Analyse eines Glücksrad-Experiments: Wahrscheinlichkeitsberechnung und Spielvarianten

Veranstaltungsanlass: Das Glücksspiel wird von einer Schulklasse im Rahmen eines "Tages der offenen Tür" an einem speziellen Glücksspielstand organisiert.
Spielgerät: Es wird ein Glücksrad verwendet, welches in verschiedene farbige Segmente (Gelb, Blau, Grün) unterteilt ist.
Spielablauf: Ein reguläres Spiel besteht aus insgesamt drei Drehungen ( $n = 3$ ) des Glücksrads.

Die Gewinne sind nach dem Einkaufspreis der Preise gestaffelt und hängen von den erzielten Farbergebnissen ab:

Hauptgewinn ( $5\,€$ ): Dieser wird ausgezahlt, wenn bei allen drei Drehungen das gelbe Feld getroffen wird (Ergebnis: gelb, gelb, gelb).
Kleiner Gewinn ( $1\,€$ ): Dieser wird ausgezahlt, wenn genau zweimal das blaue Feld getroffen wird. Die Position der blauen Felder (z. B. erster und zweiter Wurf oder erster und dritter Wurf) ist dabei unerheblich, solange die dritte Drehung kein blaues Feld ergibt.
Kein Gewinn ( $0\,€$ ): In allen anderen Fällen, die nicht den oben genannten Kriterien entsprechen, wird kein Gewinn ausgezahlt.

Für die Analyse der Wahrscheinlichkeiten beim dreimaligen Drehen wird ein Baumdiagramm erstellt, das sich auf die Farbe Grün fokussiert:

Ergebnisraum pro Drehung: Es werden nur zwei Zustände unterschieden: * $Gr$ : Das Rad hält auf einem grünen Feld. * $\overline{Gr}$ : Das Rad hält nicht auf einem grünen Feld (Komplementärereignis "nicht grün").
Struktur: Da das Rad dreimal gedreht wird, besitzt das Baumdiagramm drei Ebenen. Jede Ebene verzweigt sich in die zwei Möglichkeiten ( $Gr$ und $\overline{Gr}$ ), woraus sich insgesamt $2^3 = 8$ mögliche Pfade am Ende des Baums ergeben.

Ereignis: "Beim dreimaligen Drehen wird mindestens einmal grün getroffen."
Gegenereignis-Methode: Die Berechnung erfolgt am effizientesten über das Gegenereignis "keinmal grün" (also dreimal hintereinander "nicht grün").
Formel: $P(\text{mindestens einmal grün}) = 1 - P(\overline{Gr}, \overline{Gr}, \overline{Gr})$
Setzt man für die Wahrscheinlichkeit von "nicht grün" den Wert $q$ ein, lautet die Berechnung: $1 - q^3$ .

In dieser Teilaufgabe wird die Anzahl der Pfade (Sequenzen) bestimmt, die zu bestimmten Ergebnissen führen:

Zweimal Blau und einmal Grün: * Es gibt hierfür $3$ Möglichkeiten, da das grüne Feld an erster, zweiter oder dritter Stelle erscheinen kann. * Pfade: $(B, B, G), (B, G, B), (G, B, B)$ .
Mindestens zweimal Blau: * Dies kombiniert die Fälle "genau zweimal blau" und "genau dreimal blau". * Anzahl: $3$ Pfade (für genau zweimal blau) + $1$ Pfad (für dreimal blau: $B, B, B$ ) = $4$ Möglichkeiten.
Dreimal Gelb: * Hierfür existiert nur genau $1$ Möglichkeit. * Pfad: $(Y, Y, Y)$ .
Drei verschiedene Farben: * Es müssen die Farben Gelb ( $Y$ ), Blau ( $B$ ) und Grün ( $G$ ) in einer beliebigen Reihenfolge vorkommen. * Die Anzahl der Permutationen berechnet sich durch $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ . * Möglichkeiten: $(Y, B, G), (Y, G, B), (B, Y, G), (B, G, Y), (G, Y, B), (G, B, Y)$ .

Berechnungsgrundlage: Der Erwartungswert $E(X)$ gibt den durchschnittlichen Gewinn pro Spiel an.
Vorgehensweise: Die Wahrscheinlichkeiten für die Gewinnfälle ( $5\,€$ , $1\,€$ und $0\,€$ ) müssen mit den jeweiligen Gewinnsummen multipliziert und anschließend addiert werden.
Formel: $E(X) = 5\,€ \times P(\text{3 mal gelb}) + 1\,€ \times P(\text{genau 2 mal blau}) + 0\,€ \times P(\text{alle anderen})$

Zwischen $17:00$ Uhr und $18:00$ Uhr gelten am Stand besondere Regeln für die Variante "Lucky Hour":

Anzahl der Drehungen: In dieser Variante wird das Rad $5$ Mal gedreht ( $n = 5$ ).
Gewinnbedingung: Ein Gewinn wird erzielt, wenn genau $3$ Mal die Farbe Grün erscheint ( $k = 3$ ).
Gewinnfolge: Der Spieleinsatz wird in diesem Fall verzehnfacht.
Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit: * Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment. * Formel: $P(X=3) = \binom{5}{3} \times p_{grün}^3 \times (1-p_{grün})^2$ * Der Binomialkoeffizient $\binom{5}{3}$ entspricht hierbei $10$ , was bedeutet, dass es $10$ verschiedene Pfade gibt, die zu genau drei grünen Feldern bei fünf Drehungen führen.