Séquence 3: Les nombres premiers
Divisibilité:
Critére de divisibilité: Un nombre entier est divisible
• Par 2, si son chiffre est paire
• Par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5
• Par 10, si son chiffre des unités est 0
• Par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3
• Par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9
Vocabulaire:
15 est divisible par 3 et 5.
On dit que 3 et 5 sont des diviseurs de 15.
On dit que 15 est un multiple de 3 et 5.
Nombre premier:
Un nombre premier est un nombre qui possède que 2 diviseurs: 1 et lui-même.
Liste des nombres premier inférieur à 100:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83, 89,97
Cette liste est infini, il faut connaître par cœur les 10 premiers.
1 n’est pas premier car il n’a qu’un diviseur: lui-même.
Décomposition en facteurs premiers:
24= 12×2 =3×4×2 =3×2×2×2
3×2×2×2 est une décomposition du nombre 24 en produit de facteurs premiers. Car chaque facteur est un nombre premier.
Tout nombre premier peut se décomposer en produit de facteurs premiers, l’ordre n’a pas d’importance.
Si la décomposition est difficile a trouver, on utilise la méthode suivante.
Algorithme:
Question à se poser dans sa tête | écrire |
On commence par tester si 24 est divisible par 2. La réponse est oui. Et on a: 24÷2=12 |  |
On recommence, en testant si 12 est divisible par 2. La réponse est oui. On a: 12÷2=6 |  |
On recommence en testant si 6 est divisible par 2. La réponse est oui. On a: 6÷2=3 |  |
On recommence, en testant si 3 est divisible 2, la réponse est non. On teste alors le nombre premier suivant dans la listes. Est-ce que 3 est divisible par 3. La réponse oui. On a: 3÷3=1 C’est fini on trouve 1! |  |
La décomposition se lit dans la colonne de droite
24=2×2×2×3
Simplifier une fraction:
Simplifier une fraction, c’est écrire une fraction qui lui est égal avec un numérateur ou dénominateur plus petit.
Grâce aux table de multiplication ou aux critères de divisibilité, on cherche le plus grand diviseur commun au numérateur et dénominateur.
-54
-42
=6×9
6×7
=6×9
6×7
=9
7
Dans le cas où le numérateur sont de grands chiffres, il est difficile de trouver un diviseur commun. Dans ce cas, on décompose le numérateur et le dénominateur en produit de facteur premier.
Simplifier: 153
85
153 ] 3 85 ] 5
51 ] 3 17 ] 17
17 ] 17 1
1
153=3×3×17=32×17 85=5×17
Donc 153 = 9×17
85 5×17
Dans un calcul avec des fractions, on simplifie toujours le résultat jusqu’à obtenir une fraction irréductible.