Chapitre 1 : Suites et Séries de Fonctions

Chapitre 1: Séries de Fonctions

Ce chapitre porte sur la convergence des suites de fonctions, en commençant par la convergence simple et en progressant vers des notions plus fortes comme la convergence uniforme et normale.

Introduction

• Convergence Simple : Une suite de fonctions $(fn)$ définies sur un intervalle $I ⊂ R$ converge simplement vers une fonction $f$ si pour tout $x ∈ I$, la suite $(fn(x))$ converge vers $f(x)$.

  L'espace d'arrivée est généralement $\R$ ou $\mathbb{C}$, ou un espace vectoriel normé de dimension finie sur $\R$, comme $M_n(\mathbb{C})$.

• Convergence Uniforme : Pour préserver les propriétés de régularité, on introduit la convergence uniforme : $f_n$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ si $\sup_{x∈I} |f_n(x) − f(x)| → 0$. Si on travaille dans un espace vectoriel normé, le module est remplacé par une norme. Une limite uniforme de fonctions continues est continue.

• Théorème de Weierstrass : Toute fonction continue sur un intervalle compact $I$ est une limite uniforme sur $I$ de fonctions polynomiales.

• Pour les suites de fonctions $f_n$ de classe $C^1$, le caractère $C^1$ est préservé si les $f_n$ et leurs dérivées convergent uniformément.

• Pour préserver le caractère $C^k$, il faut que les suites de dérivées $(f_n^{(j)})$ convergent uniformément pour tout $0 ≤ j ≤ k$.

• Dans le cadre des séries de fonctions, on gagne la notion de convergence normale, plus forte que la convergence uniforme et sans équivalent pour les suites. Cette convergence permet de ramener l'étude de la convergence uniforme d'une série de fonctions à celle d'une série de réels positifs.

• Transformation d'Abel : Si la convergence normale ne s'applique pas, on peut utiliser une transformation d'Abel à paramètre pour montrer la convergence uniforme.

• La question centrale est : Est-ce que $\lim \int f_n = \int \lim f_n$ ? La réponse est négative pour la convergence simple mais positive si la convergence est uniforme sur un intervalle compact $([a, b])$.

I. Suites de Fonctions

• $I$ désigne une partie de $\R$. $(f_n)_{n ∈ N}$ est une suite de fonctions sur $I$, i.e., pour chaque $n$, $f_n : I → \mathbb{C}$.

1. Convergence Simple

• Définition : La suite $(f_n)_{n∈N}$ converge simplement sur $I$ si pour chaque $x ∈ I$, la suite $(f_n(x))_{n≥0}$ converge.

• $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$ si pour chaque $x ∈ I$, $f_n(x) → f(x)$ quand $n → +∞$. Avec des quantificateurs : ∀ x ∈ I, ∀ ε > 0, ∃ n_0 ∈ N, ∀ n ≥ n_0, |f_n(x) − f(x)| < ε. Ici, $n0$ dépend de $x$ et de $ε$.

• Propriétés élémentaires : si $(f_n)$ et $(g_n)$ convergent simplement vers $f$ et $g$ sur $I$ et $λ ∈ \mathbb{C}$, alors $f_n + g_n$ (resp. $λf_n$) converge simplement vers $f + g$ (resp. $λf$) sur $I$.

• Exemples :

  • $f_n : x ∈ \R \mapsto x^n ∈ \R$ converge simplement vers la fonction nulle sur $\R$.

  • $f_n : x ∈ \R \mapsto (1 + \frac{x}{n})^n ∈ \R$ converge simplement vers l'exponentielle $x ∈ \R \mapsto e^x ∈ \R$ sur $\R$.

  • $f_n : x ∈]0, 1[ \mapsto \min(n, 1/x) ∈ \R$ converge simplement sur l'intervalle $]0, 1[$ vers $f : x ∈]0, 1[\mapsto 1/x ∈ \R$.

• Une limite simple de fonctions bornées n'est pas nécessairement bornée.

• Exemple :

  • Considérons la suite définie sur $[0, 1]$ et pour $n ≥ 1$ par $f_n(x) = x^n$. Alors $\lim_{n→∞} f_n(x) = 0$ si $x ∈ [0, 1[$, et $\lim_{n→∞} f_n(1) = 1$. Autrement dit, $(f_n)_{n≥1}$ converge simplement vers $f$ sur $[0, 1]$ où

  $f(x) = \begin{cases} 0 &amp; \text{si } x ∈ [0, 1[ \\ 1 &amp; \text{si } x = 1 \end{cases}$. Cet exemple montre qu'une limite simple de fonctions continues n'est pas nécessairement continue.

• Pour préserver le caractère borné ou la continuité, on envisage une notion plus forte de convergence.

2 Convergence Uniforme

• Si une fonction $g : I → \mathbb{C}$ est bornée (en particulier si $g$ est continue et $I = [a, b]$), on définit $\lVert g \rVert∞ = \sup_{I} |g(x)|$.

• Définition : La suite $(f_n)_{n≥0}$ converge uniformément sur $I$ vers $f$ si $\lVert f_n − f \rVert_∞ → 0$ quand $n → +∞$.

• Cela sous-entend que pour chaque $n$, la fonction $f_n − f$ est bornée sur $I$.

  En termes de quantificateurs : ∀ ε > 0, ∃ n_0 ∈ \mathbb{N}, ∀ n ≥ n_0, \lVert f_n − f \rVert_∞ < ε et ∀ ε > 0, ∃ n_0 ∈ \mathbb{N}, ∀ n ≥ n_0, ∀ x ∈ I, |f_n(x) − f(x)| < ε, où $n_0$ ne dépend que de $ε$ et pas de $x$.

• Exemples :

  • $f_n : x ∈ [0, 1] \mapsto x^n(1 − x) ∈ \R$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $[0, 1]$. En effet, $\sup_{[0,1]} |f_n| = f_n(\frac{n}{n + 1}) = \frac{1}{n + 1} (1 − \frac{1}{n})^n → 0$.

  • $g_n : x ∈ [0, 1] \mapsto nx^n(1−x) ∈ \R$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0, 1]$, mais pas uniformément puisque $\sup_{[0,1]} |gn| = gn(\frac{n}{n + 1}) = \frac{n}{n + 1} (1 − \frac{1}{n})^n → e^{−1}$.

• Proposition : Si $(f_n)_{n∈N}$ et $(g_n)_{n∈N}$ convergent uniformément sur $I$, respectivement vers $f$ et $g$, alors pour tout $λ ∈ \mathbb{C}$, $(λf_n + g_n)_{n∈N}$ converge uniformément sur $I$ vers $λf + g$.

• Proposition : La convergence uniforme implique la convergence simple.

• Théorème : Si $(f_n)_{n∈N}$ est une suite de fonctions continues sur $I$ qui converge uniformément sur $I$ vers une fonction $f$, alors $f$ est continue. Autrement dit, une limite uniforme de fonctions continues est une fonction continue.

• Ce théorème peut s'interpréter comme un résultat de permutation de limite :

  $\lim_{x→x0} (\lim_{n→∞} f_n(x)) = \lim_{x→x0} f(x) = f(x_0) = \lim_{n→∞} f_n(x0) = \lim_{n→∞} (\lim_{x→x0} f_n(x))$ .

• Théorème : Soit $(f_n)_{n≥0}$ une suite de fonctions $C^1$ sur $I = [a, b]$ telle que :

  1. la suite $(f'_n)_{n∈N}$ converge uniformément sur $I$ vers une fonction $g$ ;

  2. il existe un $x_0 ∈ I$ tel que la suite $(f_n(x_0))_{n≥0}$ soit convergente.

Alors $(f_n)_{n≥0}$ converge uniformément sur $I$ vers une fonction $f$ de classe $C^1$, et $f'(x) = g(x) = \lim_{n→∞} f'_n(x)$ pour tout $x ∈ I$.

• Ce théorème peut à nouveau s'interpréter comme un résultat de permutation de limite : pour chaque $a ∈ I$,

  $f'(a) = \lim_{x→a} (\lim_{n→∞} \frac{f_n(x) − f_n(a)}{x − a}) = \lim_{n→∞} (\lim_{x→a} \frac{f_n(x) − f_n(a)}{x − a}) = \lim_{n→+∞} f'_n(a)$.

3 Le Théorème de Weierstrass

• Nous montrons que toute fonction continue sur un intervalle compact y est limite uniforme de polynômes.

• Théorème : Soit $f ∈ C^0([0, 1], C)$ une fonction continue. On considère

$B_n(x) := \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k(1 − x)^{n−k} f(\dfrac{k}{n})$ .

Alors la suite de fonctions polynomiales $(B_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[0, 1]$.

4 Critère de Cauchy Uniforme

• Proposition (Critère de Cauchy uniforme) : La suite $(f_n)_{n∈N}$ converge uniformément sur $I$ (vers une fonction $f$) si et seulement si

∀ ε > 0, ∃ n_0 ≥ n, ∀ m, n ≥ n_0, ∀ x ∈ I, |f_n(x) − f_m(x)| < ε .

ou de façon équivalente

∀ ε > 0, ∃ n_0 ≥ n, ∀ m, n ≥ n_0, ||f_n − f_m||_∞ < ε.

II. Séries de Fonctions

1. Rappels Sur les Séries Numériques

• Soit $(E, \lVert · \rVert)$ un espace vectoriel normé de dimension finie. Étant donnée $(u_n) ∈ E^N$ une suite de vecteurs dans $E$, on dit que la série $\sum_n u_n$ converge si la suite des sommes partielles $U_N := \sum_{n=0}^N u_n$ converge dans $(E, \lVert · \rVert)$.

• Séries positives : Étant donnée une suite de réels positifs, la suite $U_N = \sum_{n=0}^N u_n$ est une suite croissante de réels : soit elle est majorée et la série converge, soit $U_N$ tend vers $+∞$.

• Pour étudier la convergence des séries numériques, il faut que la suite $u_n$ converge.

• Corollaire : critère spécial “uniforme” des séries alternées :

  Soit $(f_n : X \to \R_+)$ une suite d’applications convergeant uniformément vers $0$. On suppose que, $\forall x \in X$, la suite $(f_n(x))$ est décroissante. Alors la série de fonctions $\sum_{n \geq 0} (-1)^n f_n$ converge uniformément.

• Théorème : critère de Cauchy uniforme) :

  Une série $\sum_{n \geq 0} f_n$ d’applications de $X$ dans $E$ converge uniformément si, et seulement si, \forall\epsilon>0,\exists n\in\mathbb{N} tel que les inégalités q > p \geq N entraînent :

  $\forall x \in X, ||\sum_{n=p}^q f_n(x)|| \leq \epsilon$

• Convergence uniforme : Soient $X$ un ensemble non vide et $E$ un e.v.n. complet? Considérons deux suites d’applications $(f_n : X \to \R_+)$ et $(g_n : X \to E)$ telles que :

  1. $\forall x \in X$, la suite $(f_n(x))$ est décroissante.

  2. La suite de fonctions $(f_n : X \to \R_+)$ converge uniformément vers 0.

  3. $\exists M \in \mathbb{N}$ tel qie $||\sum_{k=0}^n g_k(x)|| \leq M, \forall n \in \mathbb{N}$ et $x \in X$.

  Sous ces hypothèses, la série de fonction $\sum_{n \geq 0} f_ng_n$ converge uniformément.

• Théorème : Soit $(f_n : [a,b] \to \R)$ une suite de fonctions intégrables.

  Si la série $\sum_{n \geq 0} f_n$ converge uniformément, sa somme $f$ est intégrable sur $[a,b]$, et on a :

  $\int_a^b f := \int^b_a (\sum_{n=0}^{+ \infty} </span>f_n) = \sum_{n=0}^{+ \infty} (\int^b_a f_n)$

• Théorème : Soient $I$ un intervalle de $\R$, $E$ un e.v.n. réel de dimensions finie et $(f_n : I \to E)$ une suit de fonctions de classe $C^1$. On dait les hypothèses suivantes :

  1. $\exists a \in I$ tel que $\sum_{n \geq 0} f_n(a)$ converge

  2. La série $\sum_{n \geq 0} f’_n$ converge, uniformément sur $I$, vers une fonction $g : I \to E$.

  La série de fonctions $\sum_{n \geq 0} f_n$ converge alors, uniformément sur tout compact de $I$, vers une fonction $f : I \to E$. De plus, $f$ est de classe $C^1$ sur $I$ et $f’=g$.