Vectores
📚 ÁLGEBRA LINEAL
Facultad de Ingeniería Mecánica
Bibliografía: Álgebra Lineal – Dra. María Virginia Varela y otros
🔷 CONFERENCIA 1 (C-1)
Espacios Vectoriales Reales. Subespacio. Espacio Euclídeo y Normado
1⃣ Espacio Vectorial Real
📌 Definición (Axiomática)
Un Espacio Vectorial Real (EVR) es un conjunto � con:
Operación suma de vectores
Producto por escalar (real)
Que cumple 8 axiomas fundamentales:
Cerradura en la suma
Conmutatividad
Asociatividad
Existencia del vector cero
Existencia del inverso aditivo
Cerradura producto por escalar
Distributividad respecto a suma de vectores
Distributividad respecto a suma de escalares
🔹 Ejemplo fundamental: ℝⁿ
El espacio �:
Vectores con n componentes reales
Dimensión n
Operaciones componente a componente
2⃣ Subespacio Vectorial Real (SEV)
📌 Definición
Un subconjunto � es subespacio si:
Contiene al vector cero
Es cerrado bajo suma
Es cerrado bajo producto por escalar
📌 Caracterización de SEV
Un subconjunto no vacío es subespacio si:
Para todo � y �
⚠ Importante:
Este contenido es base para:
Sistema generador
Base de un subespacio
3⃣ Producto Escalar
📌 Definición
Para �:
🔹 Propiedades
Conmutativo
Bilineal
Positivo definido
📌 Espacio Vectorial Euclídeo
Es un espacio vectorial con producto escalar definido.
4⃣ Norma de un Vector
📌 Definición
🔹 Propiedades
No negatividad
�
Desigualdad triangular
�
📌 Espacio Vectorial Normado
Es un espacio vectorial donde se define una norma.
📚 EJERCICIOS ORIENTADOS – C-1
✔ Preguntas 1–16 páginas 222–223
✔ Ejercicios resueltos:
1
2(a)
4–8
(páginas 223–231)
🔷 CONFERENCIA 2 (C-2)
Dependencia Lineal y Sistema Generador
1⃣ Combinación Lineal
Un vector � es combinación lineal de:
Si:
2⃣ Dependencia Lineal
📌 Definición
Un sistema es linealmente dependiente si:
Existe combinación lineal no trivial que da cero:
Con al menos un coeficiente ≠ 0.
🔹 Relación trivial
Todos los coeficientes = 0
📌 Caracterización
Un sistema es dependiente si:
Uno de los vectores puede escribirse como combinación lineal de los otros.
3⃣ Número máximo de vectores linealmente independientes
En ℝⁿ:
Máximo = n
4⃣ Teoremas sobre Dependencia Lineal
(Teoremas 1–6, págs. 250–254)
Ideas clave:
✔ Si hay más de n vectores en ℝⁿ → dependientes
✔ Si hay menos de n vectores → no generan ℝⁿ
5⃣ Sistema Generador
📌 Definición
Un conjunto A es generador de E si:
Todo vector de E puede escribirse como combinación lineal de A.
6⃣ Espacio Vectorial de Dimensión Finita
Tiene un sistema generador finito.
7⃣ Subespacio Generado
📌 Definición
El subespacio generado por:
Es el conjunto de todas sus combinaciones lineales.
🔎 Observaciones importantes
✔ Si A genera E → todo vector de E es combinación lineal de A
✔ Si A genera S ⊂ E → solo vectores de S son combinación lineal
✔ Los vectores que generan S pertenecen a S
📌 Teoremas clave
Teorema 1 (pág. 280)
✔ Ningún sistema con menos de n vectores genera ℝⁿ
✔ Para generar ℝⁿ se necesitan n vectores linealmente independientes
Teorema 2 (pág. 283)
Relaciona generador y dependencia.
📚 EJERCICIOS ORIENTADOS – C-2
✔ Preguntas 1–20 págs. 255–257
✔ Preguntas 1–10 págs. 313–314
✔ Ejercicios resueltos:
1
3
5–7 (págs. 257–263)
1 (págs. 315–317)
🔷 CONFERENCIA 3 (C-3)
Base y Dimensión
1⃣ Base de un Espacio Vectorial
📌 Definición
Un conjunto B es base si:
Es linealmente independiente
Es sistema generador
📌 Teoremas asociados (1–4, págs. 288–292)
⚠ Importante:
El Teorema 2 (pág. 289)
→ Es una caracterización de base.
2⃣ Dimensión
📌 Definición
La dimensión de un espacio es:
El número de vectores de cualquier base.
🔎 Caso especial ℝⁿ
Todas las bases tienen n vectores:
3⃣ Base y dimensión de un Subespacio
Un sistema es base de S si:
✔ Es linealmente independiente
✔ Genera S
4⃣ Coordenadas de un Vector en una Base
Si B = {v₁,…,vₙ} es base:
Todo vector v puede escribirse:
Los escalares son las coordenadas de v respecto a B.
5⃣ Base Ortogonal
Base donde:
6⃣ Base Ortonormal
Base ortogonal donde:
📚 EJERCICIOS ORIENTADOS – C-3
✔ Preguntas 11–23 págs. 313–314
✔ Ejercicios resueltos:
2
3
6
7
8
(págs. 317–324)
🎯 RESUMEN GENERAL PARA EXAMEN
Debes dominar:
✔ Definición axiomática de EVR
✔ Caracterización de subespacio
✔ Producto escalar y norma
✔ Dependencia e independencia lineal
✔ Sistema generador
✔ Subespacio generado
✔ Número máximo de vectores LI
✔ Definición formal de base
✔ Dimensión
✔ Coordenadas en una base
✔ Base ortogonal y ortonormal