Notas de Lógica Matemática

Aristóteles III A.C.
- Establece los principios de la Lógica Clásica.
Leibniz XVII/XVIII D.C.
- Propone la utilización de símbolos y el sistema binario.
Boole, DeMorgan, Frege, Peano, Peirce, Cantor XIX D.C.
- George Boole inicia formalmente la Lógica Simbólica en 1854, utilizando símbolos para hablar sobre lógica de manera matemática.
Russell, Whitehead, Hilbert, Gödel, Sadeh XX D.C.
  - Bertrand Russell y Albert N. Whitehead presentan Principia Mathematica, un tratado completo de lógica que elimina ciertas paradojas en la lógica de Frege.
  - David Hilbert propone un programa mundial para deducir toda la matemática a partir de la lógica simbólica.
  - Kurt Gödel refuta esta idea con su Teorema de Incompletitud.

Eliminar ambigüedad del lenguaje natural.
- Se establecerá un vocabulario lógico preciso que defina proposiciones simples, sus operaciones y las propiedades que verifican.
Determinar reglas para validar razonamientos.
- Se definen los conceptos de consecuencia y equivalencia lógica, razonamiento deductivo y las reglas de inferencia necesarias para deducir nuevas verdades de verdades conocidas.
- Se abordará también la inducción matemática.

Definición de Proposición Lógica.
- Una proposición lógica es una oración declarativa cuyo valor puede ser identificado como verdadero o falso.
- Se interpretan como afirmaciones cuyas verdades pueden evaluarse por expertos en el tema.
Notación.
  - Las proposiciones se denotan con letras (p, q, r, …) o con subíndices (p1, p2, …, pn).
  - Ejemplo: p representa "Un computador es un dispositivo electrónico".
  - Las letras que representan proposiciones no específicas son variables proposicionales.

Lógica bivalente.
  - Se establece que las proposiciones solo pueden ser verdaderas o falsas, capturando principios fundamentales de la lógica clásica:
    - Principio de Identidad: Toda proposición es idéntica a sí misma.
    - Principio de No Contradicción: Dos proposiciones contradictorias no pueden ser ambas verdaderas.
    - Principio del Tercero Excluido: Dos proposiciones contradictorias no pueden ser ambas falsas.

  - Estos principios son considerados axiomas o postulados en lógica.

Proposiciones Simples y Compuestas.
  - Las afirmaciones simples se denominan proposiciones simples.
  - Afirmaciones complejas se forman combinando proposiciones simples:
    - Ejemplos:
      - "El número 2 es par y el 7 es impar."
      - "Si hoy es lunes, entonces mañana será martes."
      - "Hoy es lunes si y solo si el número 9 es primo."

Descripción.
- Los valores de verdad se organizan en tablas.
- Las proposiciones simples tienen dos filas, mientras que las compuestas con n proposiciones simples requieren $2^n$ filas para analizar todas las posibilidades.
Notación.
- Proposiciones compuestas se denotan con letras mayúsculas (P, Q, R, …) o subíndices.
- Proposición compuesta P que utiliza proposiciones simples p, q, r se denota como P(p, q, r).

Definición de Conectivos Lógicos.
- Cada conectivo lingüístico tiene un símbolo correspondiente y puede generar nuevas proposiciones.
Símbolos y Significados: -
 | Conectivo Lingüístico | Símbolo | Operación | Significado en Castellano |
 |------------------------------|---------|------------------------|-----------------------------------------|
 | Negación | $ eg$ | - | No p |
 | Conjunción | $ext{y}$ | $p ext{ y } q$ | p y q, ambas verdaderas |
 | Disyunción (Inclusiva) | $ext{o}$ | $p ext{ o } q$ | p o q, o ambos |
 | Disyunción Exclusiva | $ext{xor}$ | $ext{o bien } p ext{ o bien } q$ | Solo uno o el otro |
 | Condicional Simple | $ ightarrow$ | $p ightarrow q$ | Si p entonces qთუ, p implica q |
 | Condicional Doble | $ ightarrow ightarrow$ | $p ext{ si y solo si } q$ | p sii q |

Negación.
 - Se pueden negar proposiciones simples y compuestas.
 - Ejemplo:
 - Sea p: "La tierra es el tercer planeta del sistema solar"
 - Su negación es $ eg p$ : "No es cierto que la tierra sea el tercer planeta del sistema solar".
Conjunción.
- Denotada como $p ext{ y } q$ , es verdadera si ambas son verdaderas.
Clasificación de Proposiciones según Valores de Verdad.
  - Tautología: Proposición compuesta siempre verdadera (denota como V0).
  - Contradicción: Proposición compuesta siempre falsa (denota como F0).
  - Contingencia: Proposición compuesta que es verdadera o falsa según valores individuales.

Definición.
- La disyunción inclusiva $p ext{ o } q$ es falsa si ambas son falsas, verdadera en otros casos.

Definición.
- La disyunción exclusiva $p ext{ o bien } q$ es verdadera solo si p y q tienen valores de verdad distintos.

Definición.
- El condicional simple $p ightarrow q$ es falso solo cuando p es verdadera y q es falsa.
Componentes:
- Antecedente: p (condición suficiente).
- Consecuente: q (condición necesaria).

Definición.
- El condicional doble $p ext{ si y solo si } q$ es verdadero cuando ambos tienen el mismo valor de verdad.
Condiciones:
- $p$ es condición necesaria y suficiente para $q$ .

Definición.
- Una proposición se escribe como disyunción de minterms cuando los valores verdaderos se expresan como conjunciones.
Ejemplo de Cálculo:
- Para $R(p, q)$ , evaluar donde la proposición es verdadera para obtener su FND.

Definición.
- Escribir la proposición como conjunción de maxterms cuando los valores falsos se expresan como disyunciones.
Ejemplo de Cálculo:
- Evaluar para $R(p, q)$ los maxterms donde sea falsa para establecer su FNC.

Equivalencia Lógica: $P ext{ y } Q ext{ equivalentes si } P ightarrow Q ext{ es V0}$ .
Leyes Lógicas:
- Leyes útiles para simplificar y demostrar proposiciones.

Métodos:
- Tablas de verdad o utilizar leyes lógicas para transformar proposiciones.
- Ejemplo: Mostrar que $P ightarrow Q ext{ es equivalente a } eg P ext{ o } Q$ .

Razonamiento Deductivo:
- Premisas conducen a conclusiones, representadas como $P_1, P_2, …, P_n herefore Q$ .