Mechanik: Impuls, Bewegungsgleichungen und Kraft

I MECHANIK: IMPULS UND IMPULSERHALTUNG

• Impuls (Definition):     * Der Impuls eines Körpers der Masse $m$ mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ ist definiert als:         * $\vec{p} = m \times \vec{v}$     * Einheit: $[p] = 1\,kg\,m/s = 1\,Ns$.     * Alltagssprachliche Begriffe: „Schwung“, „Wucht“.
• Impulserhaltungssatz:     * In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls zu jedem Zeitpunkt gleich groß.     * Formel: $P_{ges} = P'_{ges}$.     * Für zwei Körper gilt: $p_1 + p_2 = p'_1 + p'_2$, was ausgeschrieben bedeutet:         * $m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = m_1 \vec{u}_1 + m_2 \vec{u}_2$
• Stoß zweier Körper (Körper a und b):     * Vor dem Stoß: Massen $m_a$, $m_b$ und Geschwindigkeiten $v_a$, $v_b$.     * Nach dem Stoß: Geschwindigkeiten $u_a$, $u_b$.     * Es gilt: $m_a \vec{v}_a + m_b \vec{v}_b = m_a \vec{u}_a + m_b \vec{u}_b$.     * Spezialfall (gleiche Massen): Wenn $m_a = m_b = m$, dann gilt:         * $m \vec{v}_a + m \vec{v}_b = m \vec{u}_a + m \vec{u}_b$         * $m (\vec{v}_a + \vec{v}_b) = m (\vec{u}_a + \vec{u}_b)$, also $\vec{v}_a + \vec{v}_b = \vec{u}_a + \vec{u}_b$.     * Spezialfall (ein Körper ruht): Wenn $v_b = 0$, dann ist der Gesamtimpuls vor dem Stoß $m_a \vec{v}_a$.
• Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems:     * Enthält ein System $n \in \mathbb{N}$ Körper mit den Einzelimpulsen $p_1, p_2, \dots, p_n$, so ist der Gesamtimpuls $\vec{P} = \sum_{i=1}^{n} \vec{p}_i$.
• Detailfragen zur Impulserhaltung:     * Da der Gesamtimpuls erhalten bleibt, bewegt sich der Schwerpunkt des Systems immer auf die gleiche Weise.     * Unterschied zu Energie: Ein Impuls ist richtungsabhängig (Vektor), Energie nicht (Skalar). Daher kann der Impuls null sein, während kinetische Energie vorhanden bleibt.     * Bei der Impulserhaltung ist die Bewegungsrichtung entscheidend (Vektorsumme), bei der Energie nur der Betrag der Geschwindigkeit.
• Zusammenhang mit Energieerhaltung:     * Bei Umwandlung mechanischer Energie in andere Energieformen (z. B. Wärme bei inelastischen Stößen) gilt dennoch stets die Impulserhaltung.     * Erfolgt keine Umwandlung in andere Energieformen, bleibt zusätzlich die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant (elastischer Stoß).

2 WECHSELWIRKUNGSGESETZ

• Definition (Newton 3):     * „actio gleich reactio“.     * Übt ein Körper 1 auf einen Körper 2 eine Kraft $F_{12}$ aus, so übt Körper 2 auf Körper 1 eine gleich große, aber entgegengesetzte Kraft $F_{21}$ aus.     * Formel: $F_{21} = -F_{12}$.
• Herleitung aus dem Impuls:     * $P_{vor} = P_{nach} \implies 0 = m_1 \vec{u}_1 + m_2 \vec{u}_2 \implies m_1 \vec{u}_1 = -m_2 \vec{u}_2$.     * Da $F \times \Delta t = m \times \Delta v$ (Kraftstoß), folgt aus der Impulsänderung $m_1 \Delta v_1 = -m_2 \Delta v_2$, dass die Kräfte entgegengesetzt wirken.     * Wenn $m_1 = m_2$, dann ist $\Delta v_1 = -\Delta v_2$.
• Beispiele für das Wechselwirkungsprinzip:     * Schwimmen: Man drückt das Wasser nach hinten (actio), das Wasser drückt den Körper nach vorne (reactio).     * Rückstoß: Beim Abfeuern einer Waffe oder dem Abstoßen zweier Personen auf Rollen.     * Rakete: Der Treibstoff wird mit hoher Kraft nach unten/hinten ausgestoßen, wodurch die Rakete eine gleich große Kraft in Entgegengesetzte Richtung erfährt. Im Weltraum drückt sich das Gas nicht von der Umgebung ab, sondern die Kraft entsteht durch den Ausstoß der Masse selbst.     * Luftballon: Die ausströmende Luft erzeugt den Vortrieb nach dem gleichen Prinzip.     * Neutronen-Stoß: Wenn Gesamtkraft $F = 0$, dann ist die Beschleunigung $a = 0$, die Geschwindigkeit bleibt konstant ($v = konst$) und es gibt keine Änderung der Bewegungsenergie, sofern keine Kräfte wirken.

MODELLIERUNG VON BEWEGUNGEN

• Bewegungsdiagramme und ihre Eigenschaften:     * $t-x$-Diagramm (Zeit-Ort-Diagramm):         * Stellt den Zusammenhang zwischen Zeit ($t$) und Ort ($x$) dar.         * Parallele zur x-Achse (Zeitachse): Körper ruht ($v = 0$).         * Steigende Gerade: Vorwärtsbewegung mit konstanter Geschwindigkeit.         * Fallende Gerade: Rückwärtsbewegung.         * Betrag der Steigung ($\frac{\Delta s}{\Delta t}$): Entspricht dem Betrag der Geschwindigkeit.         * Gekrümmter Graph:             * Steigung nimmt zu: beschleunigte Bewegung.             * Steigung nimmt ab: verzögerte Bewegung (Bremsen).     * $t-v$-Diagramm (Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm):         * Stellt den Zusammenhang zwischen Zeit ($t$) und Geschwindigkeit ($v$) dar.         * Steigung im $t-v$-Diagramm entspricht der Beschleunigung ($a$).         * Fläche unter dem Graphen entspricht der zurückgelegten Strecke ($s$).         * Parallele zur Zeitachse ($v = konst$): Gleichförmige Bewegung ($a = 0$).
• Analyse einer abschnittsweise gleichförmigen Bewegung (Beispiel Auto):     * Abschnitt 1: $t = 0$ bis $50\,s$, $v = 30\,m/s \implies s_1 = v \times t = 1500\,m$.     * Abschnitt 2: $t = 50$ bis $125\,s$ (Dauer $75\,s$), $v = 15\,m/s \implies s_2 = 1125\,m$.     * Abschnitt 3: $t = 125$ bis $175\,s$ (Dauer $50\,s$), $v = -25\,m/s \implies s_3 = 1250\,m$ (Betrag der Strecke).     * Abschnitt 4: $t = 175$ bis $200\,s$ (Dauer $25\,s$), $v = 15\,m/s \implies s_4 = 375\,m$.     * Gesamtstrecke: $s_{ges} = 1500 + 1125 + 1250 + 375 = 4250\,m = 4.25\,km$.     * Hinweis: Das Diagramm zeigt nur die Ortsänderung, nicht den spezifischen Startpunkt, falls dieser nicht definiert ist.

MATHEMATISCHE BESCHREIBUNG VON BEWEGUNGEN

• Gleichförmige Bewegung ($a = 0$):     * Zeit-Beschleunigung: $a(t) = 0$.     * Zeit-Geschwindigkeit: $v(t) = v = konst$.     * Zeit-Ort: $s(t) = v \times t + s_0$ (wobei $s_0$ der Anfangsort zum Zeitpunkt $t=0$ ist).
• Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ($a = konst, a \neq 0$):     * Zeit-Beschleunigung: $a(t) = a$.     * Zeit-Geschwindigkeit: $v(t) = a \times t + v_0$.     * Zeit-Ort: $s(t) = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + s_0$.
• Zeitunabhängige Bewegungsgleichung:     * Herleitung durch Einsetzen von $t = \frac{v - v_0}{a}$ in die Ortsgleichung.     * Resultat: $v^2 - v_0^2 = 2 a \Delta s$     * Für den Fall $v_0 = 0$ gilt: $v^2 = 2 a \Delta s$.
• Kraft-Beschleunigungs-Zusammenhang:     * $F = m \times a$.     * Eine konstante Krafteinwirkung führt zu einer konstanten Beschleunigung.

FREIER FALL UND WAAGERECHTER WURF

• Freier Fall:     * Idealisierte Bewegung ohne Luftreibung.     * Beschleunigung ist die Erdbeschleunigung $g \approx 9.81\,m/s^2$.     * Bewegungsfunktionen:         * $v(t) = g \times t$         * $y(t) = -\frac{1}{2} g t^2$     * Experiment nach Galileo: Schwere und strömungsgünstige Gegenstände fallen fast gleich schnell.     * Beispiel Brunnenaufgabe:         * Tiefe $h = 47\,m$. Fallzeit $t_{fall} = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 47}{9.81}} \approx 3.1\,s$.         * Schalllaufzeit bei $v_{schall} = 300\,m/s$: $t_{schall} = \frac{47}{300} \approx 0.16\,s$.         * Gesamtzeit bis zum Hören: $3.1 + 0.16 = 3.26\,s$.
• Waagerechter Wurf:     * Definition: Ein Körper wird waagerecht mit $v_0$ abgeworfen und steht danach nur unter dem Einfluss der Schwerkraft.     * Komponentenweise Betrachtung:         * x-Richtung: Gleichförmige Bewegung mit $v_x = v_0$. Ort $x(t) = v_0 \times t$.         * y-Richtung: Freier Fall mit $v_y = -g \times t$. Ort $y(t) = -\frac{1}{2} g t^2$.     * Bahnkurve (Fallparabel):         * Einsetzen von $t = \frac{x}{v_0}$ in $y(t)$.         * $y(x) = -\frac{g}{2 v_0^2} x^2$. Dies ist eine nach unten geöffnete Halbaufsatz-Parabel.     * Aufprall:         * Die Aufprallgeschwindigkeit ist die vektorielle Summe: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

FALLSTUDIEN UND RECHENBEISPIELE

• Jumbo-Jet Start:     * Masse $m = 320\,t = 3.2 \times 10^5\,kg$.     * Startgeschwindigkeit $v = 310\,km/h = \frac{310}{3.6} \approx 86.1\,m/s$.     * Zeit $t = 51\,s$.     * Beschleunigung $a = \frac{v}{t} = \frac{86.1}{51} \approx 1.69\,m/s^2$.     * Resultierende Kraft: $F_{res} = m \times a = 320000 \times 1.69 \approx 540.8\,kN$.     * Differenz zu Schubkraft ($F_{schub} = 880\,kN$): Erklärbar durch Luftwiderstand und Rollreibung.
• Strafstoß im Fußball:     * Beschleunigung $a = 800\,m/s^2$, Endgeschwindigkeit $v = 83\,km/h \approx 23.06\,m/s$.     * Einwirkzeit: $t = \frac{v}{a} = \frac{23.06}{800} \approx 0.0288\,s$.     * Strecke: $s = \frac{1}{2} a t^2 \approx 0.33\,m$.     * Kraft ($m = 440\,g$): $F = 0.44 \times 800 = 352\,N$.
• Inelastischer Stoß (Skateboarder):     * Skater 1 ($60\,kg$, $3\,m/s$) springt auf ruhendes Skateboard 2 ($30\,kg$, $0\,m/s$).     * Gesamtimpuls: $60 \times 3 + 30 \times 0 = 180\,kg\,m/s$.     * Geschwindigkeit nach Stoß $u$: $180 = (60+30) \times u \implies u = 2\,m/s$.     * Energiebetrachtung:         * $E_{kin, vor} = \frac{1}{2} \times 60 \times 3^2 = 270\,J$.         * $E_{kin, nach} = \frac{1}{2} \times 90 \times 2^2 = 180\,J$.         * Umgewandelte innere Energie: $E_{inn} = 270 - 180 = 90\,J$.