Geometry: The Cathetus and Altitude Theorems

Grundlagen der Dreiecksgeometrie

Ein Dreieck $ABC$ ist durch folgende Seiten definiert:

• $c$: Hypotenuse (Strecke $AB$)
• $a$: Eine Kathete (Strecke $BC$)
• $b$: Die andere Kathete (Strecke $AC$)

Die Dreiecke $ABC$, $ACH$ und $CBH$ sind einander ähnlich. Alle drei verfügen über einen rechten Winkel, und die Winkel $A$ und $B$ bleiben in den kleineren Teil-Dreiecken identisch.

Die Höhe $h$ fällt von $C$ auf die Hypotenuse $AB$ am Fußpunkt $H$ und teilt diese in zwei Hypotenusenabschnitte:

• $p$: Abschnitt zwischen $A$ und dem Fußpunkt $H$
• $q$: Abschnitt zwischen $B$ und $H$

Definition des Kathetensatzes

Der Kathetensatz besagt: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck, das aus der Hypotenuse und dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt gebildet wird.

Die mathematischen Formeln lauten:

• $a^2 = p \times c$
• $b^2 = q \times c$

Mathematische Voraussetzungen und Höhensatz

Für die Herleitung und Berechnungen gelten folgende Beziehungen:

• Hypotenusenzusammenhang: $q + p = c$
• Satz des Pythagoras für Teil-Dreiecke: $h^2 + p^2 = a^2$ und $h^2 + q^2 = b^2$
• Höhensatz: $h^2 = p \times q$

Beweisföhrung für den Kathetensatz

Der Beweis für $b^2 = q \times c$ erfolgt durch Substitution und Umformung:

1. Grundlage aus dem Teil-Dreieck: $b^2 = h^2 + q^2$
2. Ersetzung von $h^2$ durch den Höhensatz ($p \times q$): $b^2 = q^2 + (p \times q)$
3. Ausschreiben der Potenz: $b^2 = (q \times q) + (p \times q)$
4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors $q$: $b^2 = q(q + p)$
5. Einsatz der Beziehung $q + p = c$: $b^2 = q \times c$

Damit ist der erste Teil des Kathetensatzes bewiesen.

Anwendungsaufgabe

Gegeben:

• $c = 10\,\text{cm}$
• $p = 6\,\text{cm}$

Berechnung von $a$: Zur Berechnung wird die Formel $a^2 = p \times c$ verwendet:

$a^2 = 6 \times 10$$a^2 = 60$$a = \sqrt{60}$