Estudio Integral para el Examen de Grado de Matemática - Tercero de Bachillerato

Información General del Examen de Grado

Indicaciones Generales para el Estudiante

• La evaluación se realiza bajo la modalidad presencial-digital.

• Se prohíbe dejar respuestas en blanco, ya que esto perjudica el puntaje final.

• Es fundamental mantener la calma durante todo el proceso.

• Se recomienda la lectura comprensiva del enunciado para escoger la respuesta correcta.

• Se debe realizar una revisión exhaustiva del examen antes de la entrega final.

Propiedades Algebraicas de los Números Reales

Destreza (DCD M.5.1.1): Aplicar las propiedades algebraicas de los números reales en la resolución de productos notables y en la factorización de expresiones algebraicas.

Indicador de Evaluación (I.M.5.1.1): Aplica propiedades en productos notables, factorización, potenciación y radicación.

Ejercicios de Simplificación y Racionalización

• M01: Simplificar a su mínima expresión.

• M02: Simplificar a su mínima expresión.

• M03: Racionalizar expresiones numéricas/algebraicas.

• M04: Operación de simplificación algebraica.

• M08 (Problema de Operaciones Combinadas): Simplificar la expresión:   $\sqrt{\frac{1}{9} - [(\frac{1}{3})^2 \div (\frac{1}{2})^2 \times 1.5 - (0.5 + 2 \frac{2}{3}) + 0.5]^3 + \frac{2}{3}}$

  • Opciones de respuesta: a) $3$, b) $9$, c) $6$, d) $1$.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Destreza (DCD M.5.1.6): Resolver analíticamente sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por métodos de igualación, sustitución y eliminación.

Indicador de Evaluación (I.M. 5.2.1): Resuelve sistemas $m \times n$ con diferentes tipos de soluciones y los aplica en funciones racionales o problemas de aplicación.

Problemas de Ecuaciones y Sistemas

• M09: Resolución de ecuaciones de primer grado.

• M10: Resolución de una ecuación lineal/algebraica específica.

• M011 y M012: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

• M014 y M015: Resolución de sistemas mediante el método gráfico.

• M016 a M019: Resolución de sistemas de ecuaciones utilizando métodos analíticos.

Funciones y Ecuaciones Cuadráticas e Inecuaciones

Destreza (DCD M.5.1.31): Resolver problemas reales o hipotéticos modelizados con funciones cuadráticas, identificando variables y relaciones.

Indicador de Evaluación (I.M. 5.3.2): Representación gráfica de funciones cuadráticas, cálculo de intersecciones, dominio, rango, vértice y monotonía.

Análisis de Funciones Cuadráticas

• M20: Determinación de la simetría y el vértice de una función cuadrática.

• M21: Resolución de una ecuación cuadrática estándar.

• M22 (Inecuación Cuadrática): Determinar la validez de la solución para $3x^2 + 2x - 5 \ge 0$.

  • Opciones:

  • a) $(-\frac{2}{3}, 0] \cup [\frac{5}{3}, \infty+)$

  • b) $(-\infty, -\frac{5}{3}] \cup [1, \infty+)$

  • c) $(-\infty, -1] \cup [\frac{5}{3}, \infty+)$

  • d) $(-\frac{5}{3}, -1] \cup [\frac{5}{3}, \infty+)$

Inecuaciones de Grado Superior

• M23: Determinar el intervalo solución de $x^4 + 12x^3 - 64x^2 \ge 0$.

  • Opciones:

  • a) $(-\infty, 16] \cup [4, +\infty) \cup \{0\}$

  • b) $(-\infty, -16] \cup [-4, +\infty)$

  • c) $(-4, 16] \cup \{0\}$

  • d) $(-4, 16] \cup [4, 16) \cup \{0\}$

• M24: Intervalo solución para 7x^2 + 21x - 20 < 8.

  • Opciones: a) $(-4, -1)$, b) $(4, -1)$, c) $(4, 1)$, d) $(-4, 1)$.

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Destreza (DCD M.5.1.77): Aplicar propiedades de exponentes y logaritmos para resolver ecuaciones e inecuaciones.

Indicador de Evaluación (I.M.5.3.5): Obtención de gráficas de funciones exponenciales, función inversa (logarítmica), dominio, recorrido y asíntotas.

Resolución de Ecuaciones Logarítmicas

• M25: $\log_3(2x - 1) - \log_3(5x + 2) = \log_3(x - 2) - 2$.

• M26: $\log(x) + \log(x - 3) = 1$.

• M28: $\log(x) + \log(x - 2) = \log(8)$.

Resolución de Ecuaciones Exponenciales

• M27: Hallar la solución de $25^x = 64^{x+10}$.

• M29: Hallar las soluciones de $2^{x^2 - 3x} = 16$.

• M30: Hallar la solución de $2^{x+1} + 4^x = 288$.

Sucesiones y Progresiones

Destreza (DCD M.5.1.58): Emplear progresiones aritméticas, geométricas y sumas parciales finitas en la resolución de problemas.

Indicador de Evaluación (I.M.5.4.1): Identifica sucesiones, halla parámetros desconocidos y analiza el sistema financiero local.

Ejercicios de Progresiones

• M31: Valor de $x$ en la sucesión: $4; 6; 9; \frac{27}{2}; x$.

• M32: Continuación de la serie: $4; 9; 16; 25; 36; 49; \dots$ (Sucesión de cuadrados perfectos).

• M33: Progresión aritmética donde $a_1 = 13$ y $a_5 = 29$. El objetivo es hallar la suma de los cinco primeros términos.

• M34: En una sucesión aritmética, si el tercer término es $14$ y el quinto es $20$, determinar el primer término ($a$) y la diferencia común ($d$).

Cálculo Diferencial e Integral

Destreza (DCD M.5.1.32 / M.5.1.51): Cálculo intuitivo de límites y derivadas de funciones racionales y polinomiales.

Límites

• M35: $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{6x^3 - 5x^2 + x + 3}{7 - 4x^2 + 2x^3}$.

• M36: $\lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 3x + 2}$.

• M37: $\lim_{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{x - b} - \sqrt{a - b}}{x^2 - a^2}$.

• M38: $\lim_{x \rightarrow \infty} (\frac{-3x^2 + 8x + 9}{7x^5 + 5x - 3})$.

• M39: $\lim_{x \rightarrow \infty} (\frac{\sqrt{3x^2 + 4}}{x + 6})$.

Derivadas

• M44: Hallar la derivada de $f(x) = \sqrt[3]{\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}}$.

• M45: Hallar la derivada de $f(x) = \log(\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}})$.

Integrales (DCD M.5.1.64)

• M46: Integrar $\int \frac{1}{x^2 \sqrt[5]{x^2}} \,dx$.

• M47: Integrar $\int \frac{x+1}{\sqrt[3]{x^2 + 2x + 7}} \,dx$.

• M48: Integrar $\int \frac{2x}{1 + x^2} \,dx$.

Geometría y Vectores

Destreza (DCD 5.2.1): Graficar vectores en el plano, identificando dirección, sentido y longitud (norma).

Vectores y Ángulos

• M49: Componente en el eje $Y$ de un vector $\mathbf{E}$ es $-38\,\text{m}$. Ángulo con el eje positivo de $200^\circ$. Determinar el módulo.

• M50: Vector $\mathbf{A}$ con componente en $Y$ de $38\,\text{m}$ y ángulo de $160^\circ$. Determinar la componente en el eje $X$.

• M51: Módulo del vector con extremo en el punto $A(-5; 9)\,\text{m}$.

• M52: Si el ángulo director $\alpha = 40^\circ$ y el vector está en el cuarto cuadrante, determinar el ángulo director $\beta$.

• M53 (Geometría Plana): Sabiendo que $\angle AOD = 130^\circ$ y $\overrightarrow{OC}$ es bisectriz de $\angle BOD$. Determinar $\angle AOC$.

• M54: Determinar el valor de $x$ sabiendo que las rectas $L_1, L_2, L_3$ son paralelas.

• M55: Uno de los ángulos suplementarios aumentado en $30^\circ$ es igual al otro. Hallar la medida de ambos.

Números Complejos y Razonamiento Lógico

Destreza (DCD ONCDM.5.1.3): Operaciones de adición y producto con números complejos.

• M56: Encontrar el valor de $\frac{i^7 - i^{-7}}{2i}$.

• M57: Dados $z_1 = a + 4i$, $z_2 = 7 + bi$ y $z_3 = 5 + 7i$, hallar $a$ y $b$ de modo que $z_3 = z_1 + z_2$.

• M58 (Inecuaciones): Lorena tiene 20 años menos que Andrea. Si sus edades suman menos de 86 años, determinar la edad máxima de Lorena.

• M60 (Binomios): Desarrollar y simplificar $(a + b)^4$.

• M61: La suma de dos números es $26$ y la suma de sus cuadrados es $340$. Hallar los números.

Proporcionalidad (Regla de Tres Compuesta)

• M59: 3 hombres, 8 horas diarias, 80 metros de obra, 10 días. ¿Cuántos días necesitan 5 hombres trabajando 6 horas para 60 metros?

• M62: 12 botes de 0.5 litros para 90m de verja (80cm altura). ¿Cuántos botes de 2 litros para 120cm de altura y 200m de longitud?

• M63: 20 enfermeras, 200 pacientes, 5 días. ¿Cuántas enfermeras para 500 pacientes en 10 días?

• M64: 6 grifos, 10 horas para 400 metros cúbicos. ¿Cuántas horas para 4 grifos llenando 2 depósitos de 500 metros cúbicos cada uno?

Firmas y Autorización del Documento