Μαθηματικά II - Σειρές Taylor-Maclaurin
Πολυωνυμική Προσέγγιση
Έστω μια συνάρτηση f διαφορίσιμη στο σημείο x0. Η εφαπτομένη της f στο (x0, f(x0)) δίνεται από: \epsilon{x0} = \frac{\Delta y}{\Delta x} Όποτε: f'(x0) = \frac{y - f(x0)}{x - x0} \implies y - f(x0) = f'(x0)(x - x0) \implies y = f(x0) + f'(x0)(x - x0)
Η γραμμή αυτή προσεγγίζει την f(x) για τιμές του x κοντά στο x_0.
Συνεπώς:
f(x) \approx f(x0) + f'(x0)(x - x_0)
Παράδειγμα
Δείξτε ότι \sin(\theta) \approx \theta, όταν το \theta είναι κοντά στο 0.
Λύση:
f(\theta) = \sin(\theta) \implies f'(\theta) = \cos(\theta)
Για \theta0 = 0, έχουμε: f(\theta) \approx f(\theta0) + f'(\theta0)(\theta - \theta0) \implies f(\theta) \approx \sin(0) + \cos(0)(\theta - 0) \implies f(\theta) \approx 0 + 1(\theta - 0) \implies f(\theta) \approx \theta \implies \sin(\theta) \approx \theta\n* Όπου \sin(\theta) = ημίτονο \theta και \cos(\theta) = συνημίτονο \theta\n
2ου βαθμού προσέγγιση
Για να αυξήσουμε την ακρίβεια της προσέγγισης, χρησιμοποιούμε τη δευτέρου βαθμού προσέγγιση μιας συνάρτησης f στο σημείο x0, η οποία ισούται με: f(x) \approx f(x0) + f'(x0)(x - x0) + \frac{f''(x0)}{2}(x - x0)^2
Για την περίπτωση που x0 = 0, έχουμε: f(x) \approx f(0) + f'(0)(x) + \frac{f''(x0)}{2}(x)^2
Παράδειγμα
Βρείτε τις προσεγγίσεις 1ου και 2ου βαθμού της συνάρτησης f(x) = e^x, όταν το x είναι κοντά στο 0.
Λύση:
f(x) = e^x \implies f'(x) = e^x \implies f''(x) = e^x
Για x_0 = 0, έχουμε:
f(x) \approx f(0) + f'(0)x \implies e^x = e^0 + e^0x \implies e^x \approx 1 + x
και
f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 \implies e^x = e^0 + e^0x + \frac{e^0}{2}(x)^2 \implies e^x \approx 1 + x + \frac{(x)^2}{2}
Σειρές Maclaurin & Taylor
Τι σημαίνει η «ανάπτυξη» μιας συνάρτησης y = f(x) σε μια σειρά Maclaurin (ανάπτυξη γύρω από το σημείο \chi = 0) και σε σειρά Taylor (ανάπτυξη γύρω από ένα οποιοδήποτε σημείο \chi = \chi_0);
Σημαίνει να μετασχηματίσουμε αυτήν την συνάρτηση σε μια πολυωνυμική μορφή, στην οποία οι συντελεστές των διαφόρων όρων εκφράζονται συναρτήσει των παράγωγων τιμών f'(\chi0), f''(\chi0), κ.ο.κ. - οι οποίες υπολογίζονται όλες στο σημείο της ανάπτυξης \chi_0.
Σειρά Maclaurin
Ας θεωρήσουμε αρχικά την ανάπτυξη μιας πολυωνυμικής συνάρτησης βαθμού n.
f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4 + \dots + anx^nΜε διαδοχική παραγώγιση μπορούμε να πάρουμε τις παραγώγους διαφόρων τάξεων της συνάρτησης f.
f'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 + 4a4x^3 + \cdots + nanx^{n-1} f''(x) = 2a2 + 3 \cdot 2 a3x + 4 \cdot 3 a4x^2 + \cdots + n(n-1)anx^{n-2} f'''(x) = 3 \cdot 2 a3 + 4 \cdot 3 \cdot 2 a4x + \cdots + n(n-1)(n-2)anx^{n-3}
\vdots
f^{(n)}(x) = n(n-1)(n-2) \cdots (2)(1)a_n
Σειρά Maclaurin (συνέχεια)
Υπολογίζοντας αυτές τις παραγώγους στο \chi = 0 έχουμε ότι:
f'(0) = a1, f''(0) = 2a2, f'''(0) = 3 \cdot 2 a3, \dots, f^{(n)}(0) = n(n-1)(n-2) \cdots (2)(1)anΕάν υιοθετήσουμε το σύμβολο n! \equiv n(n-1)(n-2) \cdots (2)(1) (π.χ. 3! = 3 * 2 * 1 και 0! = 1) τότε μπορούμε να εκφράσουμε τις παραπάνω παραγώγους ως εξής:
a1 = \frac{f'(0)}{1!}, a2 = \frac{f''(0)}{2!}, a3 = \frac{f'''(0)}{3!}, \dots, an = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}
Σειρά Maclaurin (συνέχεια)
Συνεπώς, μπορούμε πλέον να εκφράσουμε την (3.1) ως ένα νέο πολυώνυμο στο οποίο οι συντελεστές εκφράζονται συναρτήσει των παραγώγων, υπολογισμένων στο \chi = 0.
f(x) = \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^nΑυτό το νέο πολυώνυμο, η σειρά Maclaurin της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x), παριστάνει την ανάπτυξη της συνάρτησης f(x) γύρω από το μηδέν.
Σειρά Maclaurin (Γενικά)
Γενικά: Αν μια συνάρτηση f είναι n φορές παραγωγίσιμη στο σημείο x0 = 0, τότε το n-στο Πολυώνυμο Maclaurin Pn(x) είναι ίσο με:
Pn(x) = f(x) \approx \frac{f(0)}{0!}x^0 + \frac{f'(0)}{1!}x^1 + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \implies Pn(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^kΣημείωση: f_0(0) = f(0)
Παράδειγμα 1
Να βρεθεί η σειρά Maclaurin της συνάρτησης f(x) = 2 + 4x + 3x^2
Λύση:
Αρχικά έχουμε ότι: f'(x) = 4 + 6x και f''(x) = 6
Επίσης, f'(0) = 4 και f''(0) = 6
Εφαρμόζοντας τον τύπο της σειράς Maclaurin έχουμε ότι:
f(x) \approx \frac{f(0)}{0!}x^0 + \frac{f'(0)}{1!}x^1 + \frac{f''(0)}{2!}x^2 = 2 + 4\chi + 3x^2Συνεπώς, η σειρά Maclaurin παριστάνει πράγματι τη δεδομένη συνάρτηση.
Παράδειγμα 2
α) Βρείτε το 3ου και nου βαθμού Πολυώνυμο Maclaurin για την f(x) = e^x, όταν το x είναι κοντά στο 0.
β) Με βάση το τελευταίο, δώστε τον προσεγγιστικό τύπο του e.
Λύση:
α) Από τον γενικό τύπο του Πολυώνυμου Maclaurin, έχουμε:
P_3(x) = f(x) \approx \frac{f(0)}{0!}x^0 + \frac{f'(0)}{1!}x^1 + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 \implies e^x \approx \frac{e^0}{1}x^0 + \frac{e^0}{1!}x + \frac{e^0}{2!}x^2 + \frac{e^0}{3!}x^3 \implies e^x \approx 1 + \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3
Παράδειγμα 2 (συνέχεια)
Από τον γενικό τύπο του Πολυώνυμου Maclaurin, έχουμε:
Pn(x) = f(x) \approx \frac{f(0)}{0!}x^0 + \frac{f'(0)}{1!}x^1 + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \implies e^x \approx \frac{e^0}{0!}x^0 + \frac{e^0}{1!}x^1 + \frac{e^0}{2!}x^2 + \frac{e^0}{3!}x^3 + \cdots + \frac{e^0}{n!}x^n \implies e^x \approx 1 + \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \cdots + \frac{1}{n!}x^n = \sum{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}β) Για x = 1:
e^1 \approx 1 + x + \frac{1}{2}1^2 + \frac{1}{3!}1^3 + \cdots + \frac{1}{n!}1^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}
Σειρά Taylor
Γενικότερα, μια συνάρτηση μπορεί να αναπτυχθεί γύρω από ένα οποιοδήποτε σημείο x_0, όχι απαραίτητα το μηδέν.
Συνεπώς: Αν η συνάρτηση f είναι n φορές παραγωγίσιμη στο σημείο x0, τότε το n-στο Πολυώνυμο Taylor Pn(x) είναι ίσο με:
Pn(x) = f(x) \approx \frac{f(x0)}{0!}(x - x0)^0 + \frac{f'(x0)}{1!}(x - x0) + \frac{f''(x0)}{2!}(x - x0)^2 + \frac{f'''(x0)}{3!}(x - x0)^3 + \cdots + \frac{f^n(x0)}{n!}(x - x0)^n = \sum{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x0)}{k!}(x - x0)^kΔιαπιστώνουμε ότι η σειρά Taylor διαφέρει από τη σειρά Maclaurin στην αντικατάσταση του μηδενός από το x0 ως σημείο ανάπτυξης και στην αντικατάσταση του x από την έκφραση x - x0.
Θεώρημα Taylor
Δεδομένης μιας τυχαίας συνάρτησης f(x), εάν γνωρίζουμε την τιμή της συνάρτησης στο x = x0 (δηλαδή την f(x0)) και τις τιμές των παραγώγων της στο x0 (δηλαδή f'(x0), f''(x0), κ.ο.κ.) τότε η συνάρτηση αυτή μπορεί να αναπτυχθεί γύρω από το σημείο x0 ως εξής:
f(x) = \frac{f(x0)}{0!}(x - x0)^0 + \frac{f'(x0)}{1!}(x - x0) + \frac{f''(x0)}{2!}(x - x0)^2 + \frac{f'''(x0)}{3!}(x - x0)^3 + \cdots + \frac{f^n(x0)}{n!}(x - x0)^n + R_n(x)Το Rn(x) ονομάζεται υπόλοιπο και η παρουσία του οφείλεται στο γεγονός ότι η f(x) είναι μια τυχαία συνάρτηση η οποία δεν μπορεί να πάντα να μετασχηματιστεί ακριβώς στην πολυωνυμική μορφή της 4.1. Συνεπώς, το Rn(x) συνιστά ένα μέτρο σφάλματος της προσέγγισης και ισούται με:
Θεώρημα Taylor (συνέχεια)
Rn(x) = \frac{f^{(n+1)}(p)}{(n+1)!}(x - x0)^{n+1}, με το p να είναι ένας αριθμός μεταξύ του x (του σημείου θέλουμε να υπολογίσουμε την τυχαία συνάρτηση f) και του x_0 (του σημείου που αναπτύσσουμε τη συνάρτηση f).
Παράδειγμα
Αναπτύξτε τη δευτεροβάθμια εξίσωση f(x) = 5 + 2x + x^2 γύρω από το x_0 = 1 με n = 1.
Λύση: Με εφαρμογή του τύπου 5.1 έχουμε ότι
f(x) = \frac{f(1)}{0!}(x - 1)^0 + \frac{f'(1)}{1!}(x - 1) + R1(x) = 8 + (2 + 2*1)(x - 1) + R1(x) = 8 + 4(x - 1) + R1(x) = 4 + 4x + R1(x)
Ασκήσεις για εξάσκηση
Άσκηση 1: Αναπτύξτε τη μη πολυωνυμική συνάρτηση g(x) = \frac{1}{1+x} γύρω από το σημείο x_0 = 2 με n = 3.
Άσκηση 2: Βάσει της σειράς Taylor με τη μορφή του υπολοίπου, δείξτε ότι στο σημείο της ανάπτυξης x = x0 η σειρά Taylor θα δίνει πάντα ακριβώς την τιμή της συνάρτησης σ’ αυτό το σημείο f(x0), και όχι απλά και μόνο μια προσέγγιση.
Πολυωνυμική Προσέγγιση
Έστω μια συνάρτηση f διαφορίσιμη στο σημείο x0. Η εφαπτομένη της f στο (x0, f(x0)) δίνεται από: \epsilon{x0} = \frac{\Delta y}{\Delta x} Όποτε: f'(x0) = \frac{y - f(x0)}{x - x0} \implies y - f(x0) = f'(x0)(x - x0) \implies y = f(x0) + f'(x0)(x - x0)
Η γραμμή αυτή προσεγγίζει την f(x) για τιμές του x κοντά στο x_0.
Συνεπώς:
f(x) \approx f(x0) + f'(x0)(x - x_0)
Παράδειγμα
Δείξτε ότι \sin(\theta) \approx \theta, όταν το \theta είναι κοντά στο 0.
Λύση:
f(\theta) = \sin(\theta) \implies f'(\theta) = \cos(\theta)
Για \theta0 = 0, έχουμε: f(\theta) \approx f(\theta0) + f'(\theta0)(\theta - \theta0) \implies f(\theta) \approx \sin(0) + \cos(0)(\theta - 0) \implies f(\theta) \approx 0 + 1(\theta - 0) \implies f(\theta) \approx \theta \implies \sin(\theta) \approx \theta
* Όπου \sin(\theta) = ημίτονο \theta και \cos(\theta) = συνημίτονο \theta
2ου βαθμού προσέγγιση
Για να αυξήσουμε την ακρίβεια της προσέγγισης, χρησιμοποιούμε τη δευτέρου βαθμού προσέγγιση μιας συνάρτησης f στο σημείο x0, η οποία ισούται με: f(x) \approx f(x0) + f'(x0)(x - x0) + \frac{f''(x0)}{2}(x - x0)^2
Για την περίπτωση που x0 = 0, έχουμε: f(x) \approx f(0) + f'(0)(x) + \frac{f''(x0)}{2}(x)^2
Παράδειγμα
Βρείτε τις προσεγγίσεις 1ου και 2ου βαθμού της συνάρτησης f(x) = e^x, όταν το x είναι κοντά στο 0.
Λύση:
f(x) = e^x \implies f'(x) = e^x \implies f''(x) = e^x
Για x_0 = 0, έχουμε:
f(x) \approx f(0) + f'(0)x \implies e^x = e^0 + e^0x \implies e^x \approx 1 + x
και
f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 \implies e^x = e^0 + e^0x + \frac{e^0}{2}(x)^2 \implies e^x \approx 1 + x + \frac{(x)^2}{2}
Σειρές Maclaurin & Taylor
Τι σημαίνει η «ανάπτυξη» μιας συνάρτησης y = f(x) σε μια σειρά Maclaurin (ανάπτυξη γύρω από το σημείο \chi = 0) και σε σειρά Taylor (ανάπτυξη γύρω από ένα οποιοδήποτε σημείο \chi = \chi_0);
Σημαίνει να μετασχηματίσουμε αυτήν την συνάρτηση σε μια πολυωνυμική μορφή, στην οποία οι συντελεστές των διαφόρων όρων εκφράζονται συναρτήσει των παράγωγων τιμών f'(\chi0), f''(\chi0), κ.ο.κ. - οι οποίες υπολογίζονται όλες στο σημείο της ανάπτυξης \chi_0.
Σειρά Maclaurin
Ας θεωρήσουμε αρχικά την ανάπτυξη μιας πολυωνυμικής συνάρτησης βαθμού n.
f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4 + \dots + anx^nΜε διαδοχική παραγώγιση μπορούμε να πάρουμε τις παραγώγους διαφόρων τάξεων της συνάρτησης f.
f'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 + 4a4x^3 + \cdots + nanx^{n-1} f''(x) = 2a2 + 3 \cdot 2 a3x + 4 \cdot 3 a4x^2 + \cdots + n(n-1)anx^{n-2} f'''(x) = 3 \cdot 2 a3 + 4 \cdot 3 \cdot 2 a4x + \cdots + n(n-1)(n-2)anx^{n-3}
\vdots
f^{(n)}(x) = n(n-1)(n-2) \cdots (2)(1)a_n
Σειρά Maclaurin (συνέχεια)
Υπολογίζοντας αυτές τις παραγώγους στο \chi = 0 έχουμε ότι:
f'(0) = a1, f''(0) = 2a2, f'''(0) = 3 \cdot 2 a3, \dots, f^{(n)}(0) = n(n-1)(n-2) \cdots (2)(1)anΕάν υιοθετήσουμε το σύμβολο n! \equiv n(n-1)(n-2) \cdots (2)(1) (π.χ. 3! = 3 * 2 * 1 και 0! = 1) τότε μπορούμε να εκφράσουμε τις παραπάνω παραγώγους ως εξής:
a1 = \frac{f'(0)}{1!}, a2 = \frac{f''(0)}{2!}, a3 = \frac{f'''(0)}{3!}, \dots, an = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}
Σειρά Maclaurin (συνέχεια)
Συνεπώς, μπορούμε πλέον να εκφράσουμε την (3.1) ως ένα νέο πολυώνυμο στο οποίο οι συντελεστές εκφράζονται συναρτήσει των παραγώγων, υπολογισμένων στο \chi = 0.
f(x) = \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^nΑυτό το νέο πολυώνυμο, η σειρά Maclaurin της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x), παριστάνει την ανάπτυξη της συνάρτησης f(x) γύρω από το μηδέν.
Σειρά Maclaurin (Γενικά)
Γενικά: Αν μια συνάρτηση f είναι n φορές παραγωγίσιμη στο σημείο x0 = 0, τότε το n-στο Πολυώνυμο Maclaurin Pn(x) είναι ίσο με:
Pn(x) = f(x) \approx \frac{f(0)}{0!}x^0 + \frac{f'(0)}{1!}x^1 + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \implies Pn(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^kΣημείωση: f_0(0) = f(0)
Παράδειγμα 1
Να βρεθεί η σειρά Maclaurin της συνάρτησης f(x) = 2 + 4x + 3x^2
Λύση:
Αρχικά έχουμε ότι: f'(x) = 4 + 6x και f''(x) = 6
Επίσης, f'(0) = 4 και f''(0) = 6
Εφαρμόζοντας τον τύπο της σειράς Maclaurin έχουμε ότι:
f(x) \approx \frac{f(0)}{0!}x^0 + \frac{f'(0)}{1!}x^1 + \frac{f''(0)}{2!}x^2 = 2 + 4\chi + 3x^2Συνεπώς, η σειρά Maclaurin παριστάνει πράγματι τη δεδομένη συνάρτηση.
Παράδειγμα 2
α) Βρείτε το 3ου και nου βαθμού Πολυώνυμο Maclaurin για την f(x) = e^x, όταν το x είναι κοντά στο 0.
β) Με βάση το τελευταίο, δώστε τον προσεγγιστικό τύπο του e.
Λύση:
α) Από τον γενικό τύπο του Πολυώνυμου Maclaurin, έχουμε:
P_3(x) = f(x) \approx \frac{f(0)}{0!}x^0 + \frac{f'(0)}{1!}x^1 + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 \implies e^x \approx \frac{e^0}{1}x^0 + \frac{e^0}{1!}x + \frac{e^0}{2!}x^2 + \frac{e^0}{3!}x^3 \implies e^x \approx 1 + \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3
Παράδειγμα 2 (συνέχεια)
Από τον γενικό τύπο του Πολυώνυμου Maclaurin, έχουμε:
Pn(x) = f(x) \approx \frac{f(0)}{0!}x^0 + \frac{f'(0)}{1!}x^1 + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \implies e^x \approx \frac{e^0}{0!}x^0 + \frac{e^0}{1!}x^1 + \frac{e^0}{2!}x^2 + \frac{e^0}{3!}x^3 + \cdots + \frac{e^0}{n!}x^n \implies e^x \approx 1 + \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \cdots + \frac{1}{n!}x^n = \sum{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}β) Για x = 1:
e^1 \approx 1 + x + \frac{1}{2}1^2 + \frac{1}{3!}1^3 + \cdots + \frac{1}{n!}1^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}
Σειρά Taylor
Γενικότερα, μια συνάρτηση μπορεί να αναπτυχθεί γύρω από ένα οποιοδήποτε σημείο x_0, όχι απαραίτητα το μηδέν.
Συνεπώς: Αν η συνάρτηση f είναι n φορές παραγωγίσιμη στο σημείο x0, τότε το n-στο Πολυώνυμο Taylor Pn(x) είναι ίσο με:
Pn(x) = f(x) \approx \frac{f(x0)}{0!}(x - x0)^0 + \frac{f'(x0)}{1!}(x - x0) + \frac{f''(x0)}{2!}(x - x0)^2 + \frac{f'''(x0)}{3!}(x - x0)^3 + \cdots + \frac{f^n(x0)}{n!}(x - x0)^n = \sum{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x0)}{k!}(x - x0)^kΔιαπιστώνουμε ότι η σειρά Taylor διαφέρει από τη σειρά Maclaurin στην αντικατάσταση του μηδενός από το x0 ως σημείο ανάπτυξης και στην αντικατάσταση του x από την έκφραση x - x0.
Θεώρημα Taylor
Δεδομένης μιας τυχαίας συνάρτησης f(x), εάν γνωρίζουμε την τιμή της συνάρτησης στο x = x0 (δηλαδή την f(x0)) και τις τιμές των παραγώγων της στο x0 (δηλαδή f'(x0), f''(x0), κ.ο.κ.) τότε η συνάρτηση αυτή μπορεί να αναπτυχθεί γύρω από το σημείο x0 ως εξής:
f(x) = \frac{f(x0)}{0!}(x - x0)^0 + \frac{f'(x0)}{1!}(x - x0) + \frac{f''(x0)}{2!}(x - x0)^2 + \frac{f'''(x0)}{3!}(x - x0)^3 + \cdots + \frac{f^n(x0)}{n!}(x - x0)^n + R_n(x)Το Rn(x) ονομάζεται υπόλοιπο και η παρουσία του οφείλεται στο γεγονός ότι η f(x) είναι μια τυχαία συνάρτηση η οποία δεν μπορεί να πάντα να μετασχηματιστεί ακριβώς στην πολυωνυμική μορφή της 4.1. Συνεπώς, το Rn(x) συνιστά ένα μέτρο σφάλματος της προσέγγισης και ισούται με:
Θεώρημα Taylor (συνέχεια)
Rn(x) = \frac{f^{(n+1)}(p)}{(n+1)!}(x - x0)^{n+1}, με το p να είναι ένας αριθμός μεταξύ του x (του σημείου θέλουμε να υπολογίσουμε την τυχαία συνάρτηση f) και του x_0 (του σημείου που αναπτύσσουμε τη συνάρτηση f).
Παράδειγμα
Αναπτύξτε τη δευτεροβάθμια εξίσωση f(x) = 5 + 2x + x^2 γύρω από το x_0 = 1 με n = 1.
Λύση: Με εφαρμογή του τύπου 5.1 έχουμε ότι
$$f(x) = \frac{f(1)}{0!}(x - 1)^0 + \frac{f'(1)}{1!}(x - 1) +