Fysikk Kap 2 (Krumlinjet Bevegelse)

Kast i tyngdefeltet

Kastebevegelse i to dimensjoner: Når en gjenstand, som en ball, kastes på skrå oppover, utføres et arbeid som gir den en startfart med en bestemt retning. Denne startfarten beskrives som en vektor, $\vec{v}_0$ .
Dekomponering av startfart: Startvektoren kan deles inn i to komponenter:
- Vannrett retning ( $x$ -retning): $v_{0x}=v_0\cdot\cos\theta$
- Loddrett retning ( $y$ -retning): $v_{0y}=v_0\cdot\sin\theta$
Posisjon og koordinatsystem: Posisjonen til en gjenstand i krumlinjet bevegelse beskrives med $(x, y)$ -koordinater. Ved tidspunktet $t = 0$ har ballen posisjonen $(x_0, y_0)$ .
Bevegelseslikninger (Parameterframstilling): Ved konstant akselerasjon i begge retninger ( $a_x$ og $a_y$ ) kan posisjonen ved tidspunktet $t$ regnes ut som:
- $x = \frac{1}{2}a_x t^2 + v_{0x} t + x_0$
- $y = \frac{1}{2}a_y t^2 + v_{0y} t + y_0$
- Tiden $t$ fungerer her som en parameter.
Kast i fritt fall (Forenkling): Hvis vi ser bort fra luftmotstand, virker bare tyngdekraften $\vec{G} = m \vec{g}$ loddrett nedover.
- Vannrett akselerasjon: $a_x = 0$
- Loddrett akselerasjon: $a_y = -g$ (der positiv retning er valgt oppover).
- Hvis bevegelsen starter i origo ( $x_0 = 0, y_0 = 0$ ), forenkles formlene til:
- $x = v_{0x} t$
- $y = -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y} t$
Vannrett kast: I et rent vannrett kast er $v_{0y} = 0$ og $v_{0x} = v_0$ .
Skrått kast: Startfarten dekomponeres ved hjelp av vinkelen $\theta$ med horisontalplanet:
- $v_{0x} = v_0 \cos(\theta)$
- $v_{0y} = v_0 \sin(\theta)$
Fartskomponenter i banen: Spesifikke verdier for fart finnes ved å derivere posisjonsuttrykkene:
- $v_x = x'(t) = v_{0x}$
- $v_y = y'(t) = -gt + v_{0y}$
- Vannrett fart $v_x$ forblir konstant i fritt fall.
Banefart og retning:
- Banefart (absoluttverdi): $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
- Fartsretning: $\tan(\theta) = \frac{v_y}{v_x}$

Simuering og luftmotstand i to dimensjoner

Krefter ved luftmotstand: Når luftmotstand inkluderes, virker to krefter på gjenstanden:
- Tyngdekraften ( $\vec{G}$ ), som virker rett nedover.
- Luftmotstanden ( $\vec{L}$ ), som virker i motsatt retning av fartsretningen.
Vektorer i Python: For å regne i to dimensjoner brukes arrays (vektorer) i Python:
- Definisjon: v = array([1, 3]).
- Lengde (norm): norm(v).
- Indeksering: v[0] er $x$ -komponenten, v[1] er $y$ -komponenten.
Enhetsvektor: For å sikre at luftmotstanden alltid peker mot farten, brukes en enhetsvektor for fart: $\vec{e}_v = \frac{\vec{v}}{v}$ . I Python: e_v = v/norm(v).
Modell for luftmotstand: Kraften kan modelleres som $L = -k v^2 \vec{e}_v$ .
Simuleringsløkke (Euler-metoden): Programmet oppdaterer fart og posisjon i små tidssteg $dt$ :
- v = v + a(v) * dt
- r = r + v * dt
- Akselerasjonen beregnes fra kraftsummen: $\text{aks} = \frac{\vec{G} + \vec{L}}{m}$ .
Eksempel Baseball (Eksempel 3):

$v_0 = 42,7\,m/s$
$\theta = 40^\circ$
$k = 1,31 \times 10^{-3}\,kg/m$
$m = 0,145\,kg$
starthøyde $1,20\,m$ .
Maksimal høyde ( $v_y = 0$ ): Ca. $26\,m$ .
Horisontal rekkevidde til ballen fanges på $2,10\,m$ : Ca. $88\,m$ .

from pylab import *

# konstanter
m = 0.145            # massen av gjenstanden, kg
k = 1.31*10**(-3)    # luftmotstandstallet, kg/m
g = 9.81             # tyngdeakselerasjon, m/s**2
v0 = 42.7            # startfart, m/s
y0 = 1.20            # starthøyde, m
theta = radians(40)  # konverterer vinkelen til radianer

# konstante krefter
G = array([0, -m*g]) #tynden i N

# Variable krefter, utregning av kraftsum og akselerasjon 
def a(v):                       # akselerasjonsfunksjon
    e_v = v/norm(v)             # enhetsvektor for farten
    L = -k*norm(v)**2 * e_v     # luftmotstandsvektor, N
    sum_F = G + L               # vektorsummen av kreftene, N
    aks = sum_F/m               # akselerasjonsvektroen, m/s**2
    return aks

# Startverdier for bevegelsen 
r = array([0, y0])                              # startposisjon, m
v = array([v0*cos(theta), v0*sin(theta)])	# startfart, m/s
t = 0						# starttid, s

# Lister for lagring av verdier 
r_liste = [r]
v_liste = [v]

# Simulering av bevegelsen 
dt = 0.001                           # tidssteg i simuleringen, s

while r[1] >= 0:                     # stopper når y = 0
	v = v + a(v)*dt	             # regner ut neste fartsvektor
	r = r + v*dt                 # regner ut neste posisjonsvektor
	t = t + dt                   # går til neste tidspunkt

	# Lagring av 2D-verdier i lister 
	r_liste = concatenate([r_liste, [r]])
	v_liste = concatenate([v_liste, [v]])

# Tegning av graf 
plot(r_liste[:,0], r_liste[:,1])            # lager grafen
title("Skrått kast med luftmotstand")       # tittel på grafen
xlabel("$x$ / m")                           # x-akse-tittel
ylabel("$y$ / m")                           # y-akse-tittel
grid()                                      # legger til rutenett
show()                                      # viser grafen

Krumlinjet bevegelse og akselerasjon

Posisjons- og forflytningsvektorer:
- Posisjon relativt til et punkt $O$ beskrives med $\vec{s}$ .
- Forflytning: $\Delta \vec{s} = \vec{s}_2 - \vec{s}_1$ .
Gjennomsnittsfart: $\bar{\vec{v}} = \frac{\Delta \vec{s}}{\Delta t} = \frac{\vec{s}_2 - \vec{s}_1}{t_2 - t_1}$ . Retningen er den samme som $\Delta \vec{s}$ .
Momentanfart og banefart:
- Momentanfarten peker langs tangenten til banen.
- Banefarten er absoluttverdien av momentanfarten (skalar), som vist på et speedometer.
Akselerasjon på vektorform: Akselerasjon oppstår når fartsvektoren endrer seg i størrelse eller retning.
- Endring i fart: $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ .
- Gjennomsnittsakselerasjon: $\bar{\vec{a}} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ .
Momentanakselerasjonens retning:
- Hvis banefarten øker: Akselerasjonen peker på skrå framover og innover i svingen.
- Hvis banefarten er konstant: Akselerasjonen peker vinkelrett (normalt) innover mot sentrum.
- Hvis banefarten minker: Akselerasjonen peker på skrå bakover og innover.
Newtons 2. lov i sving: For å endre retning kreves en nettokraft $\Sigma \vec{F} = m \vec{a}$ som peker innover i svingen.

Sirkelbevegelse

Definisjoner for sirkelbevegelse:
- Radius: $r$ .
- Omløpstid (periode): $T$ er tiden for én runde.
- Banelengde for én runde: $2\pi r$ .
Banefart i sirkelbane: Ved konstant fart er $v = \frac{2\pi r}{T}$ .
Sentripetalakselerasjon ( $a_s$ ): En akselerasjon som alltid peker inn mot sentrum av sirkelen:
- $a_s = \frac{v^2}{r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$
Sentripetalkraft ( $F_s$ ): Dette er navnet på den komponenten av kraftsummen som peker inn mot sentrum:
- $\Sigma F_s = m a_s = \frac{mv^2}{r} = \frac{m 4\pi^2 r}{T^2}$
Konstant banefart og arbeid: Siden sentripetalkraften står vinkelrett på forflytningen, utfører den ikke noe arbeid ( $W = 0$ ). Derfor endres ikke den kinetiske energien, og banefarten forblir konstant.

Praktiske anvendelser av sirkelbevegelse

Sving uten dossering (vannrett vei): Det er friksjonen $R$ mellom dekk og vei som må levere sentripetalkraften.
- $\Sigma F_x = R = \frac{mv^2}{r}$
- Maksimal fart før skrens: $v = \sqrt{\mu gr}$ , der $\mu$ er friksjonstallet.
Kjeglependel: Et lodd som beveger seg i en horisontal sirkel under et oppheng.
- Snorkraften $S$ dekomponeres: $S_y = mg$ og $S_x = \Sigma F_s = mgtan(\theta)$ .
- Sentripetalakselerasjon: $a_s = g \tan(\theta)$ .
Dossert sving: Veien heller innover med vinkelen $\theta$ . Ved en bestemt fart trengs ingen friksjon fordi normalkraftens vannrette komponent gir nødvendig sentripetalkraft.
- Forhold mellom krefter: $\tan(\theta) = \frac{\Sigma F_s}{G} = \frac{\frac{mv^2}{r}}{mg} = \frac{v^2}{gr}$
- Beregnet fart: $v = \sqrt{gr \tan(\theta)}$ .
Vertikale sirkelbaner (Looper og bakketopper):
- I bunnen av en loop: Normalkraften (eller snorkraften) må motvirke tyngden og i tillegg gi sentripetalakselerasjon oppover: $N = mg + \frac{mv^2}{r}$ .
- I toppen av en loop:
  - Nødvendig sentripetalkraft: $G + N = \frac{mv^2}{r}$ .
  - Minimumsfart for å holde kontakt ( $N \ge 0$ ): $v = \sqrt{gr}$ .
  - Minimum starthøyde for loop med radius $r$ : $h_0 = 2,5r$ (ved energibevaring).
- Over en bakketopp:
  - $G - N = \frac{mv^2}{r}$ .
  - Maksimal fart før bilen letter ( $N = 0$ ): $v = \sqrt{gr}$ .

Strategi for oppgaver (Tenk som en fysiker)

Lag en skisse og velg koordinatsystem (loddrett $y$ -akse er ofte best).
List opp kjente og ukjente størrelser.
Vurder luftmotstand (kan den neglisjeres?).
Bruk parameterframstilling og finn ofte tiden $t$ først.
Husk randbetingelser: I toppunktet av et kast er $v_y = 0$ . I toppen av en loop er $N \ge 0$ .

Formelsamling - Kast i tyngdefeltet

Posisjonsformler for kast: - Formel: $x = \frac{1}{2}a_x t^2 + v_{0x} t + x_0$ $y = \frac{1}{2}a_y t^2 + v_{0y} t + y_0$ - Brukes til: For å regne ut posisjonen til en gjenstand i en kastbevegelse ved tidsintervaller.
- $x, y$ : Posisjon i $x$ - og $y$ -retning - $a_x, a_y$ : Akselerasjon i $x$ - og $y$ -retning - $v_{0x}, v_{0y}$ : Startfart i $x$ - og $y$ -retning - $x_0, y_0$ : Startposisjon i $x$ - og $y$ -retning - $t$ : Tid
Formel for banehastighet: - Formel: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ - Brukes til: For å finne den totale hastigheten til en gjenstand i bevegelse.
- $v$ : Total banehastighet - $v_x$ : Vannrett fart - $v_y$ : Loddrett fart
Akselerasjonsformel: - Formel: $a_y = -g$ - Brukes til: For å angive akselerasjonen under fritt fall, der $g$ representerer tyngdeakselerasjonen.
- $a_y$ : Akselerasjon i $y$ -retning - $g$ : Tyngdeakselerasjon (ca. $9.81 \, m/s^2$ )
Kastformel i fritt fall: - Formel: $y = -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t$ - Brukes til: Beregning av høyden til en gjenstand som kastes opp og faller ned igjen.
- $y$ : Høyde på tidspunkt $t$ - $g$ : Tyngdeakselerasjon - $v_{0y}$ : Startfart i $y$ -retning - $t$ : Tid
Sentripetalakselerasjon ved sirkelbevegelse: - Formel: $a_s = \frac{v^2}{r}$ - Brukes til: For å finne akselerasjonen til et objekt som beveger seg i en sirkelbane.
- $a_s$ : Sentripetalakselerasjon - $v$ : Banefart - $r$ : Radius av sirkelbanen

Andre relevante formler:

Sentripetalkraft: - Formel: $F_s = \frac{mv^2}{r}$ - Brukes til: For å beregne den kraften som er nødvendig for å opprettholde sirkulær bevegelse. - $F_s$ : Sentripetalkraft - $m$ : Masse av objektet - $v$ : Hastighet til objektet - $r$ : Radius av sirkelbanen