Mechanikai Szerkezetek és Feszültségszámítási Jegyzet

Mechanikai és Szerkezeti Számítások: Összefoglaló Segédlet

Ez a dokumentum a tartószerkezeti mechanika feszültségszámítási, teherelemzési és keresztmetszeti jellemzők meghatározásával kapcsolatos számításait tartalmazza, különös tekintettel a ferde hajlításra, a külpontos nyomásra és a képlékeny teherbírásra.

Keresztmetszeti Jellemzők Számítása

A számítások alapja a súlypont és a tehetetlenségi nyomatékok pontos meghatározása.

Súlyponthely Meghatározása ($y_s$)

Összetett keresztmetszetek esetén a súlypont koordinátáit a statikai nyomatékok és az összterület hányadosaként kapjuk:

$y_s = \frac{\sum A_i \times y_i}{\sum A_i}$

Példa (alulról számítva):

• $A_1 = 300 \times 100 = 30\,000\,mm^2$

• $A_2 = 100 \times 200 = 20\,000\,mm^2$

• $y_s = \frac{300 \times 100 \times 50 + 100 \times 200 \times 200}{300 \times 100 + 100 \times 200} = \frac{1.5 \times 10^6 + 4.0 \times 10^6}{50\,000} = 110\,mm$

Tehetetlenségi Nyomatékok ($I_x, I_y$)

A Steiner-tétel alkalmazásával a tehetetlenségi nyomaték a súlyponti tengelyre:

$I = \sum (I_{0,i} + A_i \times d_i^2)$

X-tengely körüli nyomaték ($I_x$): $I_x = \frac{300 \times 100^3}{12} + (110 - 50)^2 \times 300 \times 100 + \frac{100 \times 200^3}{12} + (110 - 200)^2 \times 100 \times 200$ $I_x = 301\,666\,666.7\,mm^4$

Y-tengely körüli nyomaték ($I_y$): $I_y = \frac{100 \times 300^3}{12} + \frac{200 \times 100^3}{12} = 241\,666\,666.7\,mm^4$

Ferde Hajlítás és Normálfeszültségek

Ferde hajlítás esetén a feszültség a két főtengely körüli hajlítási feszültségek összege.

Általános Képlet

$\sigma_z = \pm \frac{M_x}{I_x} \times y \pm \frac{M_y}{I_y} \times x$

Ha tengelyirányú erő is ébred (külpontos nyomás): $\sigma_z = \frac{N}{A} \pm \frac{M_x}{I_x} \times y \pm \frac{M_y}{I_y} \times x$

Számítási Példa (M = 45 kNm, 45 fokos szög)

Nyomaték komponensek:

• $M = 45\,kNm$

• $M_x = 45 \times \cos(45^{\circ}) = 31.820\,kNm$

• $M_y = 45 \times \sin(45^{\circ}) = 31.820\,kNm$

Pontfeszültségek számítása (példa: 1-es pont):

• $y_1 = 90\,mm$, $x_1 = 70\,mm$

• $\sigma_1 = -\frac{31.82 \times 10^6}{62\,990\,666.67} \times 90 + \frac{31.82 \times 10^6}{9\,187\,826.67} \times 70 = -45.46 + 242.43 = 196.97\,N/mm^2$

Semleges Tengely Mehatározása

A semleges tengely mentén $\sigma = 0$. A tengely hajlásszöge ($\beta$) a vízszinteshez képest:

$\tan(\beta) = \frac{M_y}{M_x} \times \frac{I_x}{I_y}$

Számított szögek példák alapján:

• Ha $I_x = 301.6 \times 10^6$ és $I_y = 241.6 \times 10^6$, $M_y/M_x = 0.5$:   $\tan(\beta) = 0.5 \times \frac{301.6}{241.6} = 0.624 \rightarrow \beta = 36.8^{\circ}$

• Ha $M_x = M_y$ és $I_x = 66\,667$, $I_y = 16\,667$:   $\tan(\beta) = 1 \times \frac{66\,667}{16\,667} \approx 4 \rightarrow \beta = 76^{\circ}$

Külpontos Nyomás (Eccentric Compression)

A feszültség három komponensből áll: központos nyomás, X körüli hajlítás és Y körüli hajlítás.

Példa adatai:

• $F = 400\,kN$ (nyomóerő)

• $e_x = 100\,mm$, $e_y = 50\,mm$

• $A = 300 \times 200 = 60\,000\,mm^2$

• $M_x = F \times e_y = 400\,000 \times 50 = 20\,000\,000\,Nmm$

• $M_y = F \times e_x = 400\,000 \times 100 = 40\,000\,000\,Nmm$

Szélsőértékek:

• $\sigma_{max, nyomott} = -\frac{400\,000}{60\,000} - \frac{20 \times 10^6}{200 \times 10^6} \times 100 - \frac{40 \times 10^6}{450 \times 10^6} \times 150$

• $\sigma_{max, nyomott} = -6.667 - 10 - 13.333 = -30\,N/mm^2$

• $\sigma_{max, húzott} = -6.667 + 10 + 13.333 = +16.667\,N/mm^2$

Képlékeny Teherbírás Számítása

Rugalmas és Képlékeny Határnyomaték

• Rugalmas határnyomaték ($M_{RH}$): A legszélső szál eléri a folyáshatárt ($\sigma_y$).   $M_{RH} = \frac{\sigma_y \times I}{y_{max}}$

• Képlékeny határnyomaték ($M_{KH}$): A teljes keresztmetszet átfolyósodik.   $M_{KH} = \sigma_y \times S$ ahol $S$ a statikai nyomatékok összege a területfelező tengelyre.

Példa számítása:

• $\sigma_y = 235\,N/mm^2$

• $I = 1275 \times 10^6\,mm^4$, $y_{max} = 216.667\,mm$

• $M_{RH} = \frac{235 \times 1275 \times 10^6}{216.667} = 1382.89\,kNm$

• Területfelező tengely helye (példa): $y = 225\,mm$

• Statikai nyomaték ($S$): $9\,375\,000\,mm^3$

• $M_{KH} = 235 \times 9\,375\,000 = 2203.125\,kNm$

• Képlékeny tartalék: $\frac{M_{KH}}{M_{RH}} = \frac{2203.125}{1382.89} = 1.593$ (59.3% plusz kapacitás).

Súlyelemzés (Teherösszesítés)

Épületszerkezeti elem terheinek meghatározása rétegrend alapján.

Teherbírás ellenőrzése

• Mértékadó teher: $p_{Ed} = 11.23\,kN/m^2$

• Sávszélesség: $0.60\,m$

• $q_{Ed} = 11.23 \times 0.60 = 6.74\,kN/m$

• Ellenőrzés: $q_{Ed} \leq P_{Rd}$ (pl. $6.74 \leq 8.30$), Megfelel.

Ökölszabályok és Méretezési Segédlet

Alakváltozási korlát

Hajlított elemek esetén általános lehajlási korlát: $L/300$.

Méretfelvételi közelítések ($L$ a fesztáv függvényében)

• Vasbeton gerenda: $h = L/10 \dots L/15$

• Acél gerenda (I, IPE): $h = L/20 \dots L/30$

• Fagerenda: $h = L/15 \dots L/20$

• Vasbeton födémlemez (egymezős): $v = L/20 \dots L/30$

• Vasbeton födémlemez (többmezős): $v = L/35 \dots L/40$

Anyagok térfogatsúlya

• Acél: $78.50\,kN/m^3$

• Vasbeton: $25.00\,kN/m^3$

• Beton: $22.00\,kN/m^3$

• Fa (puha/kemény): $6.50 \dots 8.00\,kN/m^3$

• Téglafal (vakolatlan): $8.50\,kN/m^3$

Alakváltozások Számítása (Munkatétel)

A tartók elmozdulása és elfordulása a virtuális erőmódszerrel (szorzat-integrálokkal) számítható:

$y = \int \frac{M_0 \times M_V}{EI} dz$

• $M_0$: Külső teherből származó nyomatéki ábra.

• $M_V$: Egységnyi virtuális erőből/nyomatékból származó ábra.

• $EI$: Hajlítási merevség.

Gyakorlati egyszerűsítés: Ha az egyik ábra lineáris, az integrál helyettesíthető az egyik ábra területének ($T$) és a terület súlypontjához tartozó másik ábra ordinátájának ($y_{s0}$) szorzatával: $f = \frac{1}{EI} \times (T \times y_{s0})$