Chapitre1

OPÉRATIONS VECTORIELLES - OUTILS MATHÉMATIQUES POUR LA MÉCANIQUE

I. LES VECTEURS

1) Notion de vecteurs et définition

• Définition : Un vecteur est une entité mathématique associée à un couple de points (A, B) dans un espace Euclidien E à trois dimensions.

• Propriétés du vecteur :

  • Origine : Point A (appelé point d'application)

  • Direction : La direction est celle de la droite (AB).

  • Sens : Allant de A vers B.

  • Module : Noté |V|, mesure métrique du vecteur, équivalent à la distance entre A et B.

2) Notion de vecteur lié et de vecteur libre

• 2-1) Vecteur lié :

  • Attaché à un point d'application (ex : vecteur AB).

• 2-2) Vecteur libre :

  • Pas d'origine, défini à une translation près, caractérisé par direction, sens et module.

  • Utilisé en mécanique pour représenter des forces, vitesses, etc.

  • Exemple : le champ électrique entre les armatures d'un condensateur est un vecteur libre.

II. OPÉRATIONS VECTORELLES

1) Somme de deux vecteurs

• La somme de vecteurs A et B est notée A + B, également appelée résultante.

• La somme est commutative et associative :

  • A + B = B + A

  • (A + B) + C = A + (B + C)

2) Multiplication d’un vecteur par un scalaire

• Définition : Si α est un scalaire, alors le vecteur αV dans la même direction que V (colinéaire), même sens si α > 0, opposé si α < 0.

• Propriétés :

  • Associative : α(βV) = (αβ)V

  • Distributive par rapport à l'addition des vecteurs et scalaires.

3) Les composantes d’un vecteur

• Représentation dans un espace vectoriel avec base B :

  • Donne ses trois composantes (α, β, γ).

• En mécanique : Composantes x, y et z du vecteur en rapport avec un repère R.

• Notation : M(x, y, z) correspondant aux coordonnées du point dans l'espace.

4) Le produit scalaire

• Défini pour deux vecteurs A et B, donné par le produit du module d'un vecteur par la projection de l'autre.

• Propriétés :

  • Commutatif : A • B = B • A

  • Distributif : A • (B + C) = A • B + A • C

  • A et B sont orthogonaux si A • B = 0.

• Expression analytique dans une base orthonormée :

  • A • B = |A||B|cos(θ)

5) Le produit vectoriel

• Défini comme vecteur noté A × B.

• Caractéristiques :

  • Direction perpendiculaire à A et B.

  • Sens défini par la règle des trois doigts.

  • Module égal à l'aire du parallélogramme formé par A et B.

• Propriétés :

  • Colinéarité : A × B = 0 si colinéaires.

  • Orthogonalité : A × B est orthogonal à A et B.

  • Antisymétrique : A × B = - (B × A).

6) Moment d’un vecteur

• Moment par rapport à un point : Applicable si le vecteur est attaché à un point d'origine. Définition : Moment déterminé par un point Q de l'espace Euclidien E.

• Moment par rapport à un axe : Projection orthogonale du moment par rapport à un point sur cet axe.

7) La dérivation vectorielle

• Définition de la dérivée d’un vecteur par rapport à une variable t. Notation : dV/dt.

• Propriétés :

  • L'ensemble des vecteurs est linéaire.

  • Formes en fonction de leurs composantes (x, y, z) dans une base fixe.

• Dérivation d'un produit entre un scalaire et un vecteur :

  • Propriétés à établir.

III. LES SYSTÈMES DE COORDONNÉES

1) Coordonnées cartésiennes

• Point M(x, y, z) repéré par le vecteur position.

2) Coordonnées cylindriques

• Représentation non fournie explicitement.

3) Coordonnées sphériques

• Représentation non fournie explicitement.