Studiehandleiding Wiskunde A - Universiteit van Amsterdam

Rekenen met Breuken

• Definitie van een breuk: Een breuk is een geheel getal $a$ gedeeld door een geheel getal $b$. De notatie is $\frac{a}{b}$. Hierbij wordt $a$ de teller genoemd en $b$ de noemer.

• Notatie in exacte vakken: Hoewel op de middelbare school vaak de notatie met het gehele deel voorafgaand (zoals $2\frac{1}{3}$) wordt gebruikt, hanteert men in de exacte wetenschappen altijd de notatie $\frac{\text{teller}}{\text{noemer}}$.

• Vereenvoudigen: Een breuk is vereenvoudigbaar als de teller en de noemer door hetzelfde gehele getal (groter dan 1) deelbaar zijn. Men streeft altijd naar de onvereenvoudigbare vorm.

  • Voorbeeld: $\frac{25}{35} = \frac{25 \div 5}{35 \div 5} = \frac{5}{7}$.

• Optellen en aftrekken:

  • Gelijknamig: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$ en $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$.

  • Ongelijknamig: Maak de noemers gelijk door kruislings te vermenigvuldigen: $\frac{a}{c} + \frac{b}{d} = \frac{ad+bc}{cd}$.

• Priemgetallen en ontbinden: Priemgetallen zijn positieve gehele getallen deelbaar door precies twee getallen (1 en zichzelf). De eerste tien zijn: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$. Elk getal kan worden ontbonden in priemfactoren (bijv. $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$).

• Kleinste Gemene Veelvoud (kgv): Het kleinste getal dat door beide getallen deelbaar is. Wordt bepaald door elke priemfactor mee te nemen uit de ontbinding waar deze het meest in voorkomt.

  • Toepassing: Gebruik het kgv om breuken met grote noemers gelijknamig te maken zonder onnodig grote getallen te krijgen.

• Grootste Gemene Deler (ggd): De grootste factor waar beide getallen door gedeeld kunnen worden. Wordt bepaald door de overlappende priemfactoren in de laagste frequentie te vermenigvuldigen.

• Vermenigvuldigen en Delen:

  • Vermenigvuldigen: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$.

  • Delen: Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde: $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$.

Rekenen met Wortels en Machten

• Definitie Wortel: De wortel van $x$ ($\sqrt{x}$) is het positieve getal $y$ waarvoor geldt dat $y^2 = x$.

• Eigenschappen ($x \geq 0$):

  • $(\sqrt{x})^2 = x$

  • $\sqrt{x^2} = x$

• Rekenregels:

  • $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$

  • $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

• Standaardvorm: Een wortel staat in standaardvorm als $a\sqrt{b}$, waarbij $b$ onvereenvoudigbaar is (niet deelbaar door een kwadraat groter dan 1).

• Hogeremachtswortels:

  • Even $n$: $\sqrt[n]{x} = y$ betekent $y^n = x$ ($x \geq 0$). Er is één positieve keuze.

  • Oneven $n$: $\sqrt[n]{x} = y$ betekent $y^n = x$. Dit kan ook voor negatieve $x$ (bijv. $\sqrt[3]{-8} = -2$).

• Machtsregels:

  • Breuk naar macht: $\frac{1}{x^m} = x^{-m}$

  • Wortel naar macht: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$

  • Regels: $x^a \times x^b = x^{a+b}$, $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$, $(x^a)^b = x^{ab}$, $(xy)^a = x^ay^a$.

Haakjes Uitwerken en Factoren buiten Haakjes halen

• Enkele haakjes: $a(b+c) = ab + ac$.

• Dubbele haakjes: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.

• Merkwaardige producten:

  • $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

  • $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

• Factoren buiten haakjes: Zoek de grootste gemeenschappelijke factor van alle termen. Bijvoorbeeld: $6x^3 + 3x^2 + 3x = 3x(2x^2 + x + 1)$.

• Exacte getallen: Resultaten moeten in wiskunde altijd exact genoteerd worden (gehele getallen, onvereenvoudigbare breuken of wortels in standaardvorm), tenzij afronding gevraagd wordt.

Functies en Vergelijkingen

• Basisbegrippen:

  • Functiewaarde: $y = f(x)$. Bijv. voor $f(x) = 3x+2$ is $f(2) = 8$.

  • Coördinaten: Punten worden genoteerd als $(x, y)$.

  • Domein: Alle waarden van $x$ die ingevuld mogen worden.

  • Bereik: Alle waarden van $y$ die de functie kan aannemen.

• Snijpunten:

  • x-as (Nulpunten): Los op $f(x) = 0$.

  • y-as: Bereken $f(0)$.

  • Tussen grafieken: Los op $f(x) = g(x)$.

• Lineaire Functies: $f(x) = ax + b$. $a$ is de richtingscoëfficiënt, $b$ is het startgetal.

• Tweedegraadsfuncties (Kwadratisch): $f(x) = ax^2 + bx + c$. Dit geeft een parabool (dal als a>0, berg als a<0).

  • ABC-formule: Voor $ax^2+bx+c=0$, bereken discriminant $D = b^2 - 4ac$. De oplossingen zijn $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

  • Aantal oplossingen: D>0 (2 opl.), $D=0$ (1 opl.), D<0 (0 opl.).

• Machtsvergelijkingen:

  • Vorm $ax^n = b$: Gebruik $\sqrt[n]{\frac{b}{a}}$.

  • Vorm $ax^n + bx^m = 0$: Haal de kleinste macht van $x$ buiten haakjes.

  • Substitutie ($p$-stellen): Gebruik dit bij vormen als $x^4 - 5x^2 + 6 = 0$. Stel $p = x^2$, los de kwadratische vergelijking op en herleid naar $x$.

• Wortelfuncties: $f(x) = d\sqrt{ax+b} + c$.

  • Domein: $ax+b \geq 0$.

  • Oplossen: Isoleer de wortel, kwadrateer beide kanten, en voer ALTIJD een controle uit (check op valse oplossingen).

• Gebroken Lineaire Functies: $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$.

  • Verticale Asymptoot: Noemer = 0 ($x = -\frac{d}{c}$).

  • Horizontale Asymptoot: Verhouding van coëfficiënten van $x$ ($y = \frac{a}{c}$).

  • Oplossen: Maak er aan beide kanten één breuk van en vermenigvuldig kruislings.

Getallenrijen

• Rekenkundige Rijen: Verschil $d$ tussen opeenvolgende termen is constant ($a_n = a_1 + (n-1)d$).

  • Somformule: $\sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{1}{2}n(a_1 + a_n)$.

• Meetkundige Rijen: Elke term is een vast veelvoud $r$ van de vorige ($a_n = a_0r^n$).

  • Somformule ($r \neq 1$): $\sum_{k=0}^{n} a_0r^k = a_0 \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}$.

• Verschuiven van de index: Als een som niet op $k=1$ of $k=0$ begint, gebruik een substitutie (bijv. $b = k-c$) om de grenzen en de term aan te passen naar de standaardvorm.

Goniometrie

• Graden en Radialen: Een volledige cirkel is $360^{\circ}$ of $2\pi$ radialen.

  • Omrekenen: $\text{radialen} = \text{graden} \times \frac{\pi}{180}$ en $\text{graden} = \text{radialen} \times \frac{180}{\pi}$.

• Cirkels: Omtrek $= 2\pi r$, Oppervlakte $= \pi r^2$, Sectoroppervlakte $= \frac{1}{2}\alpha r^2$ (met $\alpha$ in radialen).

• Eenheidscirkel: Punt op de cirkel is $(\cos(\alpha), \sin(\alpha))$. $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

• Standaardwaarden:

  • $\sin(\frac{1}{6}\pi) = \frac{1}{2}$, $\sin(\frac{1}{4}\pi) = \frac{1}{2}\sqrt{2}$, $\sin(\frac{1}{3}\pi) = \frac{1}{2}\sqrt{3}$.

  • Gebruik symmetrie voor andere kwadranten.

• Sinusoïde: $s(t) = B + A \sin(2\pi f t + \phi)$.

  • $A$: Amplitude (maximale uitwijking).

  • $B$: Evenwichtsstand (gemiddelde waarde).

  • $f$: Frequentie ($f = \frac{1}{T}$, waarbij $T$ de periode is).

  • $\phi$: Fasehoek (bepaalt de verschuiving in $t$; startpunt ligt bij $t = -\frac{\phi}{2\pi f}$).

Exponentiële Functies en Logaritmen

• Exponentieel: $f(x) = a \cdot g^x + c$.

  • Horizontale asymptoot: $y = c$.

  • Groeifactor $g$: g > 1 is groei, 0 < g < 1 is afname.

  • Nieuwe groeifactor: $g_{\text{nieuw}} = g_{\text{oud}}^{\frac{\text{nieuwe tijd}}{\text{oude tijd}}}$.

• Logaritmen: $g^a = b \iff a = \log_g(b)$.

  • Regels:

    1. $\log_g(g) = 1$

    2. $\log_g(1) = 0$

    3. $\log_g(a^k) = k \cdot \log_g(a)$

    4. $\log_g(a) + \log_g(b) = \log_g(ab)$

    5. $\log_g(a) - \log_g(b) = \log_g(\frac{a}{b})$

    6. Veranderen van grondtal: $\log_c(a) = \frac{\log_g(a)}{\log_g(c)}$.

• Natuurlijke Logaritme: $\ln(x)$ is het logaritme met grondtal $e \approx 2.718$.

• Vergelijkingen oplossen: Gebruik de basisregel, buiten haakjes halen, $p$-stellen of rekenregels combineren. Controleer bij logaritmen altijd of de oplossing in het domein valt (\text{binnenste} > 0).

Differentiëren

• Afgeleide functie: $f'(x)$ beschrijft de helling/steilheid van de grafiek.

• Basisregels:

  • Machtregel: $f(x) = x^a \implies f'(x) = ax^{a-1}$.

  • Constante: $(c)' = 0$.

  • Somregel: $(f+g)' = f' + g'$.

  • Constante factor: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$.

• Standaardafgeleiden:

  • $(e^x)' = e^x$

  • $(g^x)' = g^x \ln(g)$

  • $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$

  • $(\log_g(x))' = \frac{1}{x\ln(g)}$

• Regels voor samengestelde functies:

  • Productregel: $(fg)' = f'g + fg'$

  • Quotiëntregel: $(\frac{f}{g})' = \frac{g \cdot f' - f \cdot g'}{g^2}$ ("nat-tan / n-kwadraat")

  • Kettingregel: $f(g(x))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ (afgeleide buitenste maal afgeleide binnenste).

• Toepassingen:

  • Stijgen/Dalen: f'(x) > 0 (stijgen), f'(x) < 0 (dalen).

  • Toppen: Los op $f'(x) = 0$. Gebruik de tweede afgeleide $f''(x)$ ter controle: f''(x) < 0 (maximum), f''(x) > 0 (minimum).

  • Afstandsfunctie: De afstand tussen $f$ en $g$ is $A(x) = g(x) - f(x)$ (bovenste minus onderste).

Kansrekening

• Basis: Kans $P$ ligt tussen 0 en 1. $P(\text{gebeurtenis}) = \frac{\text{aantal gunstige mogelijkheden}}{\text{totaal aantal mogelijkheden}}$.

• Regels:

  • EN-regel: $P(A \text{ en } B) = P(A) \times P(B)$ (indien onafhankelijk).

  • OF-regel: $P(A \text{ of } B) = P(A) + P(B)$ (indien elkaar uitsluitend).

  • Complementregel: $P(A) = 1 - P(\text{niet } A)$.

• Tellen:

  • Faculteit ($n!$): Regelen van $n$ objecten op $n$ plaatsen.

  • Combinaties (\binom{n}{k}): $k$ objecten kiezen uit $n$ waarbij volgorde NIET uitmaakt: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

  • Permutaties: Volgorde maakt WEL uit: $\frac{n!}{(n-k)!}$.

  • Met herhaling: $n^k$.

• Vaasmodellen:

  • Zonder terugleggen: Kansen veranderen per trek; gebruik combinaties of vermenigvuldiging van veranderende breuken.

  • Met terugleggen: Kansen blijven gelijk; gebruik de binomiale formule.

• Binomiale Verdeling ($X \sim B(n, p)$): $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$. Verwachtingswaarde $E(X) = n \cdot p$.

• Normale Verdeling ($X \sim N(\mu, \sigma^2)$): Continu proces. Gebruik Z-scores om te standaardiseren: $Z = \frac{x - \mu}{\sigma}$. Zoek de bijbehorende kans (oppervlakte) op in de tabel. Let op symmetrie en complementregel bij waarden onder het gemiddelde of grotere-dan vragen.