Nested Radicals and Algebraic Identities

Rumus Dasar Aljabar dan Identitas

  • Tiga rumus identitas dasar aljabar yang digunakan dalam penyederhanaan bentuk kuadrat dan perkalian aljabar:
    • Kuadrat Penjumlahan: (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
    • Kuadrat Pengurangan: (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
    • Selisih Dua Kuadrat: a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

Bentuk Umum Penyederhanaan Akar Bersarang (Nested Radicals)

  • Bentuk umum penyederhanaan akar bersarang didasarkan pada identitas kuadrat:
    • (a+b)±2ab=a±b\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}, dengan syarat a>b≥0a > b \ge 0
  • Soal 12: Penyederhanaan 8+27\sqrt{8 + 2\sqrt{7}}
    • Cari dua bilangan yang jika dijumlahkan bernilai 88 dan jika dikalikan bernilai 77. Bilangan tersebut adalah 77 dan 11 (7+1=87 + 1 = 8 dan 7×1=77 \times 1 = 7).
    • 8+27=7+1=7+1\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} = \sqrt{7} + \sqrt{1} = \sqrt{7} + 1
  • Soal 13: Penyederhanaan 5−24\sqrt{5 - \sqrt{24}}
    • Ubah 24\sqrt{24} ke dalam bentuk 2k2\sqrt{k}: 24=4×6=26\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}.
    • Persamaan menjadi 5−26\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}.
    • Cari dua bilangan yang jika dijumlahkan bernilai 55 dan jika dikalikan bernilai 66. Bilangan tersebut adalah 33 dan 22 (3+2=53 + 2 = 5 dan 3×2=63 \times 2 = 6).
    • 5−26=3−2\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}
  • Soal 14: Penyederhanaan 13+160\sqrt{13 + \sqrt{160}}
    • Ubah 160\sqrt{160} ke dalam bentuk 2k2\sqrt{k}: 160=4×40=240\sqrt{160} = \sqrt{4 \times 40} = 2\sqrt{40}.
    • Persamaan menjadi 13+240\sqrt{13 + 2\sqrt{40}}.
    • Cari dua bilangan yang jika dijumlahkan bernilai 1313 dan jika dikalikan bernilai 4040. Bilangan tersebut adalah 88 dan 55 (8+5=138 + 5 = 13 dan 8×5=408 \times 5 = 40).
    • 13+240=8+5=22+5\sqrt{13 + 2\sqrt{40}} = \sqrt{8} + \sqrt{5} = 2\sqrt{2} + \sqrt{5}
  • Soal 15: Penyederhanaan 18−65\sqrt{18 - 6\sqrt{5}}
    • Ubah 656\sqrt{5} ke dalam bentuk 2k2\sqrt{k}: 65=2×35=232×5=2456\sqrt{5} = 2 \times 3\sqrt{5} = 2\sqrt{3^2 \times 5} = 2\sqrt{45}.
    • Persamaan menjadi 18−245\sqrt{18 - 2\sqrt{45}}.
    • Cari dua bilangan yang jika dijumlahkan bernilai 1818 dan jika dikalikan bernilai 4545. Bilangan tersebut adalah 1515 dan 33 (15+3=1815 + 3 = 18 dan 15×3=4515 \times 3 = 45).
    • 18−245=15−3=3(5−1)\sqrt{18 - 2\sqrt{45}} = \sqrt{15} - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{5} - 1)
  • Soal 16: Penyederhanaan 15+102\sqrt{15 + 10\sqrt{2}}
    • Ubah 10210\sqrt{2} ke dalam bentuk 2k2\sqrt{k}: 102=2×52=252×2=25010\sqrt{2} = 2 \times 5\sqrt{2} = 2\sqrt{5^2 \times 2} = 2\sqrt{50}.
    • Persamaan menjadi 15+250\sqrt{15 + 2\sqrt{50}}.
    • Cari dua bilangan yang jika dijumlahkan bernilai 1515 dan jika dikalikan bernilai 5050. Bilangan tersebut adalah 1010 dan 55 (10+5=1510 + 5 = 15 dan 10×5=5010 \times 5 = 50).
    • 15+250=10+5=5(2+1)\sqrt{15 + 2\sqrt{50}} = \sqrt{10} + \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{2} + 1)
  • Soal 17: Penyederhanaan Bentuk Pecahan Akar Bersarang 5−37+48\frac{5 - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{48}}
    • Sederhanakan penyebut terlebih dahulu: 7+48=7+212\sqrt{7} + \sqrt{48} = \sqrt{7 + 2\sqrt{12}}.
    • Dua bilangan yang jika dijumlahkan bernilai 77 dan dikalikan bernilai 1212 adalah 44 dan 33.
    • 7+212=4+3=2+3\sqrt{7 + 2\sqrt{12}} = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}.
    • Pecahan berubah menjadi: 5−32+3\frac{5 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}.

Evaluasi Nilai Bentuk Aljabar Kuadrat dan Rasionalisasi

  • Soal 18: Evaluasi Nilai p2−q2p^2 - q^2 dari Bentuk Akar
    • Diketahui nilai p=2+5p = 2 + \sqrt{5} dan q=2−5q = 2 - \sqrt{5}.
    • Tentukan nilai dari p2−q2p^2 - q^2.
    • Langkah 1: Gunakan identitas selisih dua kuadrat p2−q2=(p+q)(p−q)p^2 - q^2 = (p + q)(p - q).
    • Langkah 2: Hitung nilai penjumlahan (p+q)(p + q):
    • p+q=(2+5)+(2−5)=4p + q = (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) = 4
    • Langkah 3: Hitung nilai pengurangan (p−q)(p - q):
    • p−q=(2+5)−(2−5)=2+5−2+5=25p - q = (2 + \sqrt{5}) - (2 - \sqrt{5}) = 2 + \sqrt{5} - 2 + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}
    • Langkah 4: Kalikan kedua hasil tersebut untuk memperoleh nilai akhir:
    • p2−q2=(p+q)(p−q)=4×25=85p^2 - q^2 = (p + q)(p - q) = 4 \times 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}

Aplikasi Geometri: Permasalahan Tangga dan Dinding

Deret Teleskopik Akar Kuadrat

  • Soal 20: Penjumlahan Deret Rasionalisasi Akar
    • Bentuk Deret:
    • 11+2+12+3+13+4+⋯+148+49\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{48} + \sqrt{49}}
    • Metodologi Rasionalisasi Suku Umum 1n+n+1\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}:
    • Kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan n−n+1\sqrt{n} - \sqrt{n+1}:
    • 1n+n+1×n−n+1n−n+1=n−n+1n−(n+1)=n−n+1−1=n+1−n\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} \times \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{n - (n+1)} = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{-1} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}
    • Penjabaran Seluruh Suku Deret:
    • Suku ke-11: 2−1\sqrt{2} - \sqrt{1}
    • Suku ke-22: 3−2\sqrt{3} - \sqrt{2}
    • Suku ke-33: 4−3\sqrt{4} - \sqrt{3}
    • Suku ke-4848: 49−48\sqrt{49} - \sqrt{48}
    • Eliminasi Suku Saling Menghilangkan (Telescoping Sum):
    • S=(2−1)+(3−2)+(4−3)+⋯+(49−48)S = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{49} - \sqrt{48})
    • Semua suku tengah saling menghilangkan sehingga menyisakan suku awal dan suku akhir:
    • S=−1+49=−1+7=6S = -\sqrt{1} + \sqrt{49} = -1 + 7 = 6
    • Formulasi Alternatif Ringkas:
    • 1−49−1=1−7−1=−6−1=6\frac{\sqrt{1} - \sqrt{49}}{-1} = \frac{1 - 7}{-1} = \frac{-6}{-1} = 6

Rasionalisasi dan Penyederhanaan Ekspresi Bentuk Akar

  • Soal 21: Penyederhanaan Ekspresi Perkalian dan Pembagian Akar
    • Soal: Penyederhanaan dari bentuk (2+3)⋅4⋅(2−3)3+5\frac{(2 + \sqrt{3}) \cdot 4 \cdot (2 - \sqrt{3})}{3 + \sqrt{5}}
    • Langkah 1: Gunakan identitas (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 untuk menyederhanakan perkalian pembilang:
    • (2+3)(2−3)=22−(3)2=4−3=1(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1
    • Pembilang menjadi 1×4=41 \times 4 = 4
    • Langkah 2: Tuliskan pecahan yang telah disederhanakan pembilangnya:
    • 43+5\frac{4}{3 + \sqrt{5}}
    • Langkah 3: Rasionalisasikan penyebut pecahan dengan mengalikan sekawannya (3−5)(3 - \sqrt{5}):
    • 43+5×3−53−5=4(3−5)32−(5)2=4(3−5)9−5=4(3−5)4=3−5\frac{4}{3 + \sqrt{5}} \times \frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{4(3 - \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4(3 - \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{4(3 - \sqrt{5})}{4} = 3 - \sqrt{5}

Persamaan Akar Tak Hingga (Infinite Nested Radical)

  • Soal 22: Menentukan Nilai dari Persamaan Akar Bersarang Tak Hingga
    • Bentuk Persamaan:
    • 12+12+12+…=p\sqrt{12 + \sqrt{12 + \sqrt{12 + \dots}}} = p
    • Langkah 1: Kuadratkan kedua ruas persamaan untuk menghilangkan akar terluar:
    • (12+12+12+…)2=p2\left(\sqrt{12 + \sqrt{12 + \sqrt{12 + \dots}}}\right)^2 = p^2
    • 12+12+12+…=p212 + \sqrt{12 + \sqrt{12 + \dots}} = p^2
    • Langkah 2: Substitusikan pemisalan variabel awal pp ke dalam bentuk akar tak hingga yang tersisa:
    • 12+p=p212 + p = p^2
    • Langkah 3: Susun menjadi persamaan kuadrat dalam bentuk baku ap2+bp+c=0ap^2 + bp + c = 0:
    • p2−p−12=0p^2 - p - 12 = 0
    • Langkah 4: Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
    • (p−4)(p+3)=0(p - 4)(p + 3) = 0
    • Langkah 5: Tentukan akar-akar persamaan kuadratnya:
    • p−4=0⇒p=4p - 4 = 0 \Rightarrow p = 4
    • p+3=0⇒p=−3p + 3 = 0 \Rightarrow p = -3
    • Langkah 6: Pemilihan nilai yang valid:
    • Nilai dari bentuk akar utama (principal square root) selalu non-negatif (p≥0p \ge 0).
    • Oleh karena itu, nilai p=−3p = -3 tidak memenuhi (ditolak).
    • Solusi akhir yang memenuhi adalah p=4p = 4.