Окружности

Окружности: определения и свойства

  • Определение 1:

    • Окружность - это геометрическое множество точек (ГМТ), равноудалённых от данной точки.

    • Данная точка называется центром окружности.

    • Радиус окружности - отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

    • Хорда окружности - отрезок, соединяющий две различные точки на окружности.

    • Диаметр окружности - хорда, проходящая через центр окружности.

    • Дуга окружности - часть окружности, заключённая между двумя различными точками окружности.

    • Центральный угол окружности - угол, вершина которого является центром окружности, а стороны содержат радиусы.

    • Вписанный угол окружности - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды.

    • Градусная мера дуги - градусная мера центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Упражнения и утверждения

  • Упражнение 1: Найти на картинке всё, что определено в Определении 1.

  • Замечание 1: Имеются следующие несложно доказываемые утверждения:

    1. Вписанный угол, опирающийся на дугу окружности, равен половине её градусной меры.

    2. Диаметр виден из любой точки окружности под прямым углом.

    3. Если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит эту хорду пополам.

    4. Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то он ей перпендикулярен.

  • Определение 2:

    • Секущей окружности называется прямая, пересекающая окружность в двух различных точках.

    • Касательной окружности называется прямая, пересекающая окружность в одной точке.

Теоремы

  • Теорема 1:

    1. Угол между касательной и радиусом, проведённым в точку касания, равен $90^ ext{°}$.

    2. Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен градусной мере дуги, стягиваемой этой хордой.

    3. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер дуг, заключённых между этими хордами.

    4. Угол между двумя пересекающимися вне окружности секущими равен полуразности градусных мер дуг, заключённых между ними.

    5. Угол между двумя касательными равен полуразности градусных мер дуг, заключённых между точками касания.

Доказательства утверждений и теорем

  • Доказательство:

    • Докажу утверждения 3 и 4. Утверждение 1 уже было доказано на уроке. Остальные оставлю в качестве упражнений.

    • Необходимо посчитать углы $∠BMA$ и $∠BEA$ через красную и синюю дуги $CD$ и $AB$ соответственно.

    • Пусть градусная мера дуги $AB$ равна $eta$, а градусная мера дуги $CD$ равна $eta$.

    • Тогда $∠BMA$ - внешний угол в треугольнике $BMC$. Градусные меры двух других углов этого треугольника равны $ rac{eta}{2}$ и $ rac{eta}{2}$. Значит, $∠BMA = rac{eta + eta}{2} = rac{α + β}{2}$.

    • Аналогично, $∠BDA = rac{α - β}{2}$.

  • Упражнение 2: Доказать утверждения 2 и 5.

  • Теорема 2:

    1. Произведение отрезков двух пересекающихся хорд, на которые они разбивают друг друга, равны.

    2. Квадрат отрезка касательной из данной точки вне окружности равен произведению (любой!) секущей из данной точки и её внешней части.

    3. Произведение отрезков двух пересекающихся секущих, проходящих через данную точку, и их внешних частей равны.

  • Доказательство:

    • Воспользуемся предыдущей картинкой. Нам нужно доказать, что $BM imes MD = AM imes MC$.

    • Заметим, что по двум углам треугольника $BMC$ и $AMD$ выполняется $ riangle BMC hicksim riangle AMD$.

    • Тогда $ rac{BM}{AM} = rac{MC}{MD}$. Перемножая крест накрест, получаем требуемое.

  • Картинка ко второму утверждению: $BC^2 = CE imes CA$.

    • По второму утверждению из Теоремы 1 имеем, что $∠BAE = ∠EBC$. Значит, по двум углам $ riangle BAC hicksim riangle EBC$.

    • Тогда $ rac{BC}{EC} = rac{CA}{BC}$, перемножая крест накрест, получаем требуемое.

  • Упражнение 3: Доказать утверждение 3. Указание: Проведите касательную.