Statistika II - Neparametrické Testy

Parametrické vs. Neparametrické Metody

• Parametrické metody vyžadují předpoklad o parametrické rodině rozdělení.
• Neparametrické metody nevyžadují parametrické předpoklady o rozdělení dat.
• Rank testy a Permutační testy jsou neparametrické.

Uspořádaný Náhodný Výběr a Pořadí

• Náhodný výběr: Xi mají stejné rozdělení a jsou nezávislé.
• Uspořádaný náhodný výběr: X(1) ≤ X(2) ≤ · · · ≤ X(n).
• Pořadí Ri: pořadí Xi v uspořádaném výběru. Pro řešení shod se používá průměrné pořadí.

Znaménkový Test

• Testuje, zda medián ∼x = x0.
• Používá S+ (počet kladných diferencí Yi = Xi − x0).
• Pro malé n: H0 zamítnuta, pokud S+ ≤ kα nebo S+ ≥ n − kα.
• Asymptotická varianta: U = (2S+ - n) /
  sqrt{n}, H0 zamítnuta, pokud |U| ≥ u1−α/2.
• Vhodný pro zešikmená rozdělení, má nízkou sílu.

Párový Test

• Používá se pro závislé páry pozorování (V1, W1), . . . , (Vn, Wn).
• Počítají se rozdíly Xi = Wi − Vi a provede se jednovýběrový test.
• Testuje se hypotéza H0 : ∼w − ∼v = x0.

Wilcoxonův Test

• Testuje symetrii rozdělení kolem µ = x0.
• Počítají se diference Yi = Xi − x0, seřadí se podle absolutní hodnoty.
• T+ je součet pořadí kladných diferencí.
• H0 zamítnuta, pokud min{T+, T−} ≤ wα(n).
• Asymptotická varianta: U = (T+ - E(T+)) /
  sqrt{Var(T+)}, H0 zamítnuta, pokud |U| ≥ u1−α/2.

Mann-Whitney/Wilcoxonův Test (2-výběrový)

• Porovnává dvě nezávislé skupiny.
• H0: FX = FY, H1: FX ̸= FY (rozdílné mediány).
• Spojí se oba výběry, určí se pořadí, spočítají se součty pořadí T1, T2.
• Vypočítají se statistiky U1, U2, testová statistika UMW = min{U1, U2}.
• Asymptotická varianta: U = (UMW - E(UMW)) /
  sqrt{Var(UMW)}, H0 zamítnuta, pokud |U| ≥ u1−α/2.

Kruskal-Wallis Test

• Neparametrická analogie one-way ANOVA pro více než dvě skupiny.
• H0: F1 = F2 = · · · = Fa, H1: alespoň jedno Fi se liší.
• Vypočítá se testová statistika Q = (12 / (n(n+1))) *
  sum((Ti^2) / ni) - 3(n+1).
• H0 zamítnuta, pokud Q ≥ χ2 1−α(a − 1).

Median Test

• Testuje, zda mají dvě nebo více skupin stejný medián.
• Počítá se, kolik pozorování v každé skupině je nad mediánem spojeného vzorku.
• Test statistika $QM = 4 * sum((A<em>i^2) / n</em>i) - n$.
• H0 zamítnuta, pokud QM ≥ χ2 1−α(a − 1).

Van der Waerden Test

• Testuje stejnou hypotézu jako Kruskal-Wallis, ale používá kvantily N(0, 1) místo pořadí.

Permutační Testy

• Používají přesné rozdělení testové statistiky.
• Výpočetně náročné.
• Resampling bez nahrazování.
• P-hodnota se odhaduje pomocí permutací dat.
• Vyžadují zaměnitelnost pozorování.