3.1 함수 정의

  • 정의 3.1.1 공집합이 아닌 두 집합 X, Y에 대하여, X의 각 원소에 오직 하나의 Y의 원소가 대응하는 대응관계를 X에서 Y로의 함수라고 하며, 이를 f : X
    ightarrow Y로 나타낸다.
  • 함수 f : X
    ightarrow Y에서,
      - X는 함수의 정의역(domain)
      - Y는 함수의 공역(codomain)
      - X의 원소 x에 대응하는 Y의 원소는 x의 상(image)이라 하며 f(x)f(x)로 나타냄
      - f(X) = ext{{ extbf{치역}}} (range) = ig {f(x) | x ext{ ∈ } X}
  • 함수의 간단한 표현: y=f(x)y = f(x) (그림 3.1)
그림 3.1:

  • X에서 Y로의 함수 f의 모양 (원소와 대응관계 포함)

  • 정의 3.1.2 두 함수 f, g : X
    ightarrow Y가 X의 각 원소 xx에 대하여 f(x)=g(x)f(x) = g(x)일 때, 두 함수는 서로 같다고 하며 이를 f=gf = g로 나타낸다.

  • 정의 3.1.3 함수 f : X
    ightarrow X가 임의의 x∈Xx ∈ X에 대하여 f(x)=xf(x) = x로 정의될 때, ff를 항등함수(identity function)라 하고 1X1_X 또는 11로 나타낸다.

예제 3.1.1
  • 함수 f : Z
    ightarrow Z를 f(x)=x2f(x) = x^2로 정의할 때, f의 정의역, 공역, 치역을 구하여라.
  • 풀이: f는 정의역과 공역이 정수 전체의 집합 ZZ이다.
      - f(0)=0f(0) = 0, f(1)=1f(1) = 1, f(−1)=1f(-1) = 1, f(2)=4f(2) = 4, f(−2)=4f(-2) = 4, …
      - 따라서 함수의 치역은 ext{{ extbf{치역}}} = ig ext{{m}}^2 : m ∈ Z = {0, 1, 4, 9, 16, …}
정의 3.1.4
  • 두 함수 f : X
    ightarrow Y, g : Y
    ightarrow Z에 대하여, h(x)=g(f(x))h(x) = g(f(x))로 정의되는 함수 h : X
    ightarrow Z는 ff와 gg의 합성함수(composite function)라 하며, hh를 gext∘fg \boldsymbol{ ext{∘}} f로 표시한다.
예제 3.1.2
  • 두 함수 f, g : R
    ightarrow R가 f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1, g(x)=x+1g(x) = x + 1일 때, gext∘fg \boldsymbol{ ext{∘}} f와 fext∘gf \boldsymbol{ ext{∘}} g을 구하여라.
  • 풀이:
      - gext∘f(x)=g(f(x))=g(x2+1)=(x2+1)+1=x2+2g \boldsymbol{ ext{∘}} f (x) = g(f(x)) = g(x^2 + 1) = (x^2 + 1) + 1 = x^2 + 2
      - fext∘g(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)2+1=x2+2x+2f \boldsymbol{ ext{∘}} g (x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)^2 + 1 = x^2 + 2x + 2
정리 3.1.1
  • 함수 f : X
    ightarrow Y, g : Y
    ightarrow Z, h : Z
    ightarrow W에 대하여, (hext∘g)ext∘f=hext∘(gext∘f)(h \boldsymbol{ ext{∘}} g) \boldsymbol{ ext{∘}} f = h \boldsymbol{ ext{∘}} (g \boldsymbol{ ext{∘}} f)이다.
      - 증명: X의 임의의 원소 xx에 대하여,
      - ((hext∘g)ext∘f)(x)=(hext∘g)(f(x))=h(g(f(x)))((h \boldsymbol{ ext{∘}} g) \boldsymbol{ ext{∘}} f)(x) = (h \boldsymbol{ ext{∘}} g)(f(x)) = h(g(f(x)))
      - (hext∘(gext∘f))(x)=h((gext∘f)(x))=h(g(f(x)))(h \boldsymbol{ ext{∘}} (g \boldsymbol{ ext{∘}} f))(x) = h((g \boldsymbol{ ext{∘}} f)(x)) = h(g(f(x)))
  • 결론: (hext∘g)ext∘f=hext∘(gext∘f)(h \boldsymbol{ ext{∘}} g) \boldsymbol{ ext{∘}} f = h \boldsymbol{ ext{∘}} (g \boldsymbol{ ext{∘}} f).
주의
  • gext∘f<br/>≠fext∘gg \boldsymbol{ ext{∘}} f <br />\neq f \boldsymbol{ ext{∘}} g 일반적으로 함수들은 합성연산에 대하여 교환법칙이 성립하지 않는다. 그러나 정리 3.1.1로부터 결합법칙은 성립함을 알 수 있다.

3.2 전단사함수

  • 정의 3.1.4 함수 f : X
    ightarrow Y에서 X의 서로 다른 원소들은 동일한 상을 갖지 않을 때 (즉, a<br/>≠bext이면f(a)<br/>≠f(b)a <br />\neq b ext{이면 } f(a) <br />\neq f(b)) 이 경우 ff를 단사함수(injective function)라 하고, f(X)=Yf(X) = Y인 함수를 전사함수(surjective function)라 한다.

  • 전사함수이면서 단사함수인 함수를 전단사함수(bijective function)라 한다.

예제 3.1.3
  • 집합 X = ig ext{{1, 2, 3, … , n}}상의 전단사함수의 총수를 구하여라.
  • 풀이:
      - XX에서 XX로의 전단사함수의 총수는 n!n!개이다.
예제 3.1.4
  • 두 함수 f, g : X
    ightarrow X가 전단사함수이면 gext∘fg \boldsymbol{ ext{∘}} f도 전단사함수이다.
  • 풀이: 함수 ff가 단사함수이므로 임의의 서로 다른 a,ba, b에 대하여 f(a)<br/>≠f(b)f(a) <br />\neq f(b)이다. 그리고 함수 gg가 단사함수이므로 g(f(a))<br/>≠g(f(b))g(f(a)) <br />\neq g(f(b))이다. 즉, (gext∘f)(a)<br/>≠(gext∘f)(b)(g\boldsymbol{ ext{∘}}f)(a) <br />\neq (g \boldsymbol{ ext{∘}}f)(b)이므로 gext∘fg \boldsymbol{ ext{∘}} f는 단사함수이다.

전단사함수의 역함수

  • 정의 3.1.5 전단사함수 f : X
    ightarrow Y에 대하여, 함수 g : Y
    ightarrow X를 g(y)=xg(y) = x로 정의한다.
      - 여기서 xx는 f(x)=yf(x) = y가 되는 X의 유일한 원소이다.
      - 이 때, 함수 gg를 ff의 역함수(inverse function)라 하고, f−1f^{-1}로 표시한다.
  • f : X
    ightarrow Y가 역함수 f−1f^{-1}을 가지면,
    f−1ext∘f=1Xf^{-1} \boldsymbol{ ext{∘}} f = 1_X, fext∘f−1=1Yf \boldsymbol{ ext{∘}} f^{-1}= 1_Y가 된다.
      - 따라서 ff가 역함수를 가지면 f−1f^{-1}도 역함수를 가지며, (f−1)−1=f(f^{-1})^{-1} = f가 성립함을 알 수 있다.
전단사함수 예시:
  • 사다리그림을 통해 전단사 함수의 예시를 제시

사다리그림

  • 사다리그림의 특징으로 한 원소는 오직 하나의 점으로 도달하고, 그 점은 오직 한 원소가 도달할 수 있다는 성질을 가진다.
      - 예를 들어, 집합 {1, 2, 3, 4, 5}에서 {A, B, C, D, E}로 가는 전단사함수를 나타낼 수 있다.
정의 3.2.1
  • 함수 f : X
    ightarrow X가 X의 서로 다른 원소 x1,x2,ext…,xkx_1, x_2, ext{ … , } x_k에 대하여
      - (i) f(x1)=x2,f(x2)=x3,…,f(xk−1)=xk,f(xk)=x1f(x_1) = x_2, f(x_2) = x_3, … , f(x_{k-1}) = x_k, f(x_k) = x_1
      - (ii) f(x)=x,f(x) = x, x<br/>≠xi,i=1,2,…,kx <br />\neq x_i, i = 1, 2, … , k일 때, ff를 순환전단사함수(cyclic bijection)라 부르고, 이를 (x1x2…xk)(x_1 x_2 … x_k)로 나타낸다.