កំណត់ត្រា​សំខាន់៖ 1.4–1.7: Column/Row Space, Independent/Dependent Columns, Matrix Multiplication, និង Factoring A = CR

1.4 កន្លែងជួរឈរ (Column Space) និងកន្លែងជួរដេក (Row Space) របស់ A

  • កន្លែងជួរឈរ C(A) គឺជា កន្លែងដែលបានបង្កើតឡើងពីការ​រួមបញ្ចូលជួរឈរ​របស់ A ពីរួមនឹងគូរពី Ax ឬ Ax = …។

  • អក្សរពី C(A):
    C(A)=Ax:x∈RnC(A) = {Ax : x \in \mathbb{R}^n}

  • C(A) គឺជា subspace នៅក្នុង (\mathbb{R}^m) ដែលបានជំហានដោយ rank(A)។ វាអាចជា

    • ខ្សែ (line) ប្រសិនបើ A មានករណីជួរឈរទេស សរុបជោគជ័យ,
    • ផ្ទៃ (plane) ប្រសិនបើ rank(A) = 2,
    • និង/ឬខ្នាតទាំងមូល (\mathbb{R}^m) ប្រសិនបើ A មាន rank ពេញ។

  • Row space (កន្លែងជួរដេក) របស់ A គឺជាកន្លែងដែលបានបង្កើតឡើងពីជួរដេកនៃ A:
    extRow(A)=C(AT)ext{Row}(A) = C(A^T)
    ហេតុនេះ Row(A) គឺជា subspace នៅក្នុង (\mathbb{R}^n) ហើយមាន dimension របស់ជួរដេកដូចជា rank(A).

  • កត្តាមួយចំនួន៖

    • dimension of C(A) = dim(Row(A)) = rank(A).
    • Row space និង Column space មានការសមភាពគ្នានៅក្នុងរដ្ឋភាព rank, និងការ transpose បង្កើតភាពទំនាក់ទំនងរវាងពួកវា

  • ឧទាហរណ៍ ១: A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}

    • C(A) = \mathbb{R}^2 (columns គឺឯកភាព)\2

  • ឧទាហរណ៍ ២: A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 \end{bmatrix}

    • Columns: ត្រឹមតែជំនួសរដ្ឋដោយ column 2 = 2 × column 1, ដូច្នេះ C(A) គឺជខ្សែ (line) នៅក្នុង (\mathbb{R}^2) ដែលស្ទើរតែ spanned by \begin{bmatrix}1 \ 2\end{bmatrix}.

  • ឧទាហរណ៍ ៣: A = \begin{bmatrix}0 & 0 \ 0 & 0\end{bmatrix}

    • C(A) = {0} (one point)\

  • ឧទាហណ៍ពហុមុខ៖

    • ប្រសិនបើ A មាន 3 × 4 និង rank r = 2, C(A) គឺជា 2D plane នៅក្នុង (\mathbb{R}^3) ហើយ Row(A) គឺជា 2D plane នៅក្នុង (\mathbb{R}^4)។

  • សេចក្តីយោង៖

    • Column space និង Row space ពាក់ព័ន្ធដោយ rank, ដែលជាផ្លាស់ប្ដូរសម្រាប់ដោយ A^T ដើម្បី Row space។

1.5 អាស្រ័យភាព/គ្មាន អាស្រ័យភាពរបស់ជួរឈរ

  • Columns (ជួរឈរ) របស់ A មានអាស្រ័យភាព (dependent) ប្រសិនបើមាន column មួយដែលជា ការសម្ពោះសំឡេងដោយ columns នៅផ្សេងៗ (មាន linear combination របស់ផ្សេងៗ):
    • មាន vector x មិនសូន្យ such that A x = 0
    • ឧទាហរណ៍: A1, A2, A3 ជាឧទាហរណ៍ដែល A2 = 2 × A1 (Column 2 ផ្ទេរទិសជាប់ Column 1)
    • ឧទាហរណ៍បច្ចុប្បន្ន: A3 មាន 3 columns នៅលើកន្លែង 2D (plane) ពីរ: នេះបង្ហាញថា 3 vectors in a 2D space are dependent.
  • Independent columns
    • Columns of A នៅមានអាស្រ័យភាពពុំមាន (independent) ប្រសិនបើ Ax = 0 ពេល x = 0 តែប៉ុណ្ណោះ:
    • Ax = 0 ⇒ x = 0
    • ឧទាហរណ៍: A4, A5, A6 មាន columns ដែលគួរខុសគ្នាជាមួយគ្នា (independent)
  • ការកំណត់៖
    • សម្រាប់ matrix វាល: អាស្រ័យភាពរបស់ columns ដល់ independent rows គឺសមភាពជាមួយ independent columns ពីឆ្នាស់
    • ស្វ័យភាពដាច់ពីដូចជា: “Any square matrix has columns independent iff its rows are independent.”
  • គំនិតសំខាន់:
    • ពីពេលណាឈានចូល: និយមន័យ “Number of independent rows = Number of independent columns.”

1.6 Matrix-Matrix Multiplication AB

  • មាន ៤ របៀប multiply matrices: 1) (Row i of A) · (Column j of B) -> entry AB_{ij}
    • ឧទាហរណ៍: ធ្វើ dot product រវាង row i នៃ A និង column j នៃ B ដើម្បីបានតម្លៃ AB_{ij}.
      2) (A) · (Column j of B) -> column j of AB
    • ការធ្វើ​គឺជា linear combinations របស់ columns នៃ A ដោយ weights គឺ entries នៅ row j នៃ B (ឧទាហរណ៍៖ combine columns of A).
      3) (Row i of A) · (B) -> row i of AB
    • បង្កើត row i ដោយបញ្ចូល rows of B ជាមួយ coefficients របស់ Row i នៃ A.
      4) (Column k of A) · (Row k of B) -> simple matrices; sum across k to yield AB
    • អង្គភាព AB = sum_{k=1}^{n} (A(:,k) B(k,:)) ប្រើ outer products
  • ការប្រើប្រាស់៖
    • All four methods involve the same total of multiply-adds: if A is m×n and B is n×p, then AB is m×p.
    • If A and B are n×n, then AB requires on the order of n3n^3 multiply-adds.
  • អំនousesស: associative law
    • $A(BC) = (AB)C$
  • ការបែងចែកប្លុក (Block multiplication)
    • ប្រើ block matrices: A B; C D and E F; G H
    • ការទាញតម្លៃ: AB enfrenta AE+BF, CE+DF

1.7 Factoring A = CR: Column rank r = Row rank

  • គោលការណ៍មូលដ្ឋាន:

    • Column rank r គឺជាចំនួនជួរឈរ​ឯករាជ្យដាច់ខាតក្នុង A (ចំនួន independent columns).
    • Row rank គឺជាចំនួនជួរឈរឯករាជ្យ (independent rows) ក្នុង A.
    • Theorem: Column rank = Row rank (for every matrix A).

  • ការភាគចេញ A = CR:

    • ជំហាន 1: C មាន -columns ដែល independent ដំបូង r columns ពី A (delete dependent columns):
    • ប្រសិនបើ column 1 មិនសូន្យ ទុកវាទៅក្នុង C
    • ប្រសិនបើ column 2 មិនជា multiples of column 1 នៅ A ទុកវាទៅ C
    • ប្រសិនបើ column 3 មិនជា combination of columns 1 និង 2 ទុកវាទៅ C
    • ដ continuing ដាក់ Column n ទៅ C ប្រសិនបើ column n មិនជា combination របស់ first n-1 columns
    • ជំហាន 2: Column j របស់ CR បង្ហាញ column j ของ A ដូចជា linear combination of columns of C
    • ចំណាំ: Columns 1 និង 2 of A ទៅ C ដោយផ្ទាល់
    • ឧទាហរណ៍៖ Column 3 = 2(Column 1) + 1(Column 2) តែអត់នៅក្នុង C

  • ករណី A = [ … ] ប្រើលក្ខណៈ: A អាចបែងចែកជា A = CR with C ∈ R^{m×r}, R ∈ R^{r×n}.

  • ការទស្សនៈទូទៅ:

    • Theorem: Every matrix has column rank = row rank.
    • Rank-1 matrices: A ភាគរយ 1 អាច factoring គឺ A = u v^T (u ∈ R^m, v ∈ R^n).
    • Every rank-r matrix can be expressed as the sum of r rank-one matrices: A = ∑{i=1}^{r} ui v_i^T.

  • ឧទាហរណ៍បច្ចុប្បន្ន (conceptual):

    • A rank-1 example: A = u v^T = \begin{bmatrix} u1 \ \vdots \ um \end{bmatrix} [v1 \ \vdots \ vn] = \text{one column times one row}.
    • A rank-r matrix is the sum of r such rank-1 terms.

  • សង្ខេបចំបង:

    • ការរៀបចំបែប A = CR បង្ហាញថា rank(A) = rank(C) = rank(R) = r,
    • អ្វីដែលទាក់ទងនឹង D: A គឺ sum of r rank-1 matrices.