Dominio della Frequenza

• Sinusoide: utilizzata per descrivere i segnali nel dominio della frequenza.
• Vettori: elementi matematici utilizzati in vari campi scientifici.
• Risposta in Frequenza: studio della reazione di un sistema a segnali sinusoidali.

Piano di Studio

• Risposta in Sinusoide: rivedere i concetti di segnale sinusoidale.
• Vettori: esplorare l'importanza e la rappresentazione dei vettori.
• Frequenza: analisi della risposta dei sistemi a frequenze varie.

Segnale Sinusoidale

• Definizione: un segnale sinusoidale è un'onda periodica che può essere rappresentata graficamente.

  • Per il segnale sinusoidale:
  • Si considera una circonferenza di raggio unitario.
  • Un punto P si muove su di essa con velocità costante in senso antiorario.
  • Viene tracciato il grafico dell’altezza del punto rispetto al tempo, risultando in una sinusoide.

• Cicli: una sinusoide è composta da ripetizioni del suo profilo.

  • Ogni ripetizione è chiamata ciclo.
  • Nella figura presentata, sono rappresentati circa 3 cicli.

• Rappresentazione di un segnale sinusoidale di tensione:

  • Simbolo 𝑣(𝑡): 𝑣 indica tensore in volt, e 𝑡 è il tempo.
  • I segnali sinusoidali si differenziano per tre parametri:
  • Ampiezza
  • Frequenza
  • Fase

Ampiezza

• Definizione dell'Ampiezza: è l'altezza del picco massimo della sinusoide, indicato da A nel grafico.

Frequenza

• Definizione della Frequenza: rappresenta il numero di cicli al secondo, espressa in Hz.
  • La frequenza è l’inverso del periodo (T):
    $f = \frac{1}{T}$

Fase

• Definizione della Fase: indica l'anticipo della sinusoide rispetto all’istante t = 0.
  • La fase φ deve essere divisa per ω per essere espressa in secondi, non in angoli.

Periodo

• Definizione del Periodo: il periodo T è la durata di un ciclo ed è misurato in secondi.

Funzione Matematica del Segnale Sinusoidale

• La forma matematica del segnale sinusoidale è:
  • $v(t) = A imes ext{sin}(2 ext{π} imes t + φ)$
  • Dove A è l'ampiezza, φ è la fase e ω è la pulsazione:
  • $ω = 2 ext{π}f$
  • Frequenza e pulsazione sono legate dalle seguenti espressioni:
    • $ω = 2 ext{π}f$
    • $f = \frac{ω}{2 ext{π}}$

Vettori

• Definizione di Vettori: elementi matematico-grafici fondamentali utilizzati in vari campi scientifici inclusi meccanica, elettricitá, chimica ecc.

Rappresentazione Vettoriale

• Sistemi Lineari: quando la sollecitazione esterna è sinusoidale, si osservano segnali sinusoidali in tutti i punti del sistema.

• La rappresentazione della sinusoide da un vettore ha:

  • Ampiezza della sinusoide (lunghezza del vettore).
  • Sfasamento della sinusoide (fase del vettore).

• Piano di Gauss: rappresenta il vettore in un piano diverso dal piano cartesiano, con suddivisione in asse reale (Re) e immaginario (Im).

• Caratteristiche del Vettore:

  • Parte Reale 𝑅𝑒(V): proiezione sull'asse reale.
  • Parte Immaginaria 𝐼𝑚(V): proiezione sull'asse immaginario.
  • Fase <(V): rappresentata con φ.
  • Modulo V: lunghezza del vettore.

Relazioni tra Vettori

• Un vettore è identificato da:

  1. Parte reale - parte immaginaria (coordinate cartesiane).
  2. Modulo - fase (coordinate polari).

• Conversione tra Coordinate:

  • Da coordinate polari a coordinate cartesiane:
  • $Re(V) = |V| imes ext{cos}(φ)$
  • $Im(V) = |V| imes ext{sin}(φ)$
  • Da coordinate cartesiane a coordinate polari:
  • $R = ext{sqrt}(Re^2 + Im^2)$
  • $φ = ext{arctan}\frac{Im}{Re}$

Somma di Vettori

• In caso di segnali sinusoidali di uguale frequenza:
  • La somma di due vettori fornisce:
  • Parte reale uguale alla somma delle parti reali.
  • Parte immaginaria uguale alla somma delle parti immaginarie.

Prodotto e Rapporto di Vettori

• Prodotto di due vettori:
  • $V = V_1 imes V_2$ con modulo pari al prodotto dei moduli e fase rappresentata dalla somma delle fasi:
  • V = V_1 imes V_2, <V = <V_1 + <V_2
• Rapporto di due vettori:
  • $V = \frac{V_1}{V_2}$ con modulo uguale al rapporto dei moduli e fase pari alla differenza delle fasi:
  • V = rac{V_1}{V_2}, <V = <V_1 - <V_2

Sinusoidi e Vettori nel Trifase

• Generatore Trifase: equivalente a tre generatori monofase.

• Un sistema trifase è simmetrico se:

  • Le tensioni di fase 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3 hanno uguale valore efficace e frequenza.
  • Sono sfasati di 120° tra loro.

• Somma Vettoriale: la somma vettoriale delle tre tensioni di fase è zero per motivi di simmetria spaziale.

• Tensioni Concatenate: tensioni misurate tra conduttori di linea:

  • $V_{12} = E_1 - E_2$
  • $V_{23} = E_2 - E_3$
  • $V_{31} = E_3 - E_1$

• Relazione Tensioni di Fase e di Linea:

  • $V_{23} = 2 imes E imes \frac{ ext{√3}}{2}$
  • Relazione generale tra valore efficace E di fase e valore efficace V di linea:
  • $V = ext{√3} imes E$

Risposta in Frequenza

• L'analisi di un sistema viene effettuata per la risposta in uscita a un ingresso sinusoidale:

  • In uscita si forma una sinusoide di eguale frequenza ma con ampiezza e fase diverse:
  • $A_U, ext{ φ_U}$.

• Studio di un Sistema:

  • Noto 𝐴_I determinare 𝐴_U.
  • Noto φ_I determinare φ_U.

Funzione di Trasferimento

• Vettori di ingresso e uscita legati da:

  • $G ⃗ (jω)$ – espressione matematica della funzione di trasferimento.
  • Funzione di trasferimento rappresenta il modello matematico del sistema.
  • È data dal rapporto tra il vettore di uscita e il vettore di ingresso:
  • $G ⃗ (jω) = \frac{V_U}{V_I}$

• Formula inversa:

  • $V_U = V_I imes G ⃗ (jω)$

Circuito RC e Funzione di Trasferimento

• Esempio di Circuito RC:

  • Applicando la legge del partitore di tensione:
    $V = \frac{1}{1 + jωC}$
  • Dividendo per V:
  • $G(jω) = \frac{V_U}{V_1(1 + jωCR)}$

• F.d.t. come vettore:

  • Contiene termine immaginario j.

Calcolo Uscita

• L'uscita risulta:
  • $V_U = V_I imes G ⃗ (jω)$
• Modulo dell'uscita:
  • Uguale al modulo dell'ingresso moltiplicato per il modulo della f.d.t.
  • Fase dell'uscita:
  • Sommato alla fase dell'ingresso e alla fase della f.d.t.

Osservazione finale

• Importanza di indagare il comportamento del sistema per segnali sinusoidali a tutte le frequenze.
• Per rappresentare graficamente il comportamento di un sistema si utilizzano diagrammi di Bode e diagrammi di Nyquist.