Dominio della Frequenza
- Sinusoide: utilizzata per descrivere i segnali nel dominio della frequenza.
- Vettori: elementi matematici utilizzati in vari campi scientifici.
- Risposta in Frequenza: studio della reazione di un sistema a segnali sinusoidali.
Piano di Studio
- Risposta in Sinusoide: rivedere i concetti di segnale sinusoidale.
- Vettori: esplorare l'importanza e la rappresentazione dei vettori.
- Frequenza: analisi della risposta dei sistemi a frequenze varie.
Segnale Sinusoidale
Definizione: un segnale sinusoidale è un'onda periodica che può essere rappresentata graficamente.
- Per il segnale sinusoidale:
- Si considera una circonferenza di raggio unitario.
- Un punto P si muove su di essa con velocità costante in senso antiorario.
- Viene tracciato il grafico dell’altezza del punto rispetto al tempo, risultando in una sinusoide.
Cicli: una sinusoide è composta da ripetizioni del suo profilo.
- Ogni ripetizione è chiamata ciclo.
- Nella figura presentata, sono rappresentati circa 3 cicli.
Rappresentazione di un segnale sinusoidale di tensione:
- Simbolo 𝑣(𝑡): 𝑣 indica tensore in volt, e 𝑡 è il tempo.
- I segnali sinusoidali si differenziano per tre parametri:
- Ampiezza
- Frequenza
- Fase
Ampiezza
- Definizione dell'Ampiezza: è l'altezza del picco massimo della sinusoide, indicato da A nel grafico.
Frequenza
- Definizione della Frequenza: rappresenta il numero di cicli al secondo, espressa in Hz.
- La frequenza è l’inverso del periodo (T):
f = rac{1}{T}
- La frequenza è l’inverso del periodo (T):
Fase
- Definizione della Fase: indica l'anticipo della sinusoide rispetto all’istante t = 0.
- La fase φ deve essere divisa per ω per essere espressa in secondi, non in angoli.
Periodo
- Definizione del Periodo: il periodo T è la durata di un ciclo ed è misurato in secondi.
Funzione Matematica del Segnale Sinusoidale
- La forma matematica del segnale sinusoidale è:
- v(t) = A imes ext{sin}(2 ext{π} imes t + φ)
- Dove A è l'ampiezza, φ è la fase e ω è la pulsazione:
- ω = 2 ext{π}f
- Frequenza e pulsazione sono legate dalle seguenti espressioni:
- ω = 2 ext{π}f
- f = rac{ω}{2 ext{π}}
Vettori
- Definizione di Vettori: elementi matematico-grafici fondamentali utilizzati in vari campi scientifici inclusi meccanica, elettricitá, chimica ecc.
Rappresentazione Vettoriale
Sistemi Lineari: quando la sollecitazione esterna è sinusoidale, si osservano segnali sinusoidali in tutti i punti del sistema.
La rappresentazione della sinusoide da un vettore ha:
- Ampiezza della sinusoide (lunghezza del vettore).
- Sfasamento della sinusoide (fase del vettore).
Piano di Gauss: rappresenta il vettore in un piano diverso dal piano cartesiano, con suddivisione in asse reale (Re) e immaginario (Im).
Caratteristiche del Vettore:
- Parte Reale 𝑅𝑒(V): proiezione sull'asse reale.
- Parte Immaginaria 𝐼𝑚(V): proiezione sull'asse immaginario.
- Fase <(V): rappresentata con φ.
- Modulo V: lunghezza del vettore.
Relazioni tra Vettori
Un vettore è identificato da:
- Parte reale - parte immaginaria (coordinate cartesiane).
- Modulo - fase (coordinate polari).
Conversione tra Coordinate:
- Da coordinate polari a coordinate cartesiane:
- Re(V) = |V| imes ext{cos}(φ)
- Im(V) = |V| imes ext{sin}(φ)
- Da coordinate cartesiane a coordinate polari:
- R = ext{sqrt}(Re^2 + Im^2)
- φ = ext{arctan} rac{Im}{Re}
Somma di Vettori
- In caso di segnali sinusoidali di uguale frequenza:
- La somma di due vettori fornisce:
- Parte reale uguale alla somma delle parti reali.
- Parte immaginaria uguale alla somma delle parti immaginarie.
Prodotto e Rapporto di Vettori
- Prodotto di due vettori:
- V = V_1 imes V_2 con modulo pari al prodotto dei moduli e fase rappresentata dalla somma delle fasi:
- V = V_1 imes V_2, <V = <V_1 + <V_2
- Rapporto di due vettori:
- V = rac{V_1}{V_2} con modulo uguale al rapporto dei moduli e fase pari alla differenza delle fasi:
- V = rac{V_1}{V_2}, <V = <V_1 - <V_2
Sinusoidi e Vettori nel Trifase
Generatore Trifase: equivalente a tre generatori monofase.
Un sistema trifase è simmetrico se:
- Le tensioni di fase 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3 hanno uguale valore efficace e frequenza.
- Sono sfasati di 120° tra loro.
Somma Vettoriale: la somma vettoriale delle tre tensioni di fase è zero per motivi di simmetria spaziale.
Tensioni Concatenate: tensioni misurate tra conduttori di linea:
- V_{12} = E_1 - E_2
- V_{23} = E_2 - E_3
- V_{31} = E_3 - E_1
Relazione Tensioni di Fase e di Linea:
- V_{23} = 2 imes E imes rac{ ext{√3}}{2}
- Relazione generale tra valore efficace E di fase e valore efficace V di linea:
- V = ext{√3} imes E
Risposta in Frequenza
L'analisi di un sistema viene effettuata per la risposta in uscita a un ingresso sinusoidale:
- In uscita si forma una sinusoide di eguale frequenza ma con ampiezza e fase diverse:
- A_U, ext{ φ_U}.
Studio di un Sistema:
- Noto 𝐴_I determinare 𝐴_U.
- Noto φ_I determinare φ_U.
Funzione di Trasferimento
Vettori di ingresso e uscita legati da:
- G ⃗ (jω) – espressione matematica della funzione di trasferimento.
- Funzione di trasferimento rappresenta il modello matematico del sistema.
- È data dal rapporto tra il vettore di uscita e il vettore di ingresso:
- G ⃗ (jω) = rac{V_U}{V_I}
Formula inversa:
- V_U = V_I imes G ⃗ (jω)
Circuito RC e Funzione di Trasferimento
Esempio di Circuito RC:
- Applicando la legge del partitore di tensione:
V = rac{1}{1 + jωC} - Dividendo per V:
- G(jω) = rac{V_U}{V_1(1 + jωCR)}
- Applicando la legge del partitore di tensione:
F.d.t. come vettore:
- Contiene termine immaginario j.
Calcolo Uscita
- L'uscita risulta:
- V_U = V_I imes G ⃗ (jω)
- Modulo dell'uscita:
- Uguale al modulo dell'ingresso moltiplicato per il modulo della f.d.t.
- Fase dell'uscita:
- Sommato alla fase dell'ingresso e alla fase della f.d.t.
Osservazione finale
- Importanza di indagare il comportamento del sistema per segnali sinusoidali a tutte le frequenze.
- Per rappresentare graficamente il comportamento di un sistema si utilizzano diagrammi di Bode e diagrammi di Nyquist.