7Notes on Group 18: Noble Gases and Gas Laws

General and Inorganic Chemistry: Chapter 7 - Group 18 - Noble Gases

• Course Identification: General and Inorganic Chemistry (21 101a / SS 2026).

• Instructor: Prof. Dr. Sebastian Hasenstab-Riedel.

• Scope: The chapter focuses on the elements of Group 18 of the periodic table: Helium ($He$), Neon ($Ne$), Argon ($Ar$), Krypton ($Kr$), Xenon ($Xe$), and Radon ($Rn$).

Review of Previous Material

• Atomic Shell Structure:

  • Relates the energy levels of the hydrogen atom (M-shell) to multi-electron atoms.

  • The M-shell consists of the subshells $3s$, $3p$, and $3d$.

  • In multi-electron atoms, these subshells split in energy due to electron-electron interactions (with 3s < 3p < 3d in energy).

• X-Rays and Atomic Structure:

  • Generation: Cathode rays (fast electrons from a cathode) strike an anode (metal plate), producing X-rays (electromagnetic waves).

  • Moseley's Law: Shows a linear relationship between the square root of the frequency ($ u$) of characteristic X-rays ($K_{\alpha}$ and $L$ series) and the atomic number ($Z$). This allows for the precise determination of atomic numbers.

  • X-Ray Types:

  • Continuous "Bremsstrahlung" (braking radiation).

  • Characteristic radiation (specific peaks such as $K_{\alpha}$ and $K_{\beta}$).

• Periodic Trends:

  • Ionic Radii: Decreases across a period and increases down a group (e.g., $Li^+ = 76\,pm$, $Be^{2+} = 27\,pm$, $Cs^+ = 167\,pm$).

  • Ionization Energy: Noble gases represent the local maximas of ionization energy in their respective periods due to their stable $s^2 p^6$ electron configurations.

7.1 The Elements and Their Occurrence

• Occurrence:

  • Atmosphere: Noble gases are present in the Earth's atmosphere. Helium ($He$) and Hydrogen ($H_2$) are light enough to diffuse into space over time.

  • Natural Gas: The richest sources of Helium are found in natural gas wells in the USA, where concentrations can reach up to $8\%\text{ by volume}$.

• Extraction (Air Liquefaction):

  • Linde Process: Uses the Joule-Thomson effect to liquefy air.

  • Steps:

  1. Compression: Air is compressed to approximately $200\,bar$, causing it to heat up.

  2. Water Cooling: Heat is removed.

  3. Countercurrent Cooling: Compressed air is further cooled by returning cold air in a heat exchanger.

  4. Expansion: The air expands through a valve (expansion valve to $20\,bar$), cooling significantly until liquefaction occurs.

  • Fractional Distillation: The different boiling points of liquefied air components (Oxygen, Nitrogen, Noble Gases) allow for separation via distillation.

Properties and Characteristics of Group 18

• General Properties: Colorless, odorless, non-flammable, and non-toxic.

• Luftverflüssigung nach Linde: Ein Verfahren zur Verflüssigung von Gasen, das auf einer Reihe von Expansionen und der anschließenden Wärmeisolation basiert, um die Temperatur der Gase unter ihren Siedepunkt zu senken.

• Die Edelgase stehen in der 18. Gruppe des PSE. Sie haben die Valenzelektronenkonfiguration

  s2p6 bzw. s2, also abgeschlossene Elektronenkonfigurationen ohne

  ungepaarte Elektronen. Sie sind daher chemisch sehr inaktiv

• Viele Elemente bilden daher Ionen mit Edelgaskonfiguration und in

  zahlreichen kovalenten Verbindungen besteht die Valenzschale der Atome aus acht

  Elektronen (Oktettregel).

• Bei Zimmertemperatur sind die Edelgase einatomige Gase. Sie sind farblos, geruchlos, ungiftig und unbrennbar. Zwischen den Edelgasatomen existieren nur schwache van-der-Waals-Kräfte. Dementsprechend sind die Schmelzpunkte und Siedepunkte sehr niedrig.

• mit größer werdender Elektronenhülle die Polarisierbarkeit wächst und damit die van-der-Waals-Kräfte (Dispersionseffekt) stärker werden.

• Lichttechnik und die Schweißtechnik照明技術和焊接技術

• He (monoatomic), F2 (diatomic)

  - Ballongas, Forschungsballons

  - He/O2 (10%) – Gemisch: Tiefseetauchen

  - fl. Helium: Kühlmittel (NMR-Spektrometer, Kernspintomographen)

• gelb

  ➢Ne

  - Füllgas von Glühlampen, „Neonröhren“

• rot

• Ar

  - Inertgas (metallurgische Prozesse, Schutzgas beim Schweißen)

  - Füllgas von Glühlampen, Hohlräumen zwischen Glasfenstern (Isolierung)

• Argon wird als Schutzgas, z.B. beim Umschmelzen von Metallen und bei der

  Lichtbogenschweißung verwendet. Gasentladungsröhren mit Edelgasfüllungen dienen

  als Lichtreklame. Ar, Kr und Xe werden als Füllgase für Glühlampen verwendet,

  da dann die Temperatur des Wolframglühfadens und damit die Lichtausbeute gesteigert

  werden kann.

• rot

  ➢Kr

  - Isoliergas in Fenstern

  • Gelbgrün

    - Füllgas von Glühlampen und Gasentladungslampen

  • Krypton besitzt eine geringe Wärmeleitfähigkeit, der Kolbendurchmesser

    der Glühlampen kann daher klein gehalten werden. In den Halogenlampen

    wird vorwiegend Krypton als Füllgas (3K4 bar) verwendet

➢Xe

- „Xenonlampen“ (Scheinwerfer)

• Violett

• Fluoride von Xe.

  Erst 1962 wurden die ersten Edelgasverbindungen synthetisiert: XeC[PtF6]K und

  XeF2. XeC[PtF6]K wurde später als Gemisch aus XeC[PtF6]K und Xe2C2[PtF6]K

  oder [FXe]C[PtF6]K und [FXe]C[Pt2F11]K korrekter formuliert

• Rn weiß

• Group Properties Table:

• Note: All Radon isotopes are radioactive.

• Clathrates (Cage Compounds): Noble gases can be trapped in the cavities of a host lattice (e.g., ice). An example is the Xenon hydrate clathrate with the ideal composition $(H_2O)_{46}Xe_8$.

• b) Eigenschaften

  Edelgase sind farblos, geruchlos, unbrennbar und ungiftig.

  Clathrate (Käfigverbindungen): Edelgase lagern sich in die Hohlräume von Eis ein

  • Ionisierungsenergie ist durch die abgeschlossene Außenschale sehr hoch, d.h. die

    Elektronen sind sehr fest gebunden!

    • Aber: Ionisierungsenergie nimmt in der Gruppe von oben nach unten ab.

    ➢Verbindungen sind daher am ehesten bei den schweren Edelgasen zu erwarten.

  • • Helium und Neon zeigen die höchste Stabilität und reaktive Trägheit,
    • Argon und Xenon können unter bestimmten Bedingungen in chemischen Reaktionen auftreten,
    • Radon ist aufgrund seiner Radioaktivität und der geringen Reaktivität weniger verbreitet.

  • Xenon hat eine ähnliche Ionisierungsenergie wie O2!

  • Nur mit den stärksten Oxidationsmitteln können Kr, Xe und Rn zur

    Reaktion gebracht werden.

    ➢Erste Xenon-Verbindung synthetisiert von Neil Bartlett (1962):

    Xenonhexafluoroplatinat (XeF$_6$): Eine effiziente Verbindung, die aus Xenon und Platinhexafluorid hergestellt wurde, zeigt die Reaktivität von Xenon unter extremen Bedingungen.

  • XeC[PtF6]K und

    XeF2. XeC[PtF6]K wurde später als Gemisch aus XeC[PtF6]K und Xe2C2[PtF6]K

    oder [FXe]C[PtF6]K und [FXe]C[Pt2F11]K korrekter formuliert. Vorher waren nur

    Edelgas-Clathrate, z.B. Hydrat-Clathrate der idealen Zusammensetzung (H2O)46E8

    (EZAr, Kr, Xe) bekannt. Bei ihnen sind in den Käfigen des H2O-Wirtsgitters Edelgasatome

    eingelagert, die durch schwache van-der-Waals-Wechselwirkungen festgehalten

    werden (vgl. Abschn. 4.5.4). Die meisten heute bekannten Edelgasverbindungen

    sind Xenonverbindungen. Die Chemie der Edelgase ist weitgehend die Chemie

    des Xenons.

  • Verbindungen

  • Die Edelgase reagieren nur mit einem Element, dem Fluor, direkt. Das Fluor

    muss aber entweder durch Erhitzen, Bestrahlen oder elektrische Entladungen aktiviert

    werden, da Fluor nur in atomarer Form mit den Edelgasen reagiert.

    Xenon reagiert mit Fluor nach folgenden Gleichgewichtsreaktionen schrittweise

    und exotherm:

    XeCF2→XeF2

    XeF2CF2→XeF4

    XeF4CF2→XeF6

    Nur mit den stärksten Oxidationsmitteln können Kr, Xe und Rn zur Reaktion gebracht

    werden. Xe reagiert mit Fluor nach folgenden Gleichgewichtsreaktionen schrittweise

    und exotherm:

    Darstellungsbedingungen der Xenonfluoride: Xe+F2=XeF2

  • XeF2+ F2=XeF4

  • XeF4+F2=XeF6

  • Bekannt sind nur die beiden Oxide XeO3 und XeO4, sowie die Oxidfluoride XeOF2, XeO2F2,

    XeOF4, XeO3F2 und XeO2F4: Diese Verbindungen entstehen durch die Reaktion von Xenonverbindungen mit Fluor und zeigen charakteristische Eigenschaften der Xenongase.

• Bekannt sind nur die beiden Oxide XeO3 und XeO4, außerdem die Oxidfluoride

  XeOF2, XeO2F2, XeOF4, XeO3F2 und XeO2F4 (Tab. 4.5).

  Xenon(VI)-oxid XeO3 entsteht bei der Hydrolyse von XeF6 und XeF4.

  XeF6C3H2O $% XeO3C6HF

  3 XeF4C6H2O $% XeC2XeO3C12HF

  Die farblosen Kristalle bestehen aus einem Molekülgitter mit isolierten XeO3-Einheiten,

  sie sind hochexplosiv.

  XeO3 (s) $% XeC1,5O2 ΔH( ZK402 kJ.mol

  Beständig sind wässrige Lösungen von XeO3, in denen es überwiegend molekular

  gelöst ist. Außerdem entsteht etwas Xenonsäure H2XeO4, deren Anhydrid XeO3 ist.

  XeO3CH2O#H2XeO4

  H2XeO4CH2O#H3OCCHXeO4

• Die Edelgasverbindungen bestehen aus Molekülen mit polaren kovalenten Bindungen.

  Die Molekülgeometrie lässt sich mit dem VSEPR-Modell herleiten (Abb. 4.2a).

  Das Molekül XeF2 kann bei Berücksichtigung der Elektronegativitätsdifferenz zwischen

  Xe und F mit zwei mesomeren Lewis-Grenzstrukturen unter Beachtung der

  Oktettregel beschrieben werden

• In Übereinstimmung damit wurde berechnet, dass Xe einfach positiv geladen ist.

  Auch das MO-Modell zeigt, dass eine 3-Zentren-4-Elektronen-Bindung vorliegt und

  die Bindungen fast nur von p-Orbitalen gebildet werden (Abb. 4.2b).

  Beim Molekül XeF4 folgt aus Regel 2 des VSEPR-Modells eine quadratische Molekülgeometrie.

  Die berechnete Ladung C2 am Xe stimmt mit der Grenzstruktur überein, die zwei 3-Zentren-4-Elektronen-Bindungen enthält.

  Die Oxide XeO3 und XeO4 können mit den Grenzstrukturen unter Erfüllung der

  Oktettregel beschrieben werden.

Applications of Noble Gases

• Helium ($He$):

  • Serving as a lifting gas for balloons and research balloons.

  • Heliox: A mixture of $He/O_2$ (usually $10\%\,He$) used for deep-sea diving to prevent nitrogen narcosis.

  • Coolant: Liquid helium is used as a coolant for high-field magnets in NMR spectrometers and Magnetic Resonance Imaging (MRI/Kernspintomographen).

• Neon ($Ne$): Used as a filling gas for light bulbs and "neon tubes" for advertising signs.

• Argon ($Ar$):

  • Inert Gas: Used in metallurgical processes and as a shielding gas in welding.

  • Insulation: Used as a filling gas in incandescent lamps and in the cavities between panes of glass in insulating windows.

• Krypton ($Kr$): Insulation gas in high-efficiency windows and filling gas for specialized lamps and gas discharge lamps.

• Xenon ($Xe$): Used in specialized high-intensity "Xenon lamps" (e.g., automotive headlights).

Noble Gas Compounds

• Reactivity Trends:

  • Reactivity increases down the group as ionization energy decreases.

  • Xenon ($Xe$) has a similar ionization energy to Oxygen ($O_2$), which suggested it could form bonds.

  • Only the strongest oxidizing agents can react with $Kr$, $Xe$, and $Rn$.

• Historical Milestones:

  • Neil Bartlett (March 1962): Synthesized the first noble gas compound, Xenon hexafluoroplatinate ($Xe^+[PtF_6]^-$).

  • Rudolf Hoppe (1962): Synthesized Xenon difluoride ($XeF_2$) via electrical discharge on mixtures of Xenon and Fluorine.

  • Konrad Seppelt (1944–): Contributed significantly to understanding the dynamic structures of noble gas compounds.

• Xenon Fluorides: Formed step-wise and exothermically by reaction with fluorine:

  • $Xe + F_2 \rightleftharpoons XeF_2$ ($T = 400^{\circ}C$, pressure, ratio $Xe:F_2 = 2:1$)

  • $Xe + 2F_2 \rightleftharpoons XeF_4$ ($T = 600^{\circ}C$, ratio $Xe:F_2 = 1:5$)

  • $Xe + 3F_2 \rightleftharpoons XeF_6$ ($T = 300^{\circ}C$, high pressure, ratio $Xe:F_2 = 1:20$)

• Oxides and Oxyfluorides:

  • Known oxides: $XeO_3$ and $XeO_4$.

  • Known oxyfluorides: $XeOF_2, XeO_2F_2, XeOF_4, XeO_3F_2$, and $XeO_2F_4$.

• Structure of $XeF_6$: Described as having a mobile electron pair that moves over the faces and edges of the octahedron, distorting it dynamically.

7.2 Gas Laws

• Avogadro's Law:

  • $V \sim n$ (at constant $p$ and $T$).

  • Equal volumes of ideal gases under same $p$ and $T$ contain equal numbers of molecules.

  • Standard Molar Volume: At $0^{\circ}C$ ($273\,K$) and $1.013\,bar$ (Standard conditions/Normalbedingungen), one mole of an ideal gas occupies $22.413837\,L$.

  • Avogadros Gesetz

  • - Gleiche Volumina idealer Gase enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur

    gleich viele Teilchen.

    • In gleichen Volumina idealer Gase sind bei gleichem Druck und gleicher

      Temperatur gleich viele Moleküle enthalten.

      ➢Bei 0°C (273 K) und 1.013 bar (= Normalbedingungen) nimmt jedes ideale Gas

    • Je kleiner der Druck eines Gases und je höher seine Temperatur ist, umso besser

      sind die Voraussetzungen für ein ideales Verhalten erfüllt. Bei Drücken p <= 1 bar

      und Temperaturen T S 273K gehorchen in guter Näherung beispielsweise Wasserstoff,

      Stickstoff, Sauerstoff, Chlor, Methan, Kohlenstoffdioxid, Kohlenstoffmonooxid

      und die Edelgase dem idealen Gasgesetz.

      pro Mol ein Volumen von 22.413837 L ein.

      Die relativen Molekülmassen entsprechend damit dem Gewicht des Molvolumens (Vm).

      Eine Molmassenbestimmung entspricht damit der Aufgabe, das Gewicht eines

      Gasvolumens zu bestimmen.Außerdem spielen die idealen Gaskonstanten eine wichtige Rolle, da sie es ermöglichen, die Beziehung zwischen Druck, Volumen und Temperatur für ideale Gase zu beschreiben.

• Boyle-Mariotte Law:

  • $p_1 V_1 = p_2 V_2 = \text{const.}$ (at constant $T$).

  • Pressure is inversely proportional to volume.

  • Boyle-Mariottesches Gesetz

    • Der Druck idealer Gase ist bei gleicher Temperatur und gleicher Stoffmenge

      umgekehrt proportional zum Volumen.

    • Bei konstanter Temperatur gilt für ideale Gase

      pVZ const.

      • Boyle-Mariottesches Gesetz

      ➢Je größer der Druck des Gases, desto kleiner das Volumen.

• Gay-Lussac's Laws:

  • 1st Law: $V \sim T$ (at constant $p, n$). Volume is proportional to absolute temperature.

  • 2nd Law: $p \sim T$ (at constant $V, n$). Pressure is proportional to absolute temperature.

• Gesetz von Gay-Lussa

  • Das Volumen eines idealen Gases ist bei gleichem Druck und gleicher

    Stoffmenge proportional zur Temperatur.

    ➢Ein Gas dehnt sich bei Erwärmung aus und zieht sich beim Abkühlen zusammen.

  • Bei Erwärmung erhöht sich der Druck, bei Abkühlung wird der Druck geringer

  • Bei konstantem Volumen gilt für ideale Gase p =

    const · T.

• Ideal Gas Law:

  • Combine laws: $p \times V = n \times R \times T$.

  • Universal Gas Constant: $R = 8.3143\,J/(K \cdot mol)$.

  • Definition: A gas is ideal if there are no attractive forces between particles and the volume of the particles is negligible compared to the total gas volume.

• Ein Gas verhält sich ideal, wenn zwischen den

  Gasteilchen keine Anziehungskräfte wirksam sind und wenn das Volumen der Gasteilchen

  vernachlässigbar klein ist gegen das Volumen des Gasraums. Für diesen

  Grenzfall gilt das ideale Gasgesetz

  pV= nRT

  • Das ideale Gasgesetz

    • 1) V  n (Teilchenzahl) Avogadrosches Gesetz

      2) V  1/p(bei T = konst. und n = konst.) Boyle-Mariottsche Gesetz

      3) V  T (bei p = konst und n = konst.) Guy-Lussac Gesetz

      → V  n T/p

      oder p V = n R T = Ideales Gasgesetz

      R = universelle Konstante = 8.3143 J/(K mol)

      Def. Ein Gas verhält sich dann ideal, wenn zwischen den Gasteilchen

      keine Anziehungskräfte wirksam sind und wenn das Volumen der Gasteilchen

      vernachlässigbar klein ist gegen das Volumen des Gasraums.

    • p · V = n · R · T

    • Ein Gas verhält sich dann ideal, wenn zwischen den Gasteilchen keine

      Anziehungskräfte wirksam sind und wenn das Volumen der Gasteilchen

      vernachlässigbar klein ist gegen das Volumen des Gasraumes.

    • absolute Temperaturskala (Kelvi- Skala)

      Kelvin-Skala = absolute Skala → 0 K = absolute Nullpunkt (keine negativen Werte).

      Ideales Gas: Bei T = 0 K → V = 0.

      Real: es tritt vorher eine Verflüssigung des Gases ein.

      Extrapolation eines idealen Gases gegen V = 0 ergibt: 0 K = -273.15 °C = absolute Nullpunkt.

    • Gesamtdruck: Summe der Partialdrücke

      pgesamt = pA + pB + pC + . . .

      Anteil von A am Gesamtdruck

      entspricht molarem Anteil

    • Kinetische Gastheorie

      Basis: Druck wird durch elastische Stöße zwischen den Gasmolekülen erzeugt

      Annahmen:

      kein Eigenvolumen

      keine Ww. der Gasmoleküle

      gleichmäßige Verteilung der Gasmoleküle im Raum (Statistik)

      mittlere kinetische Energie hängt von der Temperatur ab

      bei gleicher Temperatur ist für alle Gase die mittlere kin. Energie gleich

      Konsequenzen: → Dalton-Gesetz für Partialdruck:

      in Gasgemischen trägt jede Sorte entsprechen der Molzahl bei pGesamt = a pA + b pB + c pC + . . .

      schwere Gasteilchen diffundieren langsamer (Ekin = ½ mv2)

    • Graham:

      Effusionsgesetz zur Molmassenbestimmung VA

      2/VB

      2 = mB/mA = MB / MA

      ➢ Isotopentrennung UF6,

      235U/238/U: V 0.4%

      ➢ Wärmeleitfähigkeit hängt von Molmasse ab (hoch für H2, He)

      ➢ Schallgeschwindigkeit hängt von Molmasse ab (hoch für H2, He)

    • a) Geschwindigkeitsverteilung von Sauerstoffmolekülen bei zwei Temperaturen.

      Mit wachsender Temperatur erhöht sich die mittlere Geschwindigkeit der Moleküle.

      Gleichzeitig wird die Geschwindigkeitsverteilung diffuser: der Geschwindigkeitsbereich verbreitert

      sich, die Anzahl von Molekülen mit Geschwindigkeiten im Bereich der mittleren

      Geschwindigkeit wird kleiner.

      b) Geschwindigkeitsverteilung von Sauerstoffmolekülen und Wasserstoffmolekülen bei 300 K.

      Die mittlere Geschwindigkeit der leichteren Moleküle ist größer, die Geschwindigkeitsverteilung

      diffuser

    • Reale Gase

      • Eigenvolumen

        ➢ Interatomarer (intermolekulare) Ww.

        Van der Waals-Gleichung für reale Gase: (p + n2a/V2)(V – nb) = nRT

        n Molzahl

        a berücksichtigt zusätzliche intermolekulare WW. (reduziert Gesamtdruck)

        b berücksichtigt Eigenvolumen der Gasmoleküle (reduziert freies Volumen)

        Größe von a und b sind Stoffkonstanten, in a gehen Zahl der Elektronen und Polarität ein, in b geht Größe der beteiligten

        Atome ein

        Edelgase als gute Annäherung an id. Gase (je kleiner, desto besser) CO2, NH3, H2O als schlechte Annäherung

        Konsequenzen der WW. → Kondensation, Kristallisation, (-Zustandsdiagramm)

• Determining Molar Mass ($M$):

  • Since $n = \frac{m}{M}$, then $p \times V = \frac{m}{M} \times R \times T$.

  • Rearranging: $M = \frac{m \times R \times T}{p \times V}$.

• Absolute Temperature (Kelvin Scale):

  • Absolute zero ($0\,K$) is defined where an ideal gas would have $V = 0$.

  • Extrapolation gives $0\,K = -273.15^{\circ}C$.

  • Conversion: $T(\text{Celsius}) = T(\text{Kelvin}) - 273.15$.

Kinetic Theory and Real Gases

• Kinetic Gas Theory Basis:

  • Pressure results from elastic collisions between molecules.

  • Assumptions: No intrinsic volume, no intermolecular interactions, uniform distribution, and mean kinetic energy ($E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} m v^2$) depends only on temperature.

  • kinetischen Gastheorie. Die Gasteilchen befinden sich in dauernder

    schneller Bewegung. Sowohl zwischen den einzelnen Teilchen als auch zwischen den

    Teilchen und der Gefäßwand des Gases kommt es zu elastischen Zusammenstößen.

    In gasförmigem Wasserstoff unter Normalbedingungen erfährt z.B. ein H2-Molekül

    durchschnittlich 1010 Zusammenstöße pro Sekunde. Die durchschnittliche Entfernung,

    die ein Molekül zwischen zwei Zusammenstößen zurücklegt, wird mittlere

    freie Weglänge genannt, sie beträgt für Wasserstoff etwa 10K5 cm.

• Dalton's Law of Partial Pressures:

  • $p_{\text{total}} = p_A + p_B + p_C + \dots$

  • The pressure of a gas in a mixture is proportional to its mole fraction.

  • Gesetz von Henry-Dalton.

    Die Löslichkeit eines Gases A ist bei gegebener Temperatur proportional zu seinem

    Druck.

    cA =KpA

    K wird Löslichkeitskoeffizient genannt. Bei Erhöhung des Druckes um das fünffache

    nimmt auch die Löslichkeit um das fünffache zu. Auf Gase, die mit dem Lösungsmittel

    chemisch reagieren, wie z.B. HCl, ist das Gesetz nicht anwendbar.

• Graham's Law of Effusion:

  • $\frac{v_A^2}{v_B^2} = \frac{m_B}{m_A} = \frac{M_B}{M_A}$.

  • Heavier gas particles diffuse slower.

  • Applications: Isotope separation ($UF_6$ for $^{235}U/^{238}U$), thermal conductivity, and speed of sound measurements.

📝 Grahamsches Effusionsgesetz

1. Definition & Grundkonzept

Das Grahamsche Gesetz (formuliert von Thomas Graham) beschreibt das Verhältnis zwischen der Ausströmgeschwindigkeit (Effusionsrate) eines Gases und seiner molaren Masse.

• Die Kernbotschaft: Je leichter die Gasmoleküle sind, desto schneller bewegen sie sich bei gleicher Temperatur und desto schneller strömen sie durch eine kleine Öffnung.

• Effusion vs. Diffusion:

  • Diffusion: Freiwillige Durchmischung von Gasen durch Eigenbewegung (z.B. Parfum im Raum).

  • Effusion: Das Entweichen von Gasmolekülen durch ein winziges Loch (Pore) in ein Vakuum oder einen Raum mit niedrigerem Druck, ohne dass die Moleküle dabei miteinander kollidieren.

2. Die mathematische Formel

Unter gleichen Temperatur- und Druckbedingungen gilt: Die Effusionsrate ($r$) ist umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der molaren Masse ($M$) des Gases.

Für zwei verschiedene Gase ($A$ und $B$) gilt die Formel:

$\frac{r_A}{r_B} = \sqrt{\frac{M_B}{M_A}}$

Da die Dichte ($\rho$) eines Gases bei gleichem Druck und gleicher Temperatur proportional zur molaren Masse ist, kann man die Formel auch so schreiben:

$\frac{r_A}{r_B} = \sqrt{\frac{\rho_B}{\rho_A}}$

• $r_A, r_B$: Effusionsraten (z.B. in $\text{mol/s}$ oder $\text{ml/s}$)

• $M_A, M_B$: Molare Massen (in $\text{g/mol}$)

• $\rho_A, \rho_B$: Dichten der Gase (in $\text{g/L}$)

3. Physikalische Begründung (Kinetische Gastheorie)

Warum verhält sich das so? Bei gleicher Temperatur besitzen alle Gase die gleiche mittlere kinetische Energie ($E_{kin}$).

Die Formel für die kinetische Energie lautet:

$E_{kin} = \frac{1}{2} m \cdot v^2$

Wenn Gas $A$ und Gas $B$ die gleiche Energie haben ($E_{kin, A} = E_{kin, B}$), folgt daraus:

$\frac{1}{2} m_A \cdot v_A^2 = \frac{1}{2} m_B \cdot v_B^2$

4. Anwendungsbeispiel (Rechenaufgabe)

Frage: Ein Luftballon ist mit Helium ($\text{He}$, $M = 4{,}0 \text{ g/mol}$) gefüllt, ein anderer mit Stickstoff ($\text{N}_2$, $M = 28{,}0 \text{ g/mol}$). Welches Gas entweicht schneller durch die Poren des Ballons und wie viel mal schneller?

Lösung:

Wir setzen die Werte in das Grahamsche Gesetz ein:

$\frac{r_{\text{He}}}{r_{\text{N}_2}} = \sqrt{\frac{M_{\text{N}_2}}{M_{\text{He}}}}$

$\frac{r_{\text{He}}}{r_{\text{N}_2}} = \sqrt{\frac{28{,}0 \text{ g/mol}}{4{,}0 \text{ g/mol}}} = \sqrt{7} \approx 2{,}65$

Antwort:

Helium entweicht ca. 2,65-mal schneller aus dem Ballon als Stickstoff. Deshalb verlieren Heliumballons im Alltag so schnell ihre Form!

5. Wichtige Vokabeln (Deutsch ↔ Chinesisch)

• die Effusion = 逸散

• die Diffusion = 擴散

• die Ausströmgeschwindigkeit / Effusionsrate ($r$) = 逸散速率

• die molare Masse ($M$) = 摩爾質量 / 分子量

• die Dichte ($\rho$) = 密度

• umgekehrt proportional = 成反比

• die Quadratwurzel = 平方根

• die Kinetische Gastheorie = 氣體動力論

• Real Gases and Van der Waals Equation:

  • Real gases deviate from ideal behavior due to intrinsic volume and interatomic interactions.

  • Equation: $(p + \frac{n^2 a}{V^2})(V - nb) = nRT$

  • $a$: Account for intermolecular attraction (reduces net pressure).

  • $b$: Accounts for the intrinsic volume of the molecules (reduces free volume).

  • Compressibility Factor ($z$): $z = \frac{pV}{nRT}$. For an ideal gas, $z = 1$. Deviations occur at high pressures (volume effect) and low temperatures (attraction effect).

  • 📝 Chemie-Notizen: Reale Gase & Van-der-Waals-Gleichung

    1. Das Problem mit der idealen Gasgleichung

    Die ideale Gasgleichung ($p \cdot V = n \cdot R \cdot T$) basiert auf zwei theoretischen Annahmen, die für ideale Gase gelten:

    1. Gasteilchen sind punktförmig (sie haben kein Eigenvolumen).

    2. Es gibt keine Wechselwirkungen (Attraktion oder Repulsion) zwischen den Teilchen.

    In der Realität (Reale Gase) gilt das nicht:

    • Bei hohem Druck ($p \uparrow$) werden die Gase so stark komprimiert, dass das Eigenvolumen der Teilchen nicht mehr ignoriert werden kann.

    • Bei niedriger Temperatur ($T \downarrow$) bewegen sich die Teilchen so langsam, dass die zwischenmolekularen Anziehungskräfte (z. B. Van-der-Waals-Kräfte) spürbar werden und das Gas verflüssigen können.

    2. Die Van-der-Waals-Gleichung

    Johannes Diderik van der Waals hat 1873 die ideale Gasgleichung modifiziert, indem er zwei Korrekturfaktoren ($a$ und $b$) einführte.

    $\left( p + \frac{a \cdot n^2}{V^2} \right) \cdot (V - n \cdot b) = n \cdot R \cdot T$

    Für 1 Mol Gas ($n = 1$, mit dem molaren Volumen $V_m = \frac{V}{n}$) vereinfacht sich die Formel zu:

    $\left( p + \frac{a}{V_m^2} \right) \cdot (V_m - b) = R \cdot T$

    3. Die Korrekturfaktoren im Detail

    A. Der Binnendruck / Kohäsionsdruck ($\frac{a \cdot n^2}{V^2}$)

    • Problem: Gasteilchen ziehen sich gegenseitig an. Ein Teilchen, das an die Gefäßwand stößt, wird von den Teilchen dahinter zurückgezogen. Der gemessene Druck $p$ ist also kleiner als bei einem idealen Gas.

    • Lösung: Der Term $\frac{a \cdot n^2}{V^2}$ wird zum gemessenen Druck addiert, um diesen "Verlust" auszugleichen.

    • Konstante $a$: Ein Maß für die Stärke der Anziehungskräfte zwischen den Teilchen. (Einheit: $\text{bar} \cdot \text{L}^2 / \text{mol}^2$).

    B. Das Kovolumen / Eigenvolumen ($n \cdot b$)

    • Problem: Die Teilchen sind keine mathematischen Punkte; sie nehmen selbst Raum ein. Den Gasteilchen steht also weniger freier Raum zur Bewegung zur Verfügung, als das Gesamtvolumen $V$ des Behälters vermuten lässt.

    • Lösung: Das Eigenvolumen $n \cdot b$ wird vom Gesamtvolumen $V$ abgezogen.

    • Konstante $b$: Das effektive Eigenvolumen der Gasmoleküle pro Mol. (Einheit: $\text{L} / \text{mol}$).

    4. Der Realgasfaktor (Kompressibilitätsfaktor $Z$)

    Um zu messen, wie stark ein Gas vom idealen Verhalten abweicht, nutzt man den Faktor $Z$:

    $Z = \frac{p \cdot V_m}{R \cdot T}$

    • $Z = 1$: Perfekt ideales Gas (z. B. Edelgase bei Raumtemperatur).

    • $Z < 1$: Anziehungskräfte dominieren. Das Gas lässt sich leichter komprimieren als ein ideales Gas (typisch bei mittlerem Druck).

    • $Z > 1$: Abstoßungskräfte / Eigenvolumen dominieren. Das Gas lässt sich schwerer komprimieren, weil die Teilchen zu nah beieinander sind (typisch bei sehr hohem Druck).

    5. Wichtige Vokabeln (Deutsch ↔ Chinesisch)

    • das reale Gas = 真實氣體

    • das ideale Gas = 理想氣體

    • die Zustandsgleichung = 狀態方程

    • das Eigenvolumen / Kovolumen ($b$) = 體積修正項 / 本身體積

    • der Binnendruck ($a$) = 內壓力 / 吸力修正項

    • die Wechselwirkung = 相互作用

    • die Anziehungskraft (Attraktion) = 吸引力

    • die Abstoßungskraft (Repulsion) = 排斥力

    • der Realgasfaktor / Kompressibilitätsfaktor ($Z$) = 壓縮因子

7. GRUPPE 18: EDELGASE: He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn