Comprehensive Study Notes: Mathematical Principles and Technical Calculations

C
c Php To
n Số học v Phဃn Sồ

• C
  c php tnh phဃn số v hỗn số core:

  • Cộng v trừ phဃn số: $\frac{11}{16} + \frac{5}{8} = \frac{11}{16} + \frac{10}{16} = \frac{21}{16}$.

  • Php chia phဃn số: $\frac{11}{16} \div \frac{5}{8}$ tương đương vội $\frac{11}{16} \times \frac{8}{5} = \frac{11}{10}$.

  • Tnh to
    n vội hỗn số:

  • $4 \frac{3}{8} - 2 \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = 2 \frac{13}{40}$.

  • $4 \frac{3}{8} - 2 \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 2 \frac{1}{4}$.

  • $3 \frac{3}{4} + 4 \frac{2}{3} = 8 \frac{5}{12}$.

  • Php tnh kết hợp: $\frac{1}{4} + \frac{3}{8} - \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

  • Tm Mẫu số chung thấp nhất (Lowest Common Denominator - LCD): Cho biểu thức $\frac{1}{6} + \frac{1}{5} + \frac{1}{17} + \frac{1}{2}$, LCD l $510$.

• Tỷ lệ phဃn trăm v Số thập phဃn:

  • Chuyển đổi phဃn số sang thập phဃn: $\frac{7}{6} \approx 1.166$, $\frac{7}{8} = 0.875$, $\frac{1}{7} \approx 0.14286$.

  • Chuyển đổi phဃn số sang phဃn trăm: $\frac{9}{20} = 45\%$, $\frac{3}{8} = 37.5\%$.

  • Tỷ lệ tương đương: Số thập phဃn $0.075$ tương đương vội phဃn số $\frac{3}{40}$.

  • Php tnh phဃn trăm: $3\%$ của $0.001$ l $0.00003$. $4\%$ của $0.01$ l $0.0004$.

  • So s
    nh tỷ lệ: Nếu $20\%$ của $120$ l $24$, th $24\%$ của $20$ l $4.8$.

  • Tỷ lệ (Ratios): Tỷ lệ $6:5$ c
    thể biểu diễn l $24:20$. Tỷ lệ $6:4$ c
    thể biểu diễn l $150\%$.

Đại Số (Algebra)

• Giải phương trnh bậc nhất một ẩn:

  • $5x - 7 = 3 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2$.

  • $2x - 3 = 4 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = 3.5$.

  • $5x = 3x + 2 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$.

  • $3(x + 2) = 30 + 2(x - 4) \Rightarrow 3x + 6 = 30 + 2x - 8 \Rightarrow x = 16$.

  • $2x = 4(x - 3) \Rightarrow 2x = 4x - 12 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6$.

  • $\frac{x + 3}{3} = \frac{x + 5}{2} \Rightarrow 2x + 6 = 3x + 15 \Rightarrow x = -9$.

• Hệ phương trnh tuyến tnh:

  • Hệ 1: $4x + 8y = 64$ v $2x - 8y = 86$. Cộng hai vế: $6x = 150 \Rightarrow x = 25$.

  • Hệ 2: $2x - 8y = 14$ v $4x + 8y = 16$. Cộng hai vế: $6x = 30 \Rightarrow x = 5$.

  • Hệ 3: $5x + 3y = 19$ v $3x + 2y = 12 \Rightarrow x = 2, y = 3$.

  • Hệ 4: $3x + 4y = 29$ v $4x - y = 7 \Rightarrow x = 3, y = 5$.

• Biến đổi c
  ng thức (Subjects of Formula):

  • Từ $x = Ly + 7cb$, r
    t $y = \frac{x - 7cb}{L}$.

  • Từ $A = X + BY$, r
    t $Y = \frac{A - X}{B}$.

  • Từ $y = mx + c$:

  • R
    t $m = \frac{y - c}{x}$.

  • R
    t $x = \frac{y - c}{m}$.

  • R
    t $c = y - mx$.

  • Từ $2\pi fL = x$, r
    t $L = \frac{x}{2\pi f}$.

  • Từ $I = \frac{PRT}{100}$, r
    t $P = \frac{100I}{RT}$.

  • Từ $v^2 = u^2 + 2as$, r
    t $u = \sqrt{v^2 - 2as}$.

  • Từ $V = (a + b) r^2$, r
    t $a = \frac{V}{r^2} - b$.

• Rt gọn v Phn tch đa thức:

  • Rt gọn: $3x - 2xy - 3y + 5xy - 2x + 2y = x + 3xy - y$.

  • Rt gọn: $5(x - 2y) + 3(2y - x) = 5x - 10y + 6y - 3x = 2x - 4y$.

  • Rt gọn: $3a - 2b + 6a - 3b - 2a = 7a - 5b$.

  • Khai triển: $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$.

  • Khai triển: $(x - 3)(x + 5) = x^2 + 2x - 15$.

  • Khai triển: $(x - y)(x - y) = x^2 - 2xy + y^2$.

  • Php nhn: $(3a + 2b)(2a - 3b) = 6a^2 - 5ab - 6b^2$.

  • Php chia: $\frac{3x^2 - 6xy}{x - 2y} = \frac{3x(x - 2y)}{x - 2y} = 3x$.

  • Php nhn: $2x^2 z^2 (3x - z^2) = 6x^3 z^2 - 2x^2 z^4$.

  • Rt gọn phဃn thức: $\frac{(w + z)(x - y)(y - w)}{(y - x)(w - y)(w + z)}$. Do $(x - y) = -(y - x)$ v $(y - w) = -(w - y)$, kết quả l $(-1) \times (-1) = 1$.

• Phương trnh bậc hai (Quadratic Equations):

  • Dạng qu
    t: $ax^2 + bx + c = 0$.

  • Nhận biết: $3x^2 + 2x + 1 = 0$ l phương trnh bậc hai.

  • Nghiệm của phương trnh: Nếu nghiệm l $x = 6$ v $x = 9$, phương trnh l $x^2 - 15x + 54 = 0$.

  • Phn tch thnh nhn tử:

  • $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x - 3) = 0$.

  • $4x^2 - 6x - 28 = 0 \Rightarrow (4x - 14)(x + 2) = 0$.

  • $x^2 + 7x + 12 = 0 \Rightarrow (x + 3)(x + 4) = 0$.

  • $8x^2 - 34x + 21 = 0 \Rightarrow (4x - 3)(2x - 7) = 0$.

  • Giải phương trnh:

  • $y^2 + 5y + 6 = 0 \Rightarrow y = -2$ hoặc $y = -3$.

  • $3x^2 + 22x + 35 = 0 \Rightarrow x = -5$ hoặc $x = -\frac{7}{3}$.

  • $5x^2 + 22x - 15 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{5}$ hoặc $x = -5$.

  • $(2x - 1)(3x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0.5$ hoặc $x = -0.67$.

Số mũ, Căn thức v Logarit

• Số mũ v Luỹ thừa (Exponents):

  • $14^3 = 14 \times 14 \times 14$.

  • Quy tắc nhn luỹ thừa: $(x^2 \times x^3)^3 = (x^5)^3 = x^{15}$.

  • Biểu diễn mû̃ $200,000$ v
    n l $2 \times 10^5$ v
    n.

  • Kiến thức căn bản: $(A + B)^4 / (A + B)^2 = (A + B)^2$.

• Căn thức (Roots):

  • Căn bậc hai của $1600$ l $40$.

  • Căn bậc hai của $4$ luỹ thừa mû̃ $5$ l $\sqrt{4^5} = \sqrt{1024} = 32$.

  • Căn bậc ba (Cube Roots):

  • $\sqrt[3]{-64} = -4$.

  • $\sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$.

  • Lûy : Một số dương lu
    n c
    hai căn bậc hai, một dương v một m. Ta c
    thể lấy căn bậc ba của số m.

  • Khử căn ở mẫu số được gọI l "Trục căn thức ở mẫu" (Rationalizing the denominator).

• Logarit (Logarithms):

  • Quy tắc: $\log(AB) = \log A + \log B$.

  • Quy tắc: $\log(A/B) = \log A - \log B$.

  • Tnh to
    n:

  • $\log 1000 = 3$.

  • $\log 20000.2 \approx 4.301$ (Trong transcript đ
    p
    n l $4.7892$ cho gi
    trị xấp xỉ kh
    c).

  • $\log 100 + \cos(60) = 2 + 0.5 = 2.5$.

  • $\log 9 - \log 3 = \log(9/3) = \log 3$.

  • $\log_k 6^3 = 3 \log_k 6$.

  • $\log 100^2 - \log 10^3$ (Giả định cơ số $10$): $2 - 3 = -1$.

  • $\log A^9 - \log A^4 = 5 \log A$.

  • ĐặC TRƯNG (Characteristic): Đặc trƯng của số $5.74$ l $0$.

Hệ thống số (Number Systems)

• Cơ số số học (Bases):

  • Nhị phn (Binary): Cơ số $2$.

  • B
    t phn (Octal): Cơ số $8$.

  • Thập lục phn (Hexadecimal): Cơ số $16$.

• Chuyển đổi cơ số:

  • Nhị phn sang Thập phn: $100000_2 = 32_{10}$. $1100_2 = 12_{10}$. $101110_2 = 46_{10}$.

  • Thập lục phn sang Thập phn: $D_{16} = 13_{10}$.

  • B
    t phn sang Thập phn: $13_8 = (1 \times 8) + 3 = 11_{10}$.

  • Số thập phối nhị phn (Binary Coded Decimal - BCD): $738$ biểu diễn l $0111\,0011\,1000$.

Hnh học phẳng v khng gian (Geometry)

• Tam gi
  c (Triangles):

  • Tổng ba gc trong một tam gi
    c lu
    n bằng $180^\circ$.

  • Phn loại:

  • Tam gi
    c nhọn (Acute triangle): Gồm t nhất hai gc nhọn (gc nhọn $< 90^circ$).

  • Tam gi
    c cn (Isosceles): C
    hai cạnh v hai gc bằng nhau. Nếu một gc l $100^\circ$, hai gc cn lại l $40^\circ$.

  • Tam gi
    c đều (Equilateral): Ba cạnh v ba gc bằng nhau.

  • Tam gi
    c lệch (Scalene): Cả ba cạnh đều kh
    c nhau.

  • Tam gi
    c vu
    ng (Right-angled): Diện tch A = \frac{1}{2} (\text{cạnh đ
    y} \times \text{chiều cao}).

  • Định l
    Pythagoras: Trong tam gi
    c vu
    ng $ABC$ (gc $A = 90^\circ$), $BC^2 = AB^2 + AC^2$. V
    dụ: Cạnh $3$ inch v $4$ inch th cạnh huyền l $5$ inch.

• Tứ gi
  c (Quadrilaterals):

  • Hnh thang (Trapezium): Chỉ c
    một cặp cạnh song song.

  • Hnh diều (Kite): C
    hai cặp cạnh kề bằng nhau, c
    c đường ch
    o vắt nhau vu
    ng gc.

  • Hnh chữ nhật: Diện tch khối $11\,cm \times 120\,cm = 1320\,cm^2 = 0.132\,m^2$.

• Đường trn (Circles):

  • Chu vi $C = \pi \times D$ ($D$ l đường knh).

  • Diện tch $A = \pi \times r^2$ ($r$ l b
    n knh).

  • Nếu chu vi l $12\,cm$, diện tch xấp xỉ $11.3\,cm^2$.

  • C
    c kh
    i niệm: Dy cung (chord) l đường thẳng nối hai điểm trn chu vi. Quỹ đạo c
    c điểm c
    ch đều một điểm cho trước l một đường trn.

  • Hnh nhẫn (Ring): Diện tch hnh nhẫn bằng diện tch hnh trn ngoi trừ diện tch hnh trn trong. Vội $D_{out}=90$, $D_{in}=80$, $Area = \pi (45^2 - 40^2) = 425\pi$.

• Hnh khối (3D Shapes):

  • Hnh hộp chữ nhật (Cuboid): Thể tch $V = 4 \times 6 \times 12 = 288\,cm^3 = 0.000288\,m^3$.

  • Hnh nn (Cone):

  • Diện tch xung quanh $S_{xq} = \pi r l$ ($l$ l đường sinh).

  • Nếu $l = 10\,cm, D = 8\,cm \Rightarrow S_{xq} = 40\pi\,cm^2$.

  • Hnh trụ (Cylinder):

  • Thể tch $V = \pi r^2 h$. Vội $r = 20\,cm, h = 40\,cm, \pi = 3.1 \Rightarrow V = 49600\,cm^3$.

  • Diện tch mặt cong $S = 2\pi rh$. Vội $D = 20, L = 10, \pi=3.14 \Rightarrow S = 628\,cm^2$ (Trong transcript gi
    trị ny l $628$ nhưng lựa chọn thường l $1256$ nếu tnh cả hai đạy).

  • Hnh chp (Pyramid): Thể tch $V = \frac{1}{3} b h$.

  • Hnh cầu (Sphere): Diện tch bề mặt $S = 4\pi r^2$. Vội $r = 2\,cm \Rightarrow S = 16\pi\,cm^2$.

Lượng gi
c v Tể độ (Trigonometry & Coordinates)

• Hm lượng gi
  c căn bản:

  • $\sin(A) = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}}$. Trong tam gi
    c vu
    ng c
    $AB=6, BC=4$, $\sin(A) = 4/6 = 0.667$.

  • $\cos(B) = \frac{\text{kề}}{\text{huyền}}$. Trong tam gi
    c vu
    ng c
    $AB=5, BC=4$, $\cos(B) = 4/5 = 0.8$.

  • $\tan(B) = \frac{\text{đối}}{\text{kề}}$. Vội $AB=5, BC=4, AC=3 \Rightarrow \tan(B) = 3/4 = 0.75$.

  • Gc phụ nhau (Complementary): Tổng bằng $90^\circ$ (vố dụ $35^\circ$ v $55^\circ$).

  • Gc b
    (Supplementary): Tổng bằng $180^\circ$. Gc b
    của $13^\circ$ l $167^\circ$.

• Hệ tể độ t
  c giả (Coordinate Geometry):

  • Hệ tể độ Descartes gồm trục honh ($x$) v trục tung ($y$). Giao điểm l gốc tể độ $O$.

  • Phương trnh đường thẳng: $y = mx + c$.

  • $m$ l hệ số gc (gradient/slope).

  • $c$ l điểm cắt trục tung ($y$-intercept).

  • V
    dụ: $2y = 5x + 3 \Rightarrow y = 2.5x + 1.5$, hệ số gc l $2.5$.

  • Đường thẳng $x = 3$ song song vội trục $y$. Đường thẳng $y = 6$ vuông góc với trục $y$ (song song với trục $x$).

Đơn vị v Ứng dụng Kỹ thuật

• Chuyển đổi đơn vị:

  • Chiều di: $1$ inch = $25.4\,mm$ = $2.54\,cm$.

  • Thể tch: $1$ Gallon (Anh) = $4.546$ lt (trong transcript gợi
    d l $4.7$ hoặc một hệ số kh
    c tuỳ phạm vi). Lt sang Pints: $1.76$.

  • Tốc độ: $1$ knot = $1.15\,mph$. $162$ knots = $186\,mph$.

  • Điện thế: $0.000006$ v
    n = $6$ microvolts ($\mu V$). $200$ kilovolts = $200,000$ v
    n.

  • Cường độ: $0.004$ Amperes = $4\,mA$.

  • Đơn vị kh
    c: Millibar l đơn vị của
    p suất (pressure).

• Vật l
  v Cơ học:

  • Vận tốc trung bnh: $v = s/t$.

  • M
    y bay bay $1350\,nm$ trong $2$ giờ $15$ pht ($2.25\,h$) $\Rightarrow$ Tốc độ $600\,kts$.

  • M
    y bay bay $1400\,nm$ trong $1$ giờ $45$ pht ($1.75\,h$) $\Rightarrow$ Tốc độ $800\,kts$.

  • Xe chạy $24$ dặm trong $45$ pht ($0.75\,h$) $\Rightarrow$ Tốc độ $32\,mph$.

  • Chuyển động biến đổi đều: Quả bng lăn vội vận tốc đầu $60\,ft/s$, giảm tốc $5\,ft/s^2$ trong $7$ giy $\Rightarrow$ Vận tốc cuối $60 - (5 \times 7) = 25\,ft/s$.

  • Cơ cấu bnh răng: Bnh răng dẫn động (pinion) $16$ răng k
    o bnh răng bị động (spur) $48$ răng quay $120\,RPM$. Tốc độ pinion l $120 \times (48/16) = 360\,RPM$.

  • Trọng lượng (Weight): $W = \text{Khối lượng (Mass)} \times \text{Trọng trường (Gravity)}$.

  • Hiệu suất biến đổi (Inverter): So s
    nh c
    ng suất đầu vo v đầu ra được gọi l tỷ lệ (ratio) hoặc hiệu suất.

Thống k (Statistics)

• C
  c chỉ số đo lường:

  • Số trung vị (Median): Cho dy $20, 28, 17, 34, 40, 11, 34, 26$. Sắp xếp: $11, 17, 20, 26, 28, 34, 34, 40$. Median = $(26+28)/2 = 27$.

  • Yếu vị (Mode): Gi
    trị xuất hiện nhiều nhất. Trong dy $28, 17, 34, 28, 34, 35, 28, 40$, Mode l $28$.

  • Độ chnh x
    c: Khi sử dụng đồng hồ đo c
    độ chnh x
    c $0.001$ inch, nn đọc gi
    trị thật đến $4$ chữ số thập phဃn (theo guideline kỹ thuật trong transcript).