Communication Systems - Fourier Transform Notes

Θεώρημα Parseval

• Ισχύς περιοδικού σήματος x(t):
  $P<em>x = \sum</em>{k=-\infty}^{\infty} |x[k]|^2$
• Ενέργεια μη περιοδικού σήματος x(t):
  $E<em>x = \int</em>{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 df = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt$
• $|X(f)|^2$: Φασματική πυκνότητα ενέργειας (energy spectral density) του x(t).
• Φασματική πυκνότητα ισχύος (power spectral density): Η αντίστοιχη ποσότητα φασματικής πυκνότητας ενέργειας στη μονάδα χρόνου.

Σήματα Ενέργειας και Σήματα Ισχύος

• Σήματα ενέργειας (energy signals) x(t): Έχουν μη μηδενική πεπερασμένη ενέργεια:
  0 < E_x < \infty
• Σήματα ισχύος (power signals) x(t): Έχουν μη μηδενική πεπερασμένη ισχύ:
  0 < P < \infty
• Ένα σήμα είναι είτε σήμα ενέργειας, είτε σήμα ισχύος, είτε τίποτα από τα δύο (π.χ. σήμα ράμπας).
• Σήμα με πεπερασμένη ενέργεια έχει μηδενική ισχύ και σήμα με πεπερασμένη ισχύ έχει άπειρη ενέργεια.
• Στις τηλεπικοινωνίες παράγονται συνήθως σήματα ενέργειας (στα μοντέλα θεωρούνται ως σήματα ισχύος).

Συναρτήσεις Συσχέτισης Σημάτων

• Η συσχέτιση (correlation) δύο σημάτων καταδεικνύει το βαθμό ομοιότητάς τους.
• Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function): Ορίζεται για κάθε σήμα χωριστά.
• Συνάρτηση ετεροσυσχέτισης (cross-correlation function): Ορίζεται μεταξύ δύο σημάτων.
• Η μελέτη της συσχέτισης σημάτων είναι εξαιρετικά σημαντική σε διάφορους τομείς της επεξεργασίας σήματος (π.χ. ραντάρ, συστήματα επικοινωνιών).

Συναρτήσεις Ετεροσυσχέτισης Σημάτων (ΣΕΣ)

• Για σήματα ενέργειας:
  $R<em>{xy}(\tau) = \int</em>{-\infty}^{\infty} x(t)y^<em>(t - \tau) dt$$R<em>{yx}(\tau) = \int</em>{-\infty}^{\infty} y(t)x^</em>(t - \tau) dt$
• Για σήματα ισχύος:
  $R<em>{xy}(\tau) = \lim</em>{T \to \infty} \frac{1}{T} \int<em>{-T/2}^{T/2} x(t)y^<em>(t - \tau) dt$$R</em>{yx}(\tau) = \lim<em>{T \to \infty} \frac{1}{T} \int</em>{-T/2}^{T/2} y(t)x^</em>(t - \tau) dt$
• Για περιοδικά σήματα ισχύος:
  $R<em>{xy}(\tau) = \frac{1}{T</em>o} \int<em>{-T</em>o/2}^{T<em>o/2} x(t)y^<em>(t - \tau) dt$$R</em>{yx}(\tau) = \frac{1}{T<em>o} \int</em>{-T<em>o/2}^{T</em>o/2} y(t)x^</em>(t - \tau) dt$

Συσχέτιση και Συνέλιξη

• Για δύο σήματα ενέργειας x(t) και y(t):
  • Η ετεροσυσχέτιση:
    $R<em>{xy}(\tau) = \int</em>{-\infty}^{\infty} x(t)y^*(t - \tau) dt$
  • Η συνέλιξη τους:
    $x(t) * y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)y(t - \tau) d\tau$
• Συμπέρασμα:
  $R_{xy}(\tau) = x(\tau) * y^*(-\tau)$

Σημαντικές ιδιότητες των Συναρτήσεων Ετεροσυσχέτισης (ΣΕΣ)

• Δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα (όπως στην περίπτωση της συνέλιξης), δηλαδή:
  $R<em>{xy}(\tau) \ne R</em>{yx}(\tau)$
  Όμως ισχύει:
  $R<em>{xy}(\tau) = R</em>{yx}^* (-\tau)$
• Δύο σήματα ονομάζονται ορθογώνια αν ισχύει:
  $\int<em>{-\infty}^{\infty} x(t)y^*(t) dt = 0$ δηλαδή $R</em>{xy}(0) = 0$. Τότε θα ισχύει και $R_{yx}(0) = 0$
• Αν τα x(t) και y(t) είναι περιοδικά σήματα με περίοδο $T<em>o$ τότε: $R</em>{xy}(\tau + kT<em>o) = R</em>{xy}(\tau)$

Άσκηση 5

• Έστω τα σήματα $x(t) = s(t)$ και $y(t) = js<em>q(t)$ που προκύπτουν από τη συμφασική και την ορθογώνια συνιστώσα του σήματος $s(t) = e^{j2\pi f</em>c t}$.
• Να υπολογιστούν οι συναρτήσεις $R<em>{xy}(\tau)$ και $R</em>{yx}(\tau)$.

Λύση της Άσκησης 5

• Προκύπτει ότι:
  $R<em>{xy}(\tau) = -j f</em>c \int<em>{-\infty}^{\infty} \cos(2\pi f</em>c t) \sin(2\pi f<em>c (t - \tau)) dt = -\frac{\sin(2\pi f</em>c \tau)}{2\pi \tau}$
  $R<em>{yx}(\tau) = j f</em>c \int<em>{-\infty}^{\infty} \sin(2\pi f</em>c t) \cos(2\pi f<em>c (t - \tau)) dt = \frac{\sin(2\pi f</em>c \tau)}{2\pi \tau}$
• Eπαληθεύεται εύκολα ότι: $R<em>{xy}(\tau) = R</em>{yx}^*(-\tau)$.
• Επίσης, προκύπτει εύκολα ότι: $R_{xy}(0) = 0 = x(t), y(t)$ : ορθογώνια.

Ετεροσυσχέτιση Σημάτων - Παράδειγμα 2.20

• Ένας πομπός τηλεπικοινωνιακού συστήματος εκπέμπει το σήμα s1(t).
• Όταν στο δέκτη λαμβάνεται το s2(t) αυτός αποφασίζει ότι έχει σταλεί το s1(t), ενώ όταν λαμβάνεται το s3(t) ο δέκτης αποκλείει να έχει σταλεί το s1(t).
• Χρησιμοποιώντας την έννοια της ΣΕΣ να εξηγήσετε τις αποφάσεις του δέκτη.

Συστήνιση Αυτοσυσχέτισης (ΣΑΣ)

• Η ΣΑΣ ορίζεται ως η συσχέτιση ενός σήματος με τον εαυτό του:
  $R<em>x(\tau) = \int</em>{-\infty}^{\infty} x(t)x^*(t - \tau) dt$
• Για περιοδικά σήματα ισχύος ισχύει:
  $R<em>x(\tau) = \frac{1}{T} \int</em>{-T/2}^{T/2} x(t)x^*(t - \tau) dt$
• Η ΣΑΣ παρουσιάζει συζυγή συμμετρία:
  $R<em>x(-\tau) = R</em>x^*(\tau)$

Άσκηση 6

• Να υπολογιστεί η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος $x(t) = \sin(2\pi t)$ για $0 \le t \le 2$.

Ενδεικτικές Ιδιότητες Συνάρτησης Αυτοσυσχέτισης

• Για ένα σήμα ενέργειας x(t):
  $R<em>x(\tau) = \int</em>{-\infty}^{\infty} x(t)x^*(t - \tau) dt$
  Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης χρησιμοποιείται κι ως δείκτης της χρονικής μεταβολής του x(t).
• Η ενέργεια του x(t) προκύπτει ως:
  $E<em>x = R</em>x(0) = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt$
• Για τις τιμές του $R<em>x(\tau)$ αποδεικνύεται ότι: $|R</em>x(\tau)| \le R<em>x(0) = E</em>x$

Ενδεικτικές Ιδιότητες Συνάρτησης Αυτοσυσχέτισης (ΣΑΣ)

• Για ένα σήμα ισχύος με ισχύ $P<em>x$: $P</em>x = R<em>x(0) = \frac{1}{T} \int</em>{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 dt$
• Αν $S<em>x(f)$ είναι η φασματική πυκνότητα ισχύος ισχύει: $R</em>x(\tau) = \int<em>{-\infty}^{\infty} S</em>x(f) e^{j2\pi f \tau} df$
  Και θα ισχύει
  $S<em>x(f) = F[R</em>x(\tau)]$

Μετασχηματισμός Fourier και Συνάρτηση R_x(τ)

• Η φασματική πυκνότητα ενέργειας ενός σήματος ενέργειας x(t) με $X(f) = F{x(t)}$ προκύπτει ως:
  $F{R<em>x(\tau)} = |X(f)|^2$ (Απόδειξη: $F{R</em>x(\tau)} = F{x(\tau) * x^<em>(-\tau)} = X(f)X^</em>(f) = |X(f)|^2$)
• Για ένα περιοδικό σήμα ισχύος x(t) η φασματική πυκνότητα ισχύος προκύπτει ως:
  $S<em>x(f) = F{R</em>x(\tau)}$

Μετασχηματισμός Hilbert

• Ο μετασχηματισμός Hilbert ενός σήματος x(t), δεδομένου του σήματος $h(t) = (\pi t)^{-1}$, ορίζεται ως:
  $H{x(t)} = x(t) * h(t) = \int<em>{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t - \tau) d\tau = \frac{1}{\pi} \int</em>{-\infty}^{\infty} \frac{x(\tau)}{t - \tau} d\tau$
• $F{H{x(t)}} = F{h(t)}X(f) = j \text{sgn}(f)X(f)$
• $H{x<em>1(t) * x</em>2(t)} = H{x<em>1(t)} * x</em>2(t) = x<em>1(t) * H{x</em>2(t)}$
• $H{H{x(t)}} = -x(t)$
• $H{x(at)} = \text{sgn}(a)H{x(t)}, a \in R$
• Τα x(t) και $H{x(t)}$ είναι μεταξύ τους ορθογώνια.
• $\text{sgn}(x) = \begin{cases} -1 &amp; \text{if } x < 0 \ 0 & \text{if } x = 0 \ 1 & \text{if } x > 0 \end{cases}$

Παραδείγματα Μ/Σ Hilbert

• Να υπολογιστεί ο Μ/Σ Hilbert του σήματος $x(t) = \frac{1}{\pi t}$
• Να υπολογιστεί ο Μ/Σ Hilbert του σήματος $x(t) = \cos(2\pi f t)$

Διαμόρφωση Σήματος

• Διαμόρφωση: η διαδικασία αντιστοίχισης της πληροφορίας που μεταφέρει το σήμα βασικής ζώνης m(t) σε ένα χαρακτηριστικό ενός ζωνοπερατού σήματος, κατάλληλου για μετάδοση στο κανάλι.
• Ανθρώπινη ομιλία (εύρος συχνοτήτων 20 Hz με 5 KHz).
  • Δεν υπάρχουν κεραίες για συχνότητες αυτής της τάξης (μήκος κύματος της τάξης των 100 Km)
• Χαμηλή πολυπλοκότητα διατάξεων εκπομπής-λήψης Η/Μ ακτινοβολίας
• Πολυπλεξία: Κινητή Τηλεφωνία
• Αντιμετώπιση των περιορισμών που επιβάλλει το κανάλι
• Διαμόρφωση για περιορισμό θορύβου και παρεμβολών
• Απονομή συχνοτήτων: Ραδιοφωνία-Τηλεόραση

Σήματα: Βασικής ζώνης και Ζωνοπερατό

• Σήμα βασικής ζώνης (baseband): το σήμα με μη-μηδενικό φασματικό περιεχόμενο στην περιοχή γύρω από τη συχνότητα f=0 και σχεδόν μηδενικό περιεχόμενο στην υπόλοιπη περιοχή του φάσματος.
• Ζωνοπερατό (bandpass): το σήμα με μη-μηδενικό φασματικό περιεχόμενο συγκεντρωμένο γύρω από μία κεντρική συχνότητα f=fc (με fc >> 0) και σχεδόν μηδενικό περιεχόμενο στην υπόλοιπη περιοχή του φάσματος.

Σήμα Βασικής Ζώνης

• Ένα σήμα βασικής ζώνης (baseband signal) x(t) έχει το φάσμα του X(f) συγκεντρωμένο γύρω από τη μηδενική συχνότητα, δηλαδή:
  $X(f) = 0, |f| \ge W$

Ζωνοπερατό Σήμα

• Όταν το x(t) είναι ζωνοπερατό σήμα (passband signal), το X(f) είναι συγκεντρωμένο γύρω από μια κεντρική συχνότητα fc:
  X(f) = 0, |f - f_c| > W
• Αν W << fc, το x(t) ονομάζεται σήμα στενής ζώνης (narrow signal).

Παράδειγμα Ζωνοπερατού Σήματος

• Έστω το σήμα πληροφορίας βασικής ζώνης m(t).
• Στα συστήματα επικοινωνιών το m(t) είναι διαμορφωμένο είτε με αναλογική ή ψηφιακή διαμόρφωση.
• Με βάση το m(t), παράγεται το ακόλουθο ζωνοπερατό σήμα:
  $x(t) = A m(t) \cos(2\pi f_c t)$

Παράδειγμα Ζωνοπερατού Σήματος

• $x(t) = m(t)\cos(2\pi f_c t)$
• $X(f) = \frac{1}{2}[M(f - f<em>c) + M(f + f</em>c)]$

Προ-περιβάλλουσα σήματος

• Αν η x(t) είναι ένα πραγματικό σήμα με φάσμα X(f) τότε η προ-περιβάλλουσα (pre-envelope) αυτού ορίζεται ως:
  $x<em>p(t) = x(t) + j\hat{x}(t)$ Λαμβάνοντας το Μ/Σ Fourier και στα δύο μέλη προκύπτει: $X</em>p(f) = X(f) + j[-j \text{sgn}(f)X(f)] = X(f) + \text{sgn}(f)X(f) = \begin{cases} 2X(f), &amp; f &gt; 0 \ X(0), &amp; f = 0 \ 0, &amp; f &lt; 0 \end{cases}$

Μιγαδική Περιβάλλουσα (1/2)

• Κάθε φυσικά υλοποιήσιμο (πραγματικό) ζωνοπερατό σήμα μπορεί να γραφτεί ως:
  $x(t) = \Re{g(t)e^{j2\pi f_c t}}$
• Το σήμα g(t) είναι το μιγαδικό σήμα πληροφορίας βασικής ζώνης ή το ισοδύναμο χαμηλοπερατό σήμα του x(t) ή η μιγαδική περιβάλλουσα (complex envelope):
  $g(t) = x<em>p(t)e^{-2\pi f</em>c t}$
  όπου $x<em>p(t) = x(t) + jH{x(t)} = g(t)e^{2\pi f</em>c t}$ είναι η προ-περιβάλλουσα (pre-envelope) του x(t).
• Το Xp(t) έχει φασματικό περιεχόμενο μόνο στη θετική περιοχή των συχνοτήτων και χρησιμοποιείται στην ανάλυση ζωνοπερατών σημάτων.

Μιγαδική Περιβάλλουσα (2/2)

• Έστω η IQ αναπαράσταση του g(t):
  $g(t) = x<em>I(t) + jx</em>Q(t)$
• Τότε, προκύπτει (κανονική μορφή):
  $x(t) = \Re{g(t)e^{j2\pi f<em>c t}} = \Re{(x</em>I(t) + jx<em>Q(t))(\cos(2\pi f</em>c t) + j\sin(2\pi f<em>c t))} = x</em>I(t)\cos(2\pi f<em>c t) - x</em>Q(t)\sin(2\pi f_c t)$
• Αν το g(t) είναι πραγματικό, τότε $x<em>Q(t) = 0$, άρα: $x(t) = x</em>I(t)\cos(2\pi f<em>c t) = g(t)\cos(2\pi f</em>c t)$

IQ Συνιστώσες και Πολική Μορφή

• $x(t) = x<em>I(t) \cos(2\pi f</em>c t) - x<em>Q(t) \sin(2\pi f</em>c t)$
• Περιβάλλουσα: $V(t) = \sqrt{x<em>I^2(t) + x</em>Q^2(t)}$
• Φάση: $\theta(t) = \tan^{-1}\left(\frac{x<em>Q(t)}{x</em>I(t)}\right)$

IQ Συνιστώσες και Πολική Μορφή

• Τα $x<em>I(t)$ και $x</em>Q(t)$ ονομάζονται η συμφασική κι η ορθογώνια συνιστώσα, αντίστοιχα, του x(t).
• Το σήμα g(t) δύναται να εκφραστεί στην πολική μορφή:
  $g(t) = V(t)e^{j\theta(t)}$, όπου:
  $V(t) = \sqrt{x<em>I^2(t) + x</em>Q^2(t)}$, $\theta(t) = \tan^{-1}\left(\frac{x<em>Q(t)}{x</em>I(t)}\right)$
• Επίσης, προκύπτουν:
  $x<em>I(t) = \Re{g(t)} = V(t) \cos(\theta(t))$, $x</em>Q(t) = \Im{g(t)} = V(t) \sin(\theta(t))$
• Τέλος: $x(t) = V(t) \cos(2\pi f_c t + \theta(t))$

Παράδειγμα Διαμόρφωσης

• Ένα διαμορφωμένο κατά πλάτος (AM: amplitude modulation) σήμα πληροφορίας m(t) έχει μιγαδική περιβάλλουσα:
  $g(t) = V(t) = A_c + m(t)$
• Συνεπώς:
  $x<em>I(t) = A</em>c + m(t)$, $x_Q(t) = 0$

Παράδειγμα Διαμόρφωσης

• Να βρεθούν η μιγαδική περιβάλλουσα g(t), η περιβάλλουσα V(t) και η φάση θ(t) του σήματος.

Παράδειγμα Διαμόρφωσης 2 - Άσκηση 8

• Να υπολογιστεί το φάσμα του σήματος $x(t) = \Re[g(t)e^{j2\pi f_c t}]$ ως συνάρτηση του φάσματος $G(f) = F{g(t)}$.

Παράδειγμα Διαμόρφωσης 2

• Ένα ζωνοπερατό σήμα $x(t) = \Re[g(t)e^{j2f<em>c t}]$ έχει φάσμα που δίνεται από τη σχέση $X(f) = \frac{1}{2}[G(f - f</em>c) + G^*(-f - f_c)]$
• Η ΦΠΙ του x(t) θα είναι
  $S<em>x(f) = \frac{1}{4} [S</em>g(f - f<em>c) + S</em>g(-f - f_c)]$

Η Έννοια του Φίλτρου

• Συνήθως, πρόκειται για σύστημα που ακυρώνει κάποιες από τις συχνότητες του σήματος εισόδου του επιτρέποντας τη διέλευση κάποιων άλλων.
• Τα φίλτρα ταξινομούνται σε κατωπερατά ή βαθυπερατά (lowpass), υψιπερατά (highpass), ζωνοπερατά (bandpass) κι απόρριψης ζώνης (bandstop), ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους στο πεδίο της συχνότητας.

Η Ιδανική Απόκριση Βαθυπερατού Φίλτρου

• εύρος ζώνης (bandwidth)
• fc: συχνότητα αποκοπής (cutoff frequency).

Η Ιδανική Απόκριση Υψιπερατού Φίλτρου

Η Ιδανική Απόκριση Φίλτρου Απόρριψης Ζώνης

Η Ιδανική Απόκριση Ζωνοπερατού Φίλτρου

• εύρος ζώνης (bandwidth)
• f1 και f2: συχνότητες αποκοπής (cutoff frequencies).

Περιοχές Συχνοτήτων στα Φίλτρα

• Η περιοχή συχνοτήτων στην οποία επιτρέπεται η διέλευση αποτελεί τη ζώνη διέλευσης (passband) του φίλτρου.
• Αντιθέτως, η περιοχή συχνοτήτων στην οποία δεν επιτρέπεται η διέλευση ονομάζεται ζώνη απόκριψης ή ζώνη αποκοπής (stopband) του φίλτρου.
• Τα ιδανικά φίλτρα έχουν ζώνη διέλευσης σταθερού κέρδους (δηλαδή σταθερής τιμής πλάτους) και ζώνη αποκοπής μηδενικού κέρδους.

Η Απόκριση Μη Ιδανικού Βαθυπερατού Φίλτρου

• Η ζώνη διέλευσης στην πράξη.
• Η ζώνη μετάβασης (transition band) καθορίζεται από τα fs και fc.
• Η ζώνη αποκοπής στην πράξη.
• Τα δp και δs καθορίζουν την κυμάτωση (ripple) από τα 1 και 0.
• Ως κέρδος (gain) σε dB ορίζεται: $20 \log_{10}(|H(f)|)$.