Lógica de enunciados

Lógica de enunciados

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Enric Sesa i Nogueras

Tiempo mínimo de dedicación recomendado: 9 horas

Uod

Universitat Oberta de Catalunya

Información del autor

• Enric Sesa i Nogueras: Licenciado en informática por la Universidad Politécnica de Cataluña. Profesor y Director del Departamento de Informática y Gestión de la Escuela Universitaria Politécnica de Mataró. Ha impartido asignaturas de lógica en la Facultad de Informática de la Universidad Politécnica de Cataluña, en la Escuela Universitaria Politécnica de Mataró y en la UOC.

Índice

• Introducción

• Objetivos

• 1. La lógica de enunciados y su lenguaje

  • 1.1. El objeto de interés de la lógica: los razonamientos

  • 1.2. La necesidad de un lenguaje formal

  • 1.3. Los elementos básicos del lenguaje de enunciados: átomos y conectivas

  • 1.4. Enunciados

  • 1.5. Otras conectivas

  • 1.6. Formalización

    • 1.6.1. Cómo formalizar

    • 1.6.2. La utilización de la implicación

    • 1.6.3. Formalización de frases complejas

• 2. La deducción natural

  • 2.1. La validación de razonamientos

  • 2.2. Notación y reglas de la deducción natural

  • 2.3. Planteamiento estratégico de las demostraciones por deducción natural

  • 2.4. Reglas derivadas

• 3. Verdad y falsedad: alternativa y complemento de la deducción natural

• 4. El álgebra de enunciados

• 5. Resolución

• Resumen

• Ejercicios de autoevaluación

• Solucionario

• Glosario

• Bibliografía

Introducción

• Lógica de enunciados: Se trata de un campo relativamente pequeño y simple dentro de la lógica. Es un instrumento interesante para abrir la puerta a áreas más complejas de la lógica de predicados.

• Contenido: Se abordarán fundamentos teóricos, la necesidad de formalismos, y la validación de razonamientos. Se familiarizará con conceptos como tablas de verdad y operadores lógicos.

• Validación de razonamientos: Antes de validar, hay que conocer el lenguaje y traducir el lenguaje ordinario a este nuevo lenguaje. Esta tarea se denomina formalización.

Objetivos

Los objetivos del módulo son:

1. Comprender la necesidad de un lenguaje formal para manejar la validez de los razonamientos.

2. Expresar razonamientos en el lenguaje de la lógica de enunciados.

3. Entender el concepto de consecuencia lógica y su alcance.

4. Conocer y aplicar las reglas de inferencia de la deducción natural, siendo conscientes de sus limitaciones.

5. Reconocer la relación entre lógica y los conceptos de verdad y falsedad.

6. Proporcionar contraejemplos para ilustrar razones de invalidación.

7. Manipular algebraicamente enunciados para expresarlos en forma normal.

8. Conocer el método de resolución, especialmente la resolución lineal y sus posibilidades de automatización.

1. La lógica de enunciados y su lenguaje

1.1. El objeto de interés de la lógica: los razonamientos

• Estructura de los razonamientos: La lógica se centra en los procesos que permiten derivar conclusiones correctas de premisas dadas y en la validez de estas conclusiones. Un razonamiento típico sigue esta estructura:

  • Frase1, …, Frasen. Por lo tanto, Frasen+1.

• Definiciones: Las n primeras frases son premisas. La última se denomina conclusión.
  Ejemplos:
  1) "El domingo el supermercado está cerrado. Hoy el supermercado no está cerrado. Por lo tanto, hoy no es domingo."
  2) "La energía cinética aumenta con la velocidad. Si la velocidad disminuye, la energía cinética también. Ahora la velocidad se mantiene. Por consiguiente, la energía cinética ni aumenta ni disminuye."

1.2. La necesidad de un lenguaje formal

• Lenguaje natural: Aunque es efectivo para comunicar razonamientos, es poco adecuado para su estudio, por ello se recurre al uso de un lenguaje formal.

1.3. Los elementos básicos del lenguaje de enunciados: átomos y conectivas

• Átomos: Unidades más simples del lenguaje, representadas por letras mayúsculas del alfabeto latino a partir de la P. Por ejemplo, los átomos se utilizan para formalizar frases declarativas simples, como:

  • P: "Es fiesta"

  • Q: "Los comercios están autorizados a abrir"

  • R: "Las ventas son abundantes"

  • S: "Llueve"

• Conectivas: Elementos que generan enunciados complejos a partir de otros más simples. Representación:

  • Conjunción () - “y”

  • Disyunción () - “o” (no exclusiva)

  • Negación () - “no”

  • Implicación () - “si… entonces…”

1.4. Enunciados

• Alfabeto del lenguaje: Conjunto formado por letras (átomos), cuatro conectivas y paréntesis.

• Ejemplos de enunciados:

  • $((P ext{ y } Q) <br>ightarrow (P ext{ o } Q))$

  • $((P ext{ o } <br>eg Q) <br>ightarrow (Q <br>ightarrow P))$

1.5. Otras conectivas

• Bicondicional (): Representa ‘si y solo si’.

• Disyunción exclusiva (): Utilizada para formalizar disyunciones en las que sólo uno o el otro puede ser verdadero.

1.6. Formalización

1.6.1. Cómo formalizar

• Pasos para formalizar:

  1. Descubrir frases declarativas simples y asignarles un símbolo de átomo.

  2. Detectar conectivas en el lenguaje natural y reproducir la estructura con los átomos asignados.

  3. Sustituir conectivas por las del lenguaje de enunciados.

Ejemplos de formalización

1. Formalizar: "Si lees superficialmente, no podrás entender lo que se te quiere decir".

   • $L <br>ightarrow <br>eg E$

2. Formalizar: "Te constiparás o lo pasarás mal, si hace frío y no te abrigas antes de salir".

   • $(F ext{ y } <br>eg A) <br>ightarrow (C ext{ o } M)$

3. Formalizar: "Puedes ir al cine o al concierto (pero no a los dos lugares)".

   • $(C ext{ o } M) ext{ y } <br>eg(C ext{ y } M)$