Στοχαστικές Ανελίξεις – Πυκνότητα φάσματος ισχύος και μετάδοση μέσω γραμμικού φιλτρου

Μετάδοση στοχαστικής ανέλιξης μέσω γραμμικού φιλτρου

• Ορισμός: y(t) = ∫ h(τ) x(t − τ) dτ
  $y(t) = \int h(\tau) \; x(t-\tau) \; d\tau$
• Μέση τιμή εξόδου:
  $E{y(t)} = \int h(\tau) \, E{x(t-\tau)} \, d\tau = \int h(\tau) \, m<em>x(t-\tau) \, d\tau$ όπου mx(t) = E{x(t)}.
• Σημαντικά σημεία:
  • Αν η μέση τιμή εισόδου είναι πεπερασμένη και το σύστημα σταθερό, τότε η συμπεριφορά της πλήρους εξόδου εξαρτάται από το DC gain (H(0)).
  • Αν η εισροή στοχαστικής ανέλιξης είναι στάσιμη με την ευρεία έννοια, το H(0) είναι η απόκριση στο μηδενικό συχνότητας.

Αυτοσυσχέτιση εξόδου

• Ορισμός εξόδου:
  Ry(t,u) = E{y(t) y(u)} = E\Big{\Big[ \int h(\alpha) x(t-\alpha) d\alpha \Big] \Big[ \int h(\beta) x(u-\beta) d\beta \Big]} ⇒ $R</em>y(t,u) = \int\int h(\alpha) h(\beta) \, E{x(t-\alpha) x(u-\beta)} \, d\alpha d\beta$
• Μετρώνται οι σχέσεις για την αυτοσυσχέτιση του εισόδου:
  Εάν η εισαγωγή είναι στάσιμη με την ευρεία έννοια, και ορίζουμε Rx(τ) = E{x(t) x(t+τ)}, τότε $E{x(t-\alpha) x(u-\beta)} = R</em>x((u- t) + (\alpha - \beta))$
  Άρα
  $R<em>y(t,u) = \int\int h(\alpha) h(\beta) \, R</em>x((u- t) + (\alpha - \beta)) \, d\alpha d\beta$
• Αν το εισερχόμενο σήμα είναι WSS (wide-sense stationary), τότε η έξοδος είναι επίσης WSS και
  $R<em>y(\tau) = \int\int h(\alpha) h(\beta) \, R</em>x(\tau + \alpha - \beta) \, d\alpha d\beta$
  όπου \tau = t - u.

Μέση τετραγωνική τιμή εξόδου

• Για έξοδο y(t):
  $E{y^2(t)} = R_y(0)$
• Μέσω μετασχηματισμού Fourier της αυτοσυσχέτισης εισόδου:
  • Θεμελιώδες αποτέλεσμα: η μέση τετραγωνική τιμή εξόδου ισούται με το ολοκλήρωμα όλων των συχνοτήτων της φασματικής πυκνότητας της εισόδου πολλαπλασιασμένη με το τετράγωνο της συνάρτησης μεταφοράς.
  • Δηλαδή,
    $E{y^2(t)} = \int<em>{-\infty}^{\infty} S</em>{xx}(f) \, |H(f)|^2 \, df$
• Αυτή η σχέση είναι το βασικό αποτέλεσμα για ένα γραμμικό, χρονικά αμετάβλητο φίλτρο με στάσιμη είσοδο.

Πυκνότητα φάσματος ισχύος (PSD)

• Ορισμός:
  $S<em>{xx}(f) = \mathcal{F}{R</em>{xx}(\tau)} = \int<em>{-\infty}^{\infty} R</em>{xx}(\tau) \; e^{-j 2\pi f \tau} \, d\tau$
  όπου R_{xx}(\tau) = E{x(t) x(t+\tau)}.
• Φυσική σημασία: κατανοεί πού αποδίδεται η μέση ισχύς του εισόδου σε συχνότητες.
• Μετάδοση μέσω φίλτρου: $S<em>{yy}(f) = |H(f)|^2 \, S</em>{xx}(f)$
  • Επομένως,
    $E{y^2(t)} = \int<em>{-\infty}^{\infty} S</em>{yy}(f) \, df = \int<em>{-\infty}^{\infty} S</em>{xx}(f) \, |H(f)|^2 \, df$
• Πώς προέκυψε αυτό:
  • Η απόκριση στο πεδίο της συχνότητας είναι H(f) = \mathcal{F}{h(t)}.
  • Η συνάρτηση μεταφοράς διευκολύνει τη μεταφορά της ισχύος από το εύρος συχνοτήτων εισόδου στο εύρος εξόδου μέσω του καθορισμένου μετασχηματισμού.

Πυκνότητα φάσματος ισχύος – φυσική σημασία

• Για ένα σήμα x(t) με PSD S{xx}(f), η ενέργεια που περιέχεται σε ένα μικρό εύρος συχνοτήτων [f, f+Δf] είναι περίπου S{xx}(f) Δf.
• Παράδειγμα φυσικής σημασίας: Αν η φασματική πυκνότητα είναι πρακτικά σταθερή σε ένα μικρό εύρος γύρω από τη συχνότητα fc, τότε η μέση ισχύς σε αυτό το εύρος είναι περίπου 2 fc Δf S{xx}(fc).
• Αυτή η αντίληψη βοηθά στην κατανόηση της κατανομής ισχύος σε ένα σήμα με συγκεκριμένο κέντρο συχνότητας.

Παράδειγμα 1 – Συνημίτονο με τυχαία φάση Θ

• Έστω x(t) = A cos(2π f_c t + Θ) με Θ ~ U[0, 2π].
• Αυτοσυσχέτιση:
  $R<em>{xx}(\tau) = \frac{A^2}{2} \cos(2\pi f</em>c \tau)$
• Πυκνότητα φάσματος ισχύος:
  $S<em>{xx}(f) = \frac{A^2}{4} [ \delta(f - f</em>c) + \delta(f + f_c) ]$
• Παρατηρήσεις:
  • Το PSD αποτελεί δύο γραμμές ανάλογα με τις συχνότητες ±f_c.
  • Η μόνιμη φάση Θ μετακινεί τις γραμμές στο φάσμα χωρίς να αλλάζει το ύψος των γραμμών σε σχέση με τη μέση ισχύ.

Παράδειγμα 2 – Διαμόρφωση τυχαίου σήματος (τυχαία φάση)

• Διαμόρφωση ενός τυχαία φασματικού σήματος με αρμονικό συντονιστικό φάσμα: x(t) = cos(2π f_c t + Θ) όπου Θ είναι τυχαία μεταβλητή.
• Τυπικά αποτελέσματα:
  • Το PSD μετακινεί γραμμές στο f = ±fc, και η μορφή του S{yy}(f) από αυτό το φαινόμενο εξαρτάται από το H(f) και από τη φύση της διαμόρφωσης.
  • Για ένα απλό μηδενικό επίπεδο συνάρτησης μεταφοράς, η σχέση
    $S<em>{yy}(f) = S</em>{xx}(f - f<em>c) + S</em>{xx}(f + f_c)$
    περιγράφει τη μετατόπιση του φάσματος λόγω της αρμονικής διαμόρφωσης.

Σχέση εισόδου-εξόδου – Φίλτρο χτένι (comb filter)

• Γενικά, για LTI φίλτρα:
  $S<em>{yy}(f) = |H(f)|^2 \, S</em>{xx}(f)$
• Με ειδικούς τύπους φίλτρων (π.χ. comb filters), το μετασχηματισμένο φάσμα παρουσιάζει περιοδικότητα ή διακριτές γραμμές που εξαρτώνται από το H(f).

Ετεροφασματική πυκνότητα (Cross-spectral density)

• Ορισμός:
  $S<em>{xy}(f) = \mathcal{F}{R</em>{xy}(\tau)} = \int<em>{-\infty}^{\infty} R</em>{xy}(\tau) \, e^{-j 2\pi f \tau} \, d\tau$
  όπου R_{xy}(\tau) = E{x(t) y(t+\tau)}.
• Ιδιότητες:
  • Rx(\tau) = Ryx(-\tau) ⇒ S{xy}(f) = S{yx}(-f).
  • Για ένα σήμα x και έξοδο y = x * h, ισχύει:
    $S<em>{xy}(f) = H^*(f) \, S</em>{xx}(f)$
    $S<em>{yx}(f) = H(f) \, S</em>{xx}(f)$
• Επίδραση της συνάρτησης μεταφοράς στο cross-PSD, με τη μετατροπή της εισόδου στον όμοιο χώρο συχνοτήτων.

Παράδειγμα – Cross-PSD σε ζεύγος σημάτων

• Έστω z(t) = x(t) + y(t) όπου τα x και y είναι στάσιμα με την ευρεία έννοια και E{x(t)} = E{y(t)} = 0.
• Η φασματική πυκνότητα του z είναι:
  $S<em>{zz}(f) = S</em>{xx}(f) + S<em>{xy}(f) + S</em>{yx}(f) + S_{yy}(f)$
• Αν τα σήματα είναι ασυσχέτιστα, τότε
  $S<em>{zz}(f) = S</em>{xx}(f) + S_{yy}(f)$

Παράλληλα συστήματα – ετεροφασματικές πυκνότητες

• Δυο γραμμικά χρονικά αμετάβλητα φίλτρα H1(f) και H2(f) δέχονται το ίδιο είσοδο x(t). Οι έξοδοι είναι y(t) = h1 * x(t) και z(t) = h2 * x(t).
• Cross-PSD μεταξύ των εξόδων:
  $S<em>{yz}(f) = H1(f) \, H2^{*}(f) \, S</em>{xx}(f)$
• Γενικότερα, η τροποποίηση του E{ v(t) z(u) } σε σχέση με την εισόδου εξαρτάται από τα H1 και H2.

Παράδειγμα – άθροισμα σημάτων

• Αν z(t) = x(t) + y(t) και τα x, y είναι ασυσχέτιστα, τότε η συνολική PSD είναι:
  $S<em>{zz}(f) = S</em>{xx}(f) + S_{yy}(f)$
  removing cross terms in the uncorrelated case.

Σημειώσεις γι’ exam

• Θέματα κλειδιά:
  • Ορισμοί: Rxx(τ), Sxx(f), H(f), y(t), x(t).
  • Σχέσεις μεταξύ του PSD εξόδου και εισόδου: S{yy}(f) = |H(f)|^2 S{xx}(f).
  • Cross-PSD: S{xy}(f) = H^*(f) S{xx}(f); S{yx}(f) = H(f) S{xx}(f).
  • Αυτοσυσχέτιση εξόδου: Ry(τ) = ∫∫ h(α) h(β) Rx(τ + α − β) dα dβ.
  • Παράδειγμα με δέσμες φάσματος: δύο δέσμες στο S{xx}(f) και μετατόπιση σε S{yy}(f) υπό διαμόρφωση.
• Επικαιροποίηση- εφαρμογές: ανάλυση σήματος σε φάσμα, διαχείριση θορύβου, σχεδίαση φίλτρων με σκοπό τη μείωση/εστίαση ισχύος σε συγκεκριμένες συχνότητες.