Stat-C10

Notes de Cours : Inférence Statistique, Intervalles de Confiance et Tests de Proportionnels sur les Proportions

Résultats de l’Examen de Mi-Session et Inférence Statistique

• Statistiques de l’Examen :     * La moyenne générale obtenue par les étudiants est de $5.16$.     * La médiane est fixée à $5$, ce qui signifie que plus de $50\,\%$ des étudiants ont obtenu une note minimale de $5$.     * Le premier quartile est également à $5$, indiquant que $75\,\%$ de la cohorte a obtenu une note supérieure ou égale à $5$.     * Taille de l’échantillon des étudiants ($n$) : $327$ (corrigé de $328$).

• Application du Théorème Central Limite (TCL) :     * L’utilisation du TCL permet de faire de l’inférence pour les cohortes futures.     * Scénario : Calcul de la probabilité que la moyenne des prochaines cohortes soit inférieure à $4.5$, en supposant que la vraie moyenne de la population est de $5.16$.     * Conclusion statistique : Cette probabilité est virtuellement égale à $0$. Cela démontre la robustesse de l’inférence malgré le fait que la population initiale ne soit pas nécessairement distribuée normalement.

Distribution d'Échantillonnage des Proportions ($\hat{p}$)

• Nature de l'Estimateur :     * La proportion échantillonnale $\hat{p}$ peut être considérée comme une moyenne de variables de Bernoulli.     * Les résultats de l’examen servent d’exemple : on définit $\hat{p}$ comme la proportion d'étudiants ayant une note $\ge 5$.     * Valeur estimée basée sur les résultats actuels : $\hat{p} = 0.75$.

• Exemple de Calcul de Probabilité avec Proportions :     * Objectif : Calculer la probabilité que, pour les prochaines cohortes, la proportion d'étudiants avec une note $\ge 5$ soit inférieure à $0.70$.     * Données : $n = 327$, $p = 0.75$.     * Calcul de l'erreur standard ($\sigma_{\hat{p}}$) :         $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p \times (1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.75 \times 0.25}{327}} \approx 0.02$     * Calcul du score $Z$ pour une proportion cible de $0.70$ :         $z = \frac{0.70 - 0.75}{0.02} = -2.5$         (Note : L'enseignant mentionne par calculatrice une valeur proche de $-2.09$).     * Résultat : Selon la table de loi normale, cette probabilité est d'environ $1.8\,\%$.     * Conclusion réciproque : Il existe environ $98.2\,\%$ de chances que la proportion d'étudiants atteignant une note de $5$ reste supérieure à $70\,\%$ à l'avenir.

• Impact de la Taille de l'Échantillon ($n$) :     * Le facteur $\frac{1}{n}$ dans la formule de la variance indique que la variabilité de la distribution s'amenuise à mesure que $n$ augmente.     * Plus on dispose de données, plus l'estimation de $\hat{p}$ est précise et l'incertitude réduite.

Étude de Cas : Élections Présidentielles Américaines 2020

• Contexte Théorique :     * On s'intéresse à la véritable proportion de votants pour Joe Biden.     * Chaque électeur est représenté par une variable aléatoire $X_i$ ($1$ pour Biden, $0$ pour Trump ou Indépendant).     * Modèle simplifié de population de $N = 1200$ individus :         * Pro-Biden : $616$ votants ($51.3\,\%$).         * Pro-Trump : $571$ votants.         * Indépendants : $23$ individus.     * La proportion réelle est $p = 0.513$.

• Échantillonnage et Fluctuations :     * L'estimateur $\hat{p} = \frac{m}{n}$ (où $m$ est le nombre de votes Biden dans l'échantillon $n$) varie selon l'échantillon tiré.     * Exemple 1 : $n = 10, m = 5 \rightarrow \hat{p} = 0.50$.     * Exemple 2 : $n = 40 \rightarrow \hat{p} = 0.45$ (l'échantillon contient aléatoirement plus de partisans de Trump).     * Le TCL stipule que $\hat{p}$ suit approximativement une loi normale centrée sur $p$ :         $\hat{p} \sim N(p, \frac{p(1-p)}{n})$

Intervalles de Confiance (IC) pour une Proportion

• Définition et Objectif :     * Un intervalle de confiance est une plage de valeurs qui contient la véritable proportion $p$ selon un niveau de confiance fixé.     * L'intervalle est aléatoire car il dépend de l'échantillon prélevé. La vraie valeur $p$ est fixe.

• Formule de l'Intervalle de Confiance :     $\hat{p} \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\hat{p} \times (1-\hat{p})}{n}}$     * $1-\alpha$ : Niveau de confiance (ex: $95\,\%$).     * $\alpha$ : Risque d'erreur ou niveau de signification.     * $z_{1-\frac{\alpha}{2}}$ : Quantile de la loi normale centrée réduite (ex: $1.96$ pour $95\,\%$).

• Calcul Illustratif :     * Soit un échantillon $n = 200$ avec $m = 95$ partisans Biden ($\hat{p} = 0.475$).     * Niveau de confiance choisi : $95\,\%$ ($\alpha = 0.05$, donc $1-\frac{\alpha}{2} = 0.975$).     * Valeur critique : $z_{0.975} \approx 1.96$.     * Borne Inférieure : $0.475 - 1.96 \times \sqrt{\frac{0.475 \times 0.525}{200}} \approx 0.406$.     * Borne Supérieure : $0.475 + 1.96 \times \sqrt{\frac{0.475 \times 0.525}{200}} \approx 0.544$.     * Contrôle : La vraie valeur $p = 0.513$ est bien incluse dans cet intervalle.

• Propriétés des Niveaux de Confiance :     * Si on répète l’expérience $100$ fois, $95$ intervalles contiendront la vraie valeur $p$ et $5$ ne la contiendront pas.     * Plus $1-\alpha$ est grand, plus l'intervalle est large. Un niveau de confiance de $100\,\%$ produit un intervalle $[0, 1]$ qui n'apporte aucune information.     * Plus la taille de l'échantillon $n$ est grande, plus l'intervalle est étroit (réduction de l'incertitude).

Tests d'Hypothèses et P-valeur

• Concepts Fondamentaux :     * Hypothèse Nulle ($H_0$) : Hypothèse que l'on souhaite tester (ex: $p = 0.50$).     * Hypothèse Alternative ($H_1$) : Hypothèse complémentaire à $H_0$ (ex: $p \neq 0.50$ pour un test bilatéral).

• La P-valeur :     * C'est une mesure de la plausibilité de $H_0$ au regard des données observées.     * Plus la p-valeur est petite, plus la contradiction entre $H_0$ et les données est forte.     * Si la p-valeur est inférieure au niveau de signification (généralement $\alpha = 0.05$), on rejette $H_0$.

• Calcul du Z observé :     $z_{obs} = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 \times (1-p_0)}{n}}}$     * $p_0$ est la valeur testée sous l'hypothèse nulle.     * Types de tests :         * Bilatéral : $H_1 : p \neq p_0$.         * Unilatéral : H_1 : p > p_0 ou p < p_0.

• Démonstration par l'Animation :     * Avec un faible nombre de données (échantillon de $10\,\%$ de la population), la p-valeur est élevée (ex: $40\,\%$), donc on ne peut rien conclure.     * À mesure que $n$ augmente, si la vraie valeur est différente de $p_0$, la p-valeur chute.     * Dès que la p-valeur est < 5\,\%, on peut rejeter $H_0$ en faveur de $H_1$.

Questions & Discussion

• À quoi sert précisément l'intervalle de confiance ?     * C'est une mesure d'incertitude qui fournit une plage de valeurs plausibles pour le paramètre inconnu de la population.

• Choix du niveau de confiance :     * Le choix entre $95\,\%$, $90\,\%$ ou $80\,\%$ est souvent imposé par les normes du domaine d'étude ou les commanditaires de l'étude statistique. $95\,\%$ est la norme conventionnelle.

• Interprétation du risque :     * L'inférence statistique comporte toujours un risque d'erreur quantifiable. On ne parle jamais de certitude absolue, mais de probabilités de capture de la valeur réelle.

• Annonce Enseignement :     * Le prochain cours sera assuré par Samuel Orsault.     * Sujets à venir : Généralisation des tests d'hypothèses aux moyennes.     * Disponibilité des enregistrements : Mise en ligne sur Médiaserveur dès que possible.