Mathe Abitur 2024 Notes

Zufallsexperiment

• Ein Versuch, dessen Ergebnis nicht vorhergesehen werden kann.
• Wird ein Versuch mehrmals hintereinander ausgeführt = mehrstufiges Zufallsexperiment.

Ergebnismenge

Ereignis

• Die Menge aller gewünschten Ereignisse, z.B. ungerade würfeln $E={1;3;5}=3$ Ergebnisse

Absolute Häufigkeit

• Die Anzahl, mit der ein bestimmtes Ereignis nach $n$-maligem Würfel aufgetreten ist.
• Z.B. Bei 20-maligem Würfeln 4 mal 6 gewürfelt, absolute Häufigkeit der 6 ist 4.
• $\frac{Absolute \space Häufigkeit}{Gesamtheit \space der \space Würfe}$

Laplace Experiment

• Ein Zufallsexperiment, bei dem jedes der möglichen Ereignisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit erscheint.
• Z.B. Würfeln mit 6 gleichgroßen Seiten, Münze mit zwei gleichschweren Seiten…

Relative Häufigkeit

Arithmetisches Mittel

• Durchschnitt von allen Ereignissen
• $\frac{(Alle \space Ergebnisse \space addieren)}{Anzahl \space der \space Ergebnisse}$

Median

• Mittleres Ergebnis
• Bei einer Rangliste die mittlere Zahl
• Bei gerader Anzahl an Ergebnissen: $\frac{(Nachbarzahlen \space addieren)}{ 2}$

Urliste

• Aufzählung aller gegebenen Daten in gegebener Reihenfolge (durcheinander)

Rangliste

• Aufzählung aller gegebenen Daten sortiert von klein nach groß

Baumdiagramme

Produktregel

• Entlang des Pfades multiplizieren

Summenregel

• Alle Enden der Pfade zusammen: 100%
• -1.Stufe: 100%
• -2.Stufe(je Pfad):100%

4-Felder-Tafel

• $AB+AB+AB+AB=100\%$
• $Summe \space B+Summe \space B=100\%$
• $Summe \space A+Summe \space A=100\%$

Laplace Regel

• $p (E) = \frac{Anzahl \space der \space zum \space Ereignis \space gehörenden \space Ergebnisse \space (günstige \space Ergebnisse)}{Anzahl \space aller \space möglichen \space Ergebnisse \space des \space Zufallsversuchs}$

Zufallsgrosse X

• Eine Zuordnung X, die jedem Ergebnis eines ZE eine reele Zahl zuordnet, wird als Zufallsgröße bezeichnet.
• z.B. (1) X= Gewinn oder Verlust, (2) X= Anzahl der Treffer
• hier: X:,,Anzahl der roten Kugeln“
• Y:,, Anzahl der blauen Kugeln“
• a) P(X=2)=..
• b) P(Y=2)=P(X=0)=..=
• c) P(X=1)=P(Y=1)=..=

Stochastik Beispielaufgabe

• Zufallsexperiment(ZE): Ziehen aus einer Urne mit 6 x rot; 2 x blau
• $n=8$
• ZoZ = ,,ziehen ohne zurücklegen"
• 2-maliges Ziehen=>2-stufiges ZE
• Ergebnisse des ZE: rr; rb; br; bb
• bzw. Ergebnismenge: ={rr; rb; br; bb}
• b) B: ,,kein rot“ bzw. ,,2 x blau“
• c) ,,jeweils 1 x rot & 1 x blau“
• d. h. 2 Ergebnisse gehören zum Ereignis!

Gegenereignis

• $p(E)=1 - p(\bar{E})$
• Das Gegenereignis E beinhaltet alle Ergebnisse eines Experiments, die nicht in E enthalten sind
• $P(rr) = \frac{8}{8} . E = ~ … \%$
• $P(B) = P(bb) = \frac{8}{8} . E =$

Bedingte Wahrscheinlichkeit

• $P_A (B)$ ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B, wenn man weiß, dass A eingetreten ist.
• Es gilt: $P_A(B)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
• Bzw. $P_B (A)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
• P_\bar{A} (F)= \frac{P(F \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}
• Beispiel:
• Zwei Ereignisse A,B mit P(A)>0 und P(B)>0 heißen unabhängig, wenn gilt: $P(A \cap B)=P(A) P(B)$

Stochastische Unabhangigkeit

• Es gilt: zwei Ereignisse E und F sind genau dann unabhängig voneinander, wenn gilt:
• $P_E (F)= P(F)$
• $P(E \cap F)=P(E) P(F)$
• Andernfalls sind E und F voneinander abhängig (bedingen einander)
• Es gilt: $P_E (F) = P(F)$

Erwartungswert

• $Erwartungswert: = 2 * \frac{1}{36} + 3 * \frac{1}{13} +4 * \frac{3}{12} +5 = \frac{7}{12}$
• $= \sum X<em>i P(X</em>i)$
• Wenn der Erwartungswert =0 ist, ist das Spiel fair. (0€ Einsatz)
• Bei 7€ Einsatz=Erwartungswert:7
• Man muss den Einzahlungswert mit dem Einsatz verrechnen, um Gewinn zu machen
• Empirisch (Statistik) characterized durch $x$ und $s$
• Theoretisch (Stochastik)
• Prognosen zu empirischen Kenngrößen $x$ und $s$
• characterized durch Erwartungswert $µ$ und theoret. Standardabweichung
• beschreibt Streuung der W‘keitsverteilung um den Erwartungswert
• Kenngrossen
• Stochastische (Un-)Abhangigkeit d.h. E ist vorher schon eingetreten!

Varianz

• $Var(X)= \sum (x<em>i -µ)^2 p</em>i = (x<em>1 -µ)^2 p</em>1 + …+(x<em>n -µ)^2 p</em>n$

Standardabweichung

• $σ(X)=\sqrt{Var(x)}=\sqrt{n p (1-p)}$
• oder: $Var=n p (1 - p)$

Hypothesentests

Einseitiger Signifikanztest

Linksseitiger Test

• $H<em>1 :p > p</em>0$

Rechtsseitiger Test

• $H<em>1 :p < p</em>0$

1. Zufallsgröße X und Nullhypothese H0 festlegen
2. Welche Art von Test (linksseitig/rechtsseitig)
3. Annahme-/Ablehnungsbereich bestimmen

• >InversBinomial( n , p , α)
• >linksseitig :
• >rechtsseitig: 100%-α

1. Überprüfen, ob angegebener Wert im Annahmebereich liegt

• >Ja? Hypothese wird bestätigt
• >Nein? Hypothese wird verworfen

1. Ggf. Irrtumswahrscheinlichkeit berechnen

Beispiel:

• $n=100$ $p=70\%$ $α=5\%$

1. $H_0 : p =0,7$
2. linksseitiger Test H_1 : p <0,7
3. $\text{A}= [ a ; 100]$

• $P(X< a)> 5\%$
• CAS: InversBinomial(100 , 0,7 , 0,05) => a=62
• A=[62 ; 100]
• A=[0 ; 61]

1. Angegebener Wert: 78

• stimmt, da 78 im Annahmebereich liegt
• $n=100$ $p=70\%$ $α=5\%$

1. rechtsseitiger TestH_1 : p >0,7
2. A= [0 ; b]

• $P(X< b)>95\%$
• CAS: InversBinomial(100 , 0,7 , 0,95)
• =>b=77
• A=[0 ; 77]
• A=[78 ; 100]

1. Angegebener Wert: 78

• stimmt nicht, da 78 im Ablehnungsbereich liegt
• Hypothese wird verworfen

1. P(A)=P(X<61) 0,034

• CAS: Binomial(100 , 0,7 , 0…61)
• P(A)=P(X>78) 0,048
• CAS: Binomial(100 , 0,7 , 78…100)

Zweiseitiger Hypothesentest

1. Zufallsgröße X und Nullhypothese H0 festlegen
2. Signifikanzniveau halbieren (für oberen und unteren Ablehnungsbereich)
3. Annahme-/Ablehnungsbereiche berechnen

• >CAS: InversBinomial(n , p , α)
• >a : α
• >b : 100%-α

1. Überprüfen, ob angegebener Wert im Annahmebereich liegt

• >Ja? Hypothese trifft zu
• >Nein? Hypothese wird verworfen

1. Ggf. Irrtumsw‘keit berechnen

• >Binomial(n , p , 0…(a-1))+ Binomial(n , p , (b+1)…n)

Beispiel:

1. $H_0 : p = 0,15$

• Gegenhypothese: $H_1 : p= p0$
• Nullhypothese:

1. $α = 5\%$ => $\frac{α}{2} =2,5\%$

• $P(X< a)>0,025= 2,5\%$
• $P(X< b)>0,975= 97,5\%$

1. InversBinomial(100 , 0,15 , 0,025)=> a=8

• InversBinomial(100 , 0,15 , 0,975)=> b=22
• X=Anzahl der Käufer n=100 p=15% α=5%

1. A=[8 ; 22]

• A=[0 ; 7] [23 ; 100]

1. Angegebener Wert: 22 Die Hypothese kann bestätigt werden, weil der Wert im Annahmebereich liegt.
   • Das Signifikanzniveau ist die maximale Irrtumsw‘keit (z.B. α=5% oder α=1%).
   • Sie ist die Höchstw‘keit, die Hypothese zu verwerfen, obwohl sie zutrifft/richtig ist, sie ist die W‘keit des Ablehnungsbereiches.
2. $P(A)=P(X<7)+ P(X>23) ≤ 0,0122 ≤ 0,05$

• beträgt höchstens 5%, da α=5%

Fehler bei Hypothesentests

Fehler 1. Art (Irrtumsw‘keit)

• -eine richtige Hypothese wird fälschlicherweise verworfen!
• P(A)=P(X>59)
• A=[59;100] mit n=100
• $H_0 : p=0,5$
• P(A)=P(X <58) mit $p_1= 0,7$ A=[0;58]

Fehler 2. Art

• -eine falsche Hypothese wird fälschlicherweise angenommen

Binomialverteilung

• n=10 p=0,6
• µ=10 0,6 = 6
• $µ=n p$ $\sqrt{10 *0,6 * (1-0,6)} ≈ 1,55$
• 1 -Intervall: $µ- σ =4,45$ ; $µ + σ=7,55$
• 2 -Intervall: $µ-2σ=2,9$; $µ + 2σ =9,1$
• 3 -Intervall: $µ-3σ =1,35$; $µ + 3σ =10,65$
• I = [5 ; 7]
• I = [3 ; 9]
• I = [2 ; 10]
• P (5 < X < 7) 0,666
• P (3 < X < 9) 0,982
• P (2 < X < 10) 0,998

Vorgehensweise:

1. Erwartungswert µ berechnen
2. Standardabweichung berechnen
3. Sigmaintervall bestimmen

• $µ- σ= a$; $µ + σ= b$
• I = [µ- σ ; µ+σ]

1. Wahrscheinlichkeiten der Sigmaintervalle berechnen

• P(a < X < b)=
• CAS: Binomial(n , p , a…b)
• CAS: Binomial(10 , 0,6 , 5…7)

Beispiel:

• Erwartungswert
• Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n und p(Erfolgsw'keit) => q (Misserfolgsw'keit)
• X= Anz. der Treffer
• Erwartungswert µ(x) gibt die im Mittel zu erwartende Anzahl an Treffern an
• µ(x)ist keine W'keit ! mit µ = µ(x)= n p im Histogramm (Säulendiagramm) kann man den Enwartungswert ablesen (s. höchste Säule)
• als sinnvollste Abweichung vom Erwartungswert

Standardabweichung Sigma-Regeln

• ,,Gib die W‘keit davon an, für entweder 1, 2 oder 3. “
• Lösung:
• P(1)+P(2)+P(3) >ablesen+berechnen

CAS-Befehle

• Binomialkoeffizient: nCr(n , k)
• W‘keit für genau k Treffer: Binomial (n , p , {k})
• kumulierte W‘keit von 0 bis k: Binomial (n , p , 0…k)
• Zwischenw‘keit: Binomial (n , p , 3…10)

Sigma-Regeln

• P(µ - σ < X < µ + σ) ≈ 68,3\%
• P(µ - 2σ < X < µ + 2σ ) ≈ 95,4\%
• P(µ - 3σ < X < µ + 3σ ) ≈ 99,7\%
• P(µ - 1,64 σ < X < µ + 1,64 σ ) ≈ 90\%
• P(µ - 1,96 σ < X < µ + 1,96 σ ) ≈ 95\%
• P(µ - 2,58 σ < X < µ + 2,58 σ ) ≈ 99\%
• In Intervall hinein runden!

Bernoulli-Experimente

• Bernoulli-Experimente sind ZE bei denen es genau 2 Ausgänge gibt: Erfolg; Misserfolg !

Bernoulli-Formel

• >als besondere W‘keitsverteilung
• z.B. 6-maliges Würfeln (6 als Erfolg)
• Erfolgsw‘keit: p=
• Misserfolgsw‘keit: q=
• =>P(X=2)= \frac{15}{…}
• Die Anzahl der Pfade kann man z.B. m.H.d. Pascal‘schen Dreiecks bestimmen ist der sogenannte Binomialkoeffizient, mit dem man die Anzahl der Pfade berechnet für k Treffer
• p(X=k)= ( nk ) p^k q^(n -k) genau k Erfolge mit q=1-p
• Anzahl der Pfade
• k=Anzahl der Erfolge
• n= Anzahl der Durchführungen/Länge der Bernoulli-Kette
• p= Erfolgswahrscheinlichkeit
• q=1-p Misserfolgsw´keit

Geogebra:

• nCr(n, k) Binomialkoeffizient ohne Taschenrechner
• $3! = 3 * 2 * 1= 6$
• $n! = n (n-1) (n-2)…$
• Es gilt:

Mindestens-Mindestens-mindestens-Aufgaben

• gesucht sind der Parameter p und der Parameter n

Beispiel: Farbblindheit

• gesucht: In einem Land sind 4% der männlichen Bevölkerung farbenblind. Wie groß muss eine Gruppe von Männern im Land mind. Sein, damit zu mindestens 90%, mindestens einer aus der Gruppe farbenblind ist?
• >n ist gesucht p=0,04 k>1
• P(X > 1)> 0,9
• 1- P(X=0) > 0,9
• 1- (0,04) 0,96^n > 0,9
• 1- 0,96^n > 0,9 |-1
• -0,96^n >-0,1 |:(-1)
• 0,96^n < 0,1 |log
• $n=\frac{log(0,1)}{log(0,96)} ≈ 56,41$
• =>A: mind. 57 Männern

CAS:

• Löse(1-Binomial(n, 0,04 , {0})>0,9) n=56,40… mind. 57 Männer
• Binomialverteilung ii x= Anzahl der Farbblinden anderes Bsp.: p gesucht: Löse(1-Binomial(100, p , 0…3)>0,5)

Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen

• Änderung von p bei festem n größeres p: Verteilung wandert nach rechts >Erwartungswert wird größer
• Änderung von n bei festem p größeres n: Erwartungswert, Streuung größer Verteilung wird breiter, flacher

Histogramme

• Zur Darstellung einer Binomialverteilung B
• Die Höhe der jeweiligen Säule gibt die W‘keit für X=k (Treffer) an. Die Breite der Säulen beträgt je 1!
• Es gilt: $P(X=0) + …+P(X=n) = 1 = 100\%$ => Flächeninhalt der Säulen insgesamt= 1 !
• Histogramm:,, Hier geht es um die Fläche“ Annäherung durch Kurve, also durch einen Fkt.graphen der sogenannten Glockenfunktion
• und zugehöriger Integralfunktion =>HP bestimmen ->Erwartungswert µ und zugehörige W‘keit =>WP bestimmen->Wendestellen ergeben die Breite der Glockenkurve (µ- σ; µ+σ)

Normalverteilung

• Einfluss von σ und µ
• Erwartungswert µ: legt fest, an welcher Stelle die Normalverteilung ihr Maximum hat »µ verschiebt die Normalverteilung entlang der x-Achse

1. Erwartungswert µ=x-Wert vom HP
2. Standardabweichung σ=Wendestellen
3. symmetrische zur Senkrechten durch HP
4. stetig (alle reellen Zahlen)
5. keine Einzelwahrscheinlichkeiten (nur Intervallw‘keiten)

Binomialverteilung

1. Erwartungswert µ=n p
2. Standardabweichung σ= √n p (1-p)
3. asymmetrisch
4. diskret (nur gerade Zahlen)
5. Einzelwahrscheinlichkeiten P(x=2)=0,2

• diskrete Zufallsgröße= kann nur gerade Werte annehmen »z.B. Würfel, Münzwurf, Personenanzahl
• stetige Zufallsgröße= kann beliebige reele Zahlenbereiche annehmen »z.B. Körpergröße, Gewicht, Dauer Standardabweichung σ: bestimmt Form der Normalverteilung »je kleiner σ ist, desto steiler ist die Funktion »je größer σ ist, desto flacher ist die Funktion
• Veranderung des Erwartungswertes µ: Veranderung der Standardabweichung σ:

Diskrete und stetige Zufallsgroßen Vergleich

• Eigenschaften-Gauß‘sche glockenfunktion:

1. Erwartungswert: µ=0
2. Standardabweichung: σ=1
3. Maximum: µ (x=0)
4. Wendestelle: x =1 v x =-1
5. symmetrisch zur y-Achse
6. Definitionsmenge: lR »stetig
7. die Fläche ist die Wahrscheinlichkeit (x)= ist eine Stammfunktion zu
   Maximum an der Stelle µ=n p (Erwartungswert)

• Wendestellen bei µ± σ= µ ± √ n p q = n p ± √ n p (1-p) Stetigkeitskorrektur »die Vergrößerung des Integrationsintervalls um 0,5 Gauß‘sche Glockenfunktion Integral über die Gauß’sche

• Glockenfunktion

• Einzelwahrscheinlichkeit: P(X=k)= 0 Standard-Glockenfunktion CAS: Normal( µ , σ , k) P(120 < x < 140) 0,4545 CAS: Normal(120 , 10 , 139,5) - Normal(120 , 10 , 120,5) P(x >130) = 1-P(x < 130) 0,1711 P(130=x) 0,0242 CAS:1- Normal(120 , 10 , 129,5) CAS: Normal(120 , 10 , 130,5) -Normal(120 , 10 , 129,5) Beispiele: Satz von Moivre-Laplace $P(X=k)= B_ (k) \xrightarrow[n \to \infty]{} Normalverteilung$ dient als Wahrscheinlichkeitsdichte stetiger Zufallsgrößen stetig=nicht nur ganzzahlige Werte, wie bei der Binomialrechnung Verteilungsfunktion oder Gauß‘sche

• Integralfunktion ,,bestimme das untere Quartil“ µ=0,62 σ=0,07 CAS: InversNormal(0.62 , 0.07, 0.25)

• Wendestelle sa Funktionswert Funktion

Mengenlehre

• (alle Ergebnisse, die zu E und F gehören) (Ergebnisse, die in E oder liegen)
  Es gilt: $P(E \cup F) = P(E)+ P(F)-P(E \cap F)$
  Scnnittmenge in E & F doppelt enthalten
• Ereignismenge E& Gegenereignismenge E
• Es gilt: $P(E)= 1 -P(\bar{E})$
• E und F sind hier disjunkte Mengen (keine gemeinsamen Ergebnisse)
• => $P(E \cap F)= P(E)+ P(F)$

Allgemeines

1. Vereinigungsmenge: E ∪ f
2. Komplementärereignis
3. Vereiningungsereignis
4. Durchschnittsereignis
5. Zahlenmengen (,,Teilmenge von“) (,,enthalten in“)

• => N c Z
• Teilmenge

1. Erwartungswert: Mittel({Variablenwerte mit Komma trennen},{zugehörige Wkeiten})
2. Standardabweichung: stdevp({Variablenwerte mit Komma trennen},{zugehörige Wkeiten})
3. Binomialkoeffizient: nCr(n,k)
4. Binomialverteilung: P(X=k): Binomial(n, p, {k})
5. P(X<k): Binomial(n, p, k, {0,…k}) oder Binomial(n, p, k, 0…k)

Vektorrechnung i

Allgemeines

1. Koordinatenebenen

• In der $x<em>1x</em>2$-Ebene, wenn $x_3 =0$ ist
• In der $x<em>1x</em>3$-Ebene, wenn $x_2 =0$ ist
• In der $x<em>2x</em>3$-Ebene, wenn $x_1 =0$ ist

Spiegelung

• an der KO-Ebene z.B. an der $x<em>1x</em>2$-Ebene x3 -Koordinate ändert das Vorzeichen
• Vektor Gegenvektor
• a -a
• Nullvektor: Der Vektor der Länge 0 heißt Nullvektor 0 und besitzt keine Richtung und Orientierung.
• Gegenvektor: Der Vektor, der mit a in Länge und Richtung übereinstimmt, aber eine entgegengesetzte Orientierung hat, heißt Gegenvektor zu a : -a
• Ortsvektor: Der Vektor , mit dem man vom Ausgangspunkt O (0l0) zum Endpunkt A (2l2) gelangt, heißt Ortsvektor $\vec{OA}$= zum Punkt A
• Arten von Vektoren
  Koordinatenweise addieren

Definition (geometrisch)

• Die Menge aller Pfeile, die in Länge, Richtung (parallel) und Orientierung (Pfeilspitze) übereinstimmen, heißt Vektor.
• Ein Vektor kann durch unendlich viele Pfeile angegeben werden, die von einem Ausgangspunkt zu einem Zielpunkt führen.Man benötigt aber lediglich einen Repräsentanten.
• Allgemein gilt mit A (a1 l a2 l a3 ) und B ( b1 l b2 l b3 )
• $\vec{AB} = = \vec{OB} -\vec{OA}$ „hinten minus vorne“

Rechnen mit Vektoren

1. Vektoraddition
2. Die Vektoren werden „aneinander gehängt. “ Der Summenvektor läuft vom Anfangspunkt von a zum Endpunkt von b

• Es gilt: a + b

1. Vektorsubtraktion

• Der Differenzvektor verläuft vom Ende von b zum Ende von a bzw. Vom Anfang von -b zum Ende von a a - b = -b + a

1. Skalar- Multiplikation (Multiplikation mit dem Faktor r ∈ lR)

• Es gilt: r a = r*
• Der Vektor a wird hier mit r=3 vervielfacht.
• Multipliziert man einen Vektor mit einem Skalar (mit r ∈ lR), so erhält man einen Vektor, der in Richtung und Orientierung übereinstimmt, oder r-mal so lang ist.
• Koeffizienten Linearkombination Eine Summe bzw. Differenz von Vielfachen von Vektoren nennt man Linearkombination z.B. r a + s b + t c
• 2 a + 4 c b - 3c etc.

1. Rechengesetze
   1. Kommutativgesetz
      • a + b = b + a
   2. Assoziativgesetz
      • a + (b + c) =(a + b) + c
   3. Kommutativgesetz
      • r (s a) =(r s) a
   4. Assoziativgesetz
      • r (a + b)= r a + r b; (r + s) a= r a + s a

Vektorrechnung ii

• Anwendungen des Vektorprodukts Flächeninhalt eines Parallelogramms
• A=g h A = a x b Flächeninhalt eines Dreiecks
• $A = \frac{1}{2} A_{par}$ = $\frac{1}{2} |\vec{AB} x \vec{AC} |$
• Volumen einer Pyramide ( eines Spats) Volumen eines Spats V= G h wobei G= A = a x b

Allgemeines

1. Mittelpunkt einer Strecke A (2 l 1 l -2) ; B(-5 l 1 l 9) AB = OB - OA = OM = OA + $\frac{1}{2} AB = = M (-1,5 l 1 l 3,5)$ oder: M = $\frac{1}{2} (OA + OB)$ ,,Laufe Vektor OA und $\frac{1}{2} AB$ zu M“! OM = OA + $\frac{1}{2} AB =OA + \frac{1}{2} (OB -OA) =OA + \frac{1}{2} OB - \frac{1}{2} OA = \frac{1}{2} OA + \frac{1}{2} OB = \frac{1}{2} (OA + OB)$ M (-1,5 l 1 l 3,5) OM = OA + $\frac{1}{2} AB$ geometrisch: $OM = \frac{1}{2} (OA + OB)$
2. Formeln Einheitsvektor Der Vektor $\vec{a_0}$ heißt Einheitsvektor zum Vektor $\vec{a}$, wenn | a |= 1 und a und a dieselbe Richtung haben.

Ebenenformen

1. Parameterdarstellung

• $\vec{E}: x = p + r v + s w$

1. Normalengleichung

• $(x - p) n=0$ (bzw. $x n - p n=0$)
• $n= v x w$ als Normalenvektor von E
  Vielfaches der Länge von n

1. Koordinatengleichung

• $x n = p n n<em>1 x</em>1 + n<em>2 x</em>2 + n<em>3 x</em>3 = d$ mit p= OP und p c E

1. Hesse‘sche Normalenform ges. d (R; E) = | RF|=t

Koordinatengleichung Aufstellen mit 3 Punkten

• $E: a x<em>1 + b x</em>2 + c x_3 = d$

1. Die Punkte A, B, C jeweils für x einsetzen > die Zahl d= 0 ist frei wählbar
2. LGS lösen
3. Normalenvektor berechnen

• n =RV1 x RV2 Kreuzprodukt lE: x = +r + s Kreuzprodukt/Vektorprodukt

1. Vektor 1 zweimal untereinander schreiben
2. Vektor 2 ebenfalls zweimal untereinander schreiben (rechts daneben, bündig mit der anderen Reihe)
3. Obersten und untersten Zahlen wegstreichen
4. Über Kreuz multiplizieren d = n SV Koordinatengleichung aufstellen
5. d berechnen Parameterform in Koordinatenform

Normalengleichung, Koordinatengleichung aufstellen:

• Eine Ebene durch P( 4 l 1 l 3 ) hat den Normalenvektor n=
• p=OP und n in (x - p) n=0 einsetzen > $\vec{E}: 2x<em>1 - x</em>2 + 5x_3 = d$
• d berechnen: für $x<em>1 , x</em>2 , x_3$ die Koordinaten des Punktes P( 4 l 1 l 3 ) einsetzen > d= 2 4 - 1 1 + 5 3 = 22
• >> $$\vec{E}: 2x - x_2 + 5