oppervlakte van de ellips.