Unidad 1 Ecuaciones

Introducción

Conceptos fundamentales de la geometría analítica plana

La geometría analítica estudia la relación que existe entre el álgebra y la geometría, como consecuencia de la asociación de números con puntos y de ecuaciones con figuras geométricas. Las primeras publicaciones sobre este tema fueron hechas por el filósofo y matemático Rene Descartes, “Discours de la méthode” en 1637.-

En matemáticas, las expresiones algebraicas son combinaciones de números, variables (letras) y operaciones como suma, resta, multiplicación, división, etc.

Cuando comparamos dos expresiones algebraicas usando el signo igual (=), estamos estableciendo una igualdad. Esta igualdad puede ser de dos tipos:

Identidad.

Ecuación.

1. Identidad

Una identidad es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es siempre verdadera, sin importar los valores que tomen las variables. Es decir, se cumple para todos los valores de las variables involucradas.

2. Ecuación

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que no siempre es verdadera, sino que solo se cumple para ciertos valores de las variables. Estos valores se llaman soluciones o raíces de la ecuación.

Relación de equivalencia

Una igualdad entre expresiones algebraicas es una relación de equivalencia. Esto significa que cumple tres propiedades:

Reflexiva: x = x

Simétrica: si A=B, entonces B=A

Transitiva: Si A=B y B=C, entonces A=C

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones, es decir, cuando cualquier valor que satisfaga una ecuación también satisface la otra. Esto significa que ambas ecuaciones representan la misma relación matemática, aunque puedan verse diferentes.

Valor de verdad

El valor de verdad de una ecuación se refiere a si la ecuación es verdadera o falsa para un valor específico de la variable.

Raíz

La raíz de una ecuación es el valor o los valores de la variable que satisfacen la ecuación, es decir, que hacen que la igualdad sea verdadera. Dicho de otra manera, las raíces son los valores de x que hacen que f(x) sea igual a cero.

En otras palabras, son los valores que, al sustituirlos en la ecuación, hacen que ambos lados de la igualdad sean iguales.

Clasificación

Según el grado de la ecuación

El grado de una ecuación está determinado por el mayor exponente de la variable.

Grado: Indica la cantidad de soluciones reales y complejas que va a tener.

Ecuaciones de primer grado (lineales)

Ecuaciones de segundo grado (cuadráticas)

Ecuaciones de tercer grado (cúbicas)

Ecuaciones de grado superior

Según el número de variables

Las ecuaciones pueden tener una o más variables

Ecuaciones con una variable

Ecuaciones con dos variables

Ecuaciones con n variables

Según su forma y estructura

Las ecuaciones pueden tener una o más variables

Ecuaciones lineales

Ecuaciones cuadráticas

Ecuaciones polinómicas

Ecuaciones racionales

Ecuaciones radicales

Ecuaciones exponenciales

Ecuaciones logarítmicas

Según el tipo de soluciones

Ecuaciones consistentes: tienen al menos una solución

Ecuaciones inconsistentes: no tienen solución

Ecuaciones dependientes: tienen infinitas soluciones.

Según el ámbito de aplicación

Ecuaciones determinadas: tienen un numero finito de soluciones

Ecuaciones indeterminadas: tienen infinitas soluciones

Según las operaciones de las variables:

Ecuaciones enteras: las variables no están en denominadores ni dentro de raíces.

Ecuaciones fraccionarias o racionales: las variables aparecen en denominadores

Ecuaciones irracionales: las variables están dentro de raíces

Sistema Coordinado Lineal

El sistema coordinado lineal es una forma de representar los números reales en una recta.

Sistema de ejes cartesianos

El sistema de ejes cartesianos es un sistema de coordenadas que permite representar puntos, rectas y curvas en un plano. Está formado por dos ejes perpendiculares:

El eje horizontal se llama eje x (abscisas).

El eje vertical se llama eje y (ordenadas).

Cada punto en el plano se representa como un par ordenado (x,y), donde:

x es la coordenada en el eje horizontal.

y es la coordenada en el eje vertical.

El plano como espacio producto

El plano bidimensional R2 es el conjunto de todos los pares ordenados (x,y)(x,y), donde xx e yy son números reales. Matemáticamente, se define como:

R2=R×R={(x,y)∣x∈R,y∈R}R2=R×R={(x,y)∣x∈R,y∈R}

Esto significa que:

Cada punto en el plano corresponde a un único par ordenado (x,y)(x,y).

Cada par ordenado (x,y)(x,y) corresponde a un único punto en el plano.

Rectas en el plano

Una recta es una sucesión infinita de puntos alineados en una misma dirección. En el plano cartesiano, una recta puede representarse mediante una ecuación lineal de la forma:

y=mx+by

donde:

m es la pendiente de la recta.

b es la ordenada al origen (el punto donde la recta corta el eje y).

Pendiente de una recta

La pendiente (mm) de una recta indica su inclinación respecto al eje x.

Se calcula como:

m=(Cambio en y)/(Cambio en x)=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )

Donde (x1,y1) y (x2,y2) son dos puntos cualesquiera de la recta.

Interpretación de la pendiente:

Si m>0: La recta es creciente (sube de izquierda a derecha).

Si m<0: La recta es decreciente (baja de izquierda a derecha).

Si m=0: La recta es horizontal (no tiene inclinación).

Si m es indefinida (división por cero): La recta es vertical.

Formas de la ecuación de la recta

Existen varias formas de expresar la ecuación de una recta. Las más comunes son:

Forma pendiente-ordenada al origen

y=mx+b

m: Pendiente.

b: Ordenada al origen.

Forma punto-pendiente

y-y_1=m(x-x_1)

m: Pendiente

(x1,y1): Un punto conocido de la recta

Forma general

Ax+By+C=0

A, B, C: Coeficientes constantes.

Forma segmentaria

xa+yb=1

a: Intersección con el eje x.

b: Intersección con el eje y.

Posiciones relativas entre rectas

Dos rectas en el plano pueden tener las siguientes posiciones relativas:

Rectas paralelas

Tienen la misma pendiente (m1=m2)

Nunca se cortan.

Rectas perpendiculares

El producto de sus pendientes es −1

Se cortan formando un ángulo de 90°

Rectas secantes

Tienen pendientes diferentes (m1≠m2).

Se cortan en un punto

Rectas coincidentes

Tienen la misma pendiente y ordenada al origen (m1=m2 y b1=b2)

Son la misma recta

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano se calcula usando la fórmula de la distancia, que proviene del teorema de Pitágoras. Dados dos puntos A(x1,y1) y B(x2,y2), la distancia d entre ellos es:

d=〖(x_2-x_1)〗^2+〖(y_2-y_1)〗^2

Función

Una función es una relación entre dos conjuntos (llamados dominio y codominio) que asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del codominio. Se representa como:

ƒ:A→B

donde:

A: Dominio.

B: Codominio.

Existencia y unicidad:

Existencia: Para cada elemento del dominio, existe al menos un elemento en el codominio.

Unicidad: Cada elemento del dominio tiene solo una imagen en el codominio.

Dominio de una función

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de entrada (x) para los cuales la función está definida. Es decir, son los valores que puedes "meter" en la función para obtener un resultado válido.

Notación:

Si f es una función, su dominio se denota como Dom(f).

Codominio de una función

El codominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles que la función puede devolver como salida (y). Es importante destacar que el codominio no necesariamente coincide con el recorrido (también llamado imagen), que es el conjunto de valores que la función realmente toma.

Dominio y recorrido

Dominio Dom(f): Conjunto de todos los valores de entrada (x) para los cuales la función está definida.

Recorrido Rec(f): Conjunto de todos los valores de salida (y) que la función puede tomar.

Diferencia entre codominio y recorrido

Codominio: Es el conjunto de todos los valores posibles que la función podría devolver, según su definición.

Recorrido (o imagen): Es el conjunto de valores que la función realmente devuelve cuando se evalúa en su dominio.

Características de las funciones

Inyectiva (uno a uno)

Una función es inyectiva si cada elemento del recorrido es imagen de solo un elemento del dominio. Es decir, no hay dos elementos diferentes del dominio que tengan la misma imagen.

Sobreyectiva (sobre)

Una función es sobreyectiva si todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio. Es decir, el recorrido es igual al codominio.

Biyectiva

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. Esto significa que hay una correspondencia uno a uno entre el dominio y el codominio.

Asíntotas

Una asíntota es una recta a la que la gráfica de una función se acerca indefinidamente, pero nunca la toca. Pueden ser:

Asíntotas verticales: Líneas verticales x=a donde la función tiende a ±∞.

Asíntotas horizontales: Líneas horizontales y=b donde la función tiende a b cuando x tiende a ±∞.

Asíntotas oblicuas: Líneas inclinadas y=mx+b a las que la función se acerca cuando x tiende a ±∞.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número x, denotado como ∣x∣, es su distancia al cero en la recta numérica, sin importar su signo.

Claro, aquí tienes una pregunta: ¿Cuál es la diferencia principal entre una identidad y una ecuación en matemáticas?

Claro, aquí tienes una pregunta: ¿Cuál es la diferencia principal entre una identidad y una ecuación en matemáticas?