Analisi Econometrica: Dati, Modelli e Test Statistici

Classificazione dei Dati: Quantitativi vs Qualitativi

• Dati Quantitativi

  • Si tratta di dati facilmente misurabili e quantificabili attraverso specifiche unità di misura.
  • Esempi descritti:
    • Reddito (espresso in euro o migliaia di euro).
    • Prezzo (espresso in euro o dollari).
    • Indicatori di performance aziendale come il ROE (Return on Equity) e il ROA (Return on Assets), espressi in percentuali.
    • Dimensione aziendale, misurata tramite il numero di lavoratori o il logaritmo del totale attivo.

• Dati Qualitativi

  • Riguardano caratteristiche intrinseche più complesse da misurare numericamente in modo diretto.
  • Esempi descritti: Genere, livello di istruzione, variabili percettive.
  • Metodologia di misurazione:
    • Variabili Dummy (dicotomiche): Possiedono solo 2 categorie o classi (ad esempio 0 o 1).
    • Variabili Categoriali: Possiedono più di 2 categorie o classi.

Tipologie di Dataset in Econometria

• Cross-section (Dati trasversali)

  • Raccolgono dati su varie entità o unità (individui, imprese, lavoratori, paesi) in un singolo istante temporale ($T = 1$).
  • Dimensione: $N \times 1$, dove $N$ indica il numero di entità.
  • Esempio 1: Studio del PIL di 30 paesi OCSE nell'anno 2021 ($N = 30$, $T = 1$). Questo genera un vettore di dimensione $(30 \times 1)$.
  • Esempio 2: Studio dello stipendio di 100 lavoratori nell'anno 2018 considerando il genere tramite una variabile dummy ($1$ se femmina, $0$ altrimenti).

• Serie Storiche (Time Series)

  • Dati indicizzati in ordine temporale naturale, costituiti da osservazioni raccolte a intervalli di tempo discreti e regolari.
  • Differenza chiave: A differenza dei dati trasversali, nelle serie storiche l'ordinamento cronologico è fondamentale per l'analisi.
  • Operazioni comuni: Differenze prime, ritardi (lags) e tassi di variazione.

• Panel (Dati Longitudinali)

  • Dataset multidimensionale in cui si osservano molteplici entità ($N$) che cambiano nel corso del tempo ($T$).
  • Dimensioni: Richiede almeno due periodi di tempo ($T \geq 2$); la dimensione totale è $N \times T$.
  • Panel Bilanciato: Tutti i partecipanti sono osservati costantemente per l'intera durata dello studio.
  • Panel Sbilanciato: Include partecipanti osservati solo parzialmente, con conseguenti lacune nei dati.
  • Distinzione dai Pooled Cross-sections: I dati panel tracciano gli stessi soggetti nel tempo, mentre i dati aggregati (pooled) combinano osservazioni di soggetti diversi in vari punti temporali trattandole come indipendenti.

Assunzioni e Proprietà degli Stimatori OLS (Minimi Quadrati Ordinari)

• Le 3 Assunzioni Fondamentali (Regressione Semplice)

  1. Media Condizionata Zero: La distribuzione dell'errore $u$ data $X$ ha media zero: $E(u_i | X_i = x) = 0$. Ciò implica che non vi sia correlazione tra il regressore e l'errore ($corr(x_i, u_i) = 0$).
  2. i.i.d.: Le coppie $(X_i, Y_i)$ per $i = 1, \dots, n$ sono indipendentemente e identicamente distribuite. Questa condizione è soddisfatta se i dati sono raccolti tramite campionamento casuale.
  3. Assenza di Outlier estremi: Gli outlier di grandi dimensioni sono rari; la presenza di valori anomali può distorcere pesantemente le stime OLS.

• Proprietà degli Stimatori

  • Quando le tre assunzioni sono rispettate, gli stimatori $\hat{\beta}_0$ e $\hat{\beta}_1$ sono non distorti (unbiased).
  • Teorema del Limite Centrale: Per campioni sufficientemente grandi, la distribuzione campionaria degli stimatori è approssimativamente normale, indipendentemente dalla distribuzione originale dell'errore.
  • Accuratezza e Dimensione Campionaria ($N$):
    • Al crescere di $N$, l'incertezza associata alla varianza degli stimatori diminuisce.
    • Un aumento di $N$ porta a valori più bassi per $\text{var}(\hat{\beta}_0)$ e $\text{var}(\hat{\beta}_1)$.
    • La distribuzione si concentra maggiormente attorno ai veri parametri della popolazione (maggiore precisione).

Verifica delle Ipotesi (Hypothesis Testing)

• Incertezza Campionaria: Poiché i dati provengono da un campione e non dall'intera popolazione, esiste sempre un grado di incertezza misurato dall'Errore Standard (SE).

  • $SE(\hat{\beta}_1) = \sqrt{\text{varianza stimata di } \hat{\beta}_1}$.
  • Un SE piccolo indica una stima precisa; un SE grande indica una stima imprecisa.

• L'Ipotesi Nulla ($H_0$)

  • Rappresenta la convinzione mantenuta valida fino a prova contraria dall'evidenza campionaria.
  • Formulazione tipica: $H_0 : \beta_1 = \beta_{1,0}$.
  • Test di Significatività: Caso comune in cui si pone $\beta_{1,0} = 0$ (l'ipotesi che la variabile $X$ non abbia impatto su $Y$).

• L'Ipotesi Alternativa ($H_1$)

  • Test Bilaterale (Due code): $H_1 : \beta_k \neq c$. Si usa quando si cerca una differenza generica, senza specificarne la direzione.
  • Test Unilaterale (Una coda):
    • $H_1 : \beta_k > c$ (direzione positiva).
    • $H_1 : \beta_k < c$ (direzione negativa).

• La Statistica-t

  • Si calcola come: $t = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_{1,0}}{SE(\hat{\beta}_1)}$.

• Regione di Rifiuto e Valori Critici

  • Se il valore $t$ calcolato cade nella regione di rifiuto, si rigetta $H_0$.
  • Livello di Significatività ($\alpha$): Probabilità di commettere un Errore di Tipo I (rifiutare $H_0$ quando è vera). Valori comuni: $1\%$, $5\%$, $10\%$.
  • Per un test bilaterale al $5\%$, i valori critici sono $\pm 1,96$. Se $|t_{loss}| > 1,96$, si rifiuta l'ipotesi nulla.

• Tipi di Errore

  • Tipo I: Rifiutare $H_0$ vera ($P(\text{Errore di Tipo I}) = \alpha$).
  • Tipo II: Non rifiutare $H_0$ falsa.

P-value e Intervalli di Confidenza

• P-value

  • Definizione: Probabilità di ottenere una statistica test almeno tanto estrema quanto quella osservata, assumendo che $H_0$ sia vera.
  • Regola decisionale:
    • Se $p \leq \alpha \rightarrow$ Rifiuta $H_0$.
    • Se $p > \alpha \rightarrow$ Non rifiutare $H_0$.
  • Soglie comuni in software come R:
    • $p < 0,01 \rightarrow$ Rifiuto all'$1\%$ (segnalato con ***).
    • $p < 0,05 \rightarrow$ Rifiuto al $5\%$ (segnalato con *).
    • $p < 0,10 \rightarrow$ Rifiuto al $10\%$ (segnalato con .).

• Intervallo di Confidenza (CI)

  • L'intervallo che contiene il vero valore del parametro della popolazione una determinata percentuale di volte (es. $95\%$) in caso di campionamenti ripetuti.
  • Formula per un CI al $95\%$:         $\hat{\beta}_1 \pm 1,96 \times SE(\hat{\beta}_1)$

Applicazione Pratica: Il Modello CAPM

• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) utilizza la regressione per analizzare i titoli finanziari.
• Parametri chiave:
  • Beta ($\beta$): Misura il rischio sistematico dell'asset rispetto al mercato.
    • $\beta < 1$: Titolo difensivo (meno rischioso del mercato).
    • $\beta > 1$: Titolo aggressivo (più rischioso del mercato).
  • Alfa di Jensen ($\alpha$): Rappresenta il rendimento anomalo.
    • $\alpha > 0$: Sovraperformance.
    • $\alpha < 0$: Sottoperformance.
    • $\alpha = 0$: La performance è spiegata interamente dal rischio indicato dal beta.

Eteroschedasticità vs Omoschedasticità

• Omoschedasticità: La varianza dell'errore condizionata a $X$ è costante: $\text{var}(u | X = x) = \sigma^2$.
• Eteroschedasticità: La varianza dell'errore non è costante: $\text{var}(u | X = x) \neq \sigma^2$.
• Conseguenze dell'Eteroschedasticità:
  • Gli stimatori OLS rimangono non distorti e consistenti.
  • Gli Errori Standard ($SE$) sono errati.
  • I test-t e gli intervalli di confidenza non sono più affidabili.
  • Lo stimatore OLS non è più BLUE (Best Linear Unbiased Estimator).
• Rimedi:
  • Utilizzo di Errori Standard Robusti (es. HC0, HC1, HAC per le serie storiche).
  • Test di rilevazione: Test di Breusch-Pagan e Test di White.

Teorema di Gauss-Markov

• Lo stimatore OLS è il migliore tra tutti gli stimatori lineari non distorti (BLUE) se valgono le 5 assunzioni:
  1. Modello lineare nei parametri.
  2. Campionamento casuale (i.i.d.).
  3. Assenza di collinearità perfetta.
  4. Omoschedasticità (Varianza costante dell'errore).
  5. Assenza di autocorrelazione degli errori.
• "Migliore" significa che ha la varianza più piccola tra tutti i possibili stimatori lineari non distorti.

Regressione Multipla e Distorsione da Variabile Omessa

• Modello Generale:$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \dots + \beta_k X_{ki} + u_i$

• Coefficiente di regressione parziale ($\beta_k$): Misura l'effetto di una variazione in $X_k$ su $Y$, mantenendo costanti (ceteris paribus) tutti gli altri regressori nel modello.

• Distorsione da Variabile Omessa (Omitted Variable Bias - OVB)

  • Si verifica quando una variabile rilevante ($Z$) viene esclusa dal modello.
  • Due condizioni per OVB:
    1. $Z$ è un determinante di $Y$ (influenza direttamente la variabile dipendente).
    2. $Z$ è correlata con il regressore $X$ incluso nel modello.
  • Esempio: Relazione tra punteggio nei test ($Y$) e rapporto studenti-insegnanti ($X$). Se si omette la percentuale di studenti non madrelingua ($Z$), la stima di $\beta_1$ sarà distorta perché $Z$ influenza i punteggi ed è correlata con le risorse scolastiche.

Misurazione della Bontà dell'Adattamento (Goodness-of-fit)

• R-quadrato ($R^2$): Proporzione della varianza di $Y$ spiegata dai regressori $X$.
  • Problema: L'$R^2$ aumenta sempre all'aggiunta di nuovi regressori, anche se irrilevanti.
• R-quadrato Corretto (Adjusted $R^2$): Introduce una penale per l'aggiunta di variabili.
  • Aumenta solo se il nuovo regressore migliora il modello più di quanto ci si aspetterebbe per caso.
  • È sempre inferiore all'$R^2$ standard.
• Criteri di Informazione (AIC e BIC/SC):
  • Utilizzati per confrontare modelli con la stessa variabile dipendente.
  • Si preferisce il modello che minimizza i valori di AIC e BIC.

Collinearità Perfetta e Imperfetta

• Collinearità Perfetta: Un regressore è una combinazione lineare esatta di altri regressori.
  • Esempio: La trappola delle dummy. Accade se si includono tutte le categorie di una variabile dummy insieme all'intercetta.
  • Conseguenza: Il software esclude automaticamente una variabile perché il modello non può essere stimato.
• Collinearità Imperfetta: Due o più regressori sono altamente correlati tra loro.
  • Conseguenza: Gli errori standard aumentano sensibilmente, rendendo le stime imprecise.
  • Misurazione: VIF (Variance Inflation Factor). Valori di VIF $> 10$ indicano multicollinearità problematica.

Autocorrelazione dei Residui

• Comune nelle Serie Storiche dove le osservazioni successive sono correlate ($cov(u_t, u_{t-1}) \neq 0$).
• Test di Durbin-Watson (DW):
  • Verifica l'autocorrelazione di primo ordine.
  • Statistica compresa tra $0$ e $4$.
  • $DW \approx 2$: Assenza di autocorrelazione.
  • $DW < 2$: Autocorrelazione positiva.
  • $DW > 2$: Autocorrelazione negativa.
• Rimedi: Utilizzo di errori standard HAC (Newey-West), inclusione di valori ritardati (lags) o differenze prime.

Test F per Ipotesi Congiunte

• Si usa per testare restrizioni multiple (es. $H_0 : \beta_1 = 0 \text{ e } \beta_2 = 0$).
• L'approccio "coefficiente per coefficiente" con i test-t non è valido perché la probabilità di commettere un Errore di Tipo I aumenterebbe oltre il livello stabilito (es. diventerebbe circa il $9,75\%$ invece del $5\%$).
• Il Test F confronta un modello non restrittivo (completo) con un modello restrittivo (dove i coefficienti sotto verifica sono posti a zero).
• Test di Significatività Globale: Un caso particolare di test F dove si verifica se almeno uno dei coefficienti (esclusa l'intercetta) sia diverso da zero.

Modelli di Regressione Non Lineare

• Funzioni Polinomiali: Includono termini come $X^2$ o $X^3$ per catturare relazioni curve. L'effetto marginale cambia a seconda del valore di $X$.
• Modelli Logaritmici:
  1. Linear-Log ($Y_i = \beta_0 + \beta_1 \ln(X_i) + u_i$): Un aumento dell'$1\%$ in $X$ è associato a una variazione media di $0,01 \times \beta_1$ unità in $Y$.
  2. Log-Linear ($\ln(Y_i) = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$): Un aumento unitario in $X$ associato a una variazione percentuale media del $100 \times \beta_1 \%$ in $Y$.
  3. Log-Log ($\ln(Y_i) = \beta_0 + \beta_1 \ln(X_i) + u_i$): Un aumento dell'$1\%$ in $X$ è associato a una variazione percentuale media del $\beta_1 \%$ in $Y$ (elasticità).

Termini di Interazione

• Permettono di modellare come l'effetto di un regressore dipenda dal valore di un altro.
• Interazione Dummy-Continua: Consente di avere rette con pendenze e intercette diverse per gruppi differenti (es. l'effetto dell'istruzione può differire tra maschi e femmine).
• Interazione Continua-Continua: L'effetto marginale di una variabile è funzione dell'altra variabile. Se $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 (X_1 \times X_2)$, l'effetto di una variazione unitaria in $X_1$ è $\beta_1 + \beta_3 X_2$.