Chapitre 4: Diagonalisation des Matrices Carrées

4.1 Motivation et premières propriétés

  • Applications des matrices :

    • Les matrices sont utilisées dans plusieurs domaines :

    • Physique

    • Informatique graphique

    • Chaînes de Markov

    • Algorithmes d'intelligence artificielle

  • Importance du calcul des puissances de matrices :

    • Pour une matrice carrée A, il est souvent nécessaire de calculer rapidement les puissances successives : A, A², A³, …

    • Un calcul naïf prend trop de temps.

  • Exemples pour illustrer la diagonalisation :

    • Exemple 4.1 : Calcul de puissances d'une matrice.

    • Exemple 4.2 : Diagonalisation d'une matrice

    • Soit D une matrice diagonale :
      D^{10} = diag(2^{10}, (-1)^{10}) = (1024, 0)

  • Concept de diagonalisation :

    • La diagonalisation est le processus qui permet de transformer une matrice carrée en une matrice diagonale pour simplifier les calculs.

    • Définition 4.3 :

    • Une matrice A est dite diagonalisable s'il existe une matrice inversible P telle que :
      P^{-1}AP = D où D est une matrice diagonale.

  • Remarque 4.4 :

    • Si A est une matrice diagonale, alors elle est triviale à diagonaliser (P = Id).

  • Remarque 4.5 :

    • Diagonaliser A revient à trouver P inversible tel que P^{-1}AP soit diagonal.

    • La diagonalisation n'est pas toujours possible.

  • Exemple 4.6 : Diagonalisation de la matrice A

    • Matrice A :
      A = \begin{pmatrix} 4 & -6 \ 3 & -4 \ ext{Matrice P :} \ P = \begin{pmatrix} 2 \ 3 \ ext{Calcul de } P^{-1} : \ det(P) = 3 imes 5 - 2 imes 7 = 1 peut écrire :
      PAP = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 5 & -2 \ ext{= 0 }

  • Concept de similitude :

    • Une matrice de la forme P^{-1}AP (avec P inversible) est dite semblable à A.

    • Similitude respecte les propriétés d'addition et de multiplication des matrices :

    • Proposition 4.7 : Soit A, B, P trois matrices carrées de même taille n avec P inversible :

      1. (P^{-1}AP = B) ext{ équivaut à } (AP = PB) ext{ et } (A = PBP^{-1})

      2. (P^{-1}(A + B)P = (P^{-1}AP) + (P^{-1}BP))

      3. (P^{-1}AP)(P^{-1}BP) = P^{-1}(AB)P

      4. (P^{-1}AP)^{n} = P^{-1}(A^{n})P

  • Démonstrations des propositions :

    • On démontre chaque point par des manipulations matricielles.

  • Exemple 4.8 : Calcul rapide des puissances de A

    • On peut utiliser la diagonalisation trouvée précédemment pour obtenir les graphiques de A.

4.2 Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice carrée

  • Définitions fondamentales :

    • Définition 4.9 : Une valeur propre (λ) d'une matrice A existe si
      il existe un vecteur non-nul u tel que Auz = λu.

    • Exemples :

    • Exemple 4.10 :

    • A = egin{pmatrix} 0.6 & 0.2 \ 0.4 & 0.7 ext{.} \ ext{Vecteurs propres :} \ u{1} = (0.6) et u{2} = (0.4)

  • Propriétés des valeurs propres :

    • Les valeurs propres d’une matrice et leurs vecteurs propres associés se transmettent aux puissances de la matrice.

  • Exemples supplémentaires de matrices et de leurs vecteurs propres :

    • Exemple 4.19: Matrices rotations et propriétés des valeurs propres

  • Proposition 4.11 : Conditions de diagonalisation

    • Si P est une matrice carrée d’inversibilité, alors :

    1. Les colonnes de P (vecteurs propres) forment une base de R^n.

    2. P^{-1}AP = D où D est une matrice diagonale.

  • Démonstration de la proposition 4.11 :

    • Les deux propriétés sont prouvées par la manipulation de formules.

  • Proposition 4.12 : Condition des valeurs propres :

    • Une valeur propre est telle que :
      det(A - λI) = 0 pour A d’une taille n.

    • Exemple 4.13 :

    • Trouver les valeurs propres dans l’exemple donné, méthode : det(A - λI)

  • Théorème 4.14 : Polynomiale caractéristique :

    • L'application $XA: R o R $ définie par XA(λ) = det(A - λI)
      est un polynôme de degré n.

  • Corollaire 4.16 :

    • Une matrice carrée est au plus de n valeurs propres.

4.3 Diagonalisation de certaines matrices 3x3

  • Conditions de diagonalisation :

    • Les matrices 3x3 avec 3 valeurs propres distinctes sont diagonalisables.

    • L’exemple 4.21 illustre cette procédure avec calcul des polynômes et valeurs propres.

  • À retenir : Les vecteurs propres doivent être organisés en fonction de leurs valeurs propres correspondantes durant la diagonalisation.

4.4 Exemple de diagonalisation de matrices à coefficients complexes

  • Importance des coefficients complexes :

    • Les matrices qui ont des coefficients complexes peuvent être diagonaliser même si elles ne le peuvent pas avec des coefficients réels.

  • Comme dans le cas précédent, les vecteurs propres doivent être calculés de manière similaire, avec l’ajout de la considération de propriété des coefficients complexes dans les calculs.

4.5 Application aux systèmes dynamiques

  • La diagonalisation simplifie le calcul des puissances des matrices, ce qui est utile pour les systèmes dynamiques.

  • Exemples d'applications recommandées :

    1. Population de villes transitionnelles (par : Paris, Lyon)

    2. Suite de Fibonacci

Conclusion

  • Résume : Les matrices peuvent être diagonaliser pour suivre plusieurs procédés, et il y a des applications dans les domaines pratiques et théoriques.

  • Sans diagonalisation, la multiplication et l'addition matricielle deviennent difficiles et longues.